专题1.9 绝对值贯穿有理数的经典考法【七大题型】（解析版）

专题19 绝对值贯穿有理数的经典考法【七大题型】 【人版】 【题型1 利用绝对值性质化简或求值】................................................................................................................. 1 【题型2 根据绝对值的非负性求值】.....................................................................................................................3 【题型3 根据绝对值的定义判断正误】................................................................................................................. 5 【题型4 根据绝对值的意义求取值范围】.............................................................................................................7 【题型5 绝对值中的分类讨论之 a ¿a∨¿¿类型问题】...........................................................................................8 【题型6 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】................................................................................................10 【题型7 绝对值中的最值问题】...........................................................................................................................12 【题型1 利用绝对值性质化简或求值】 【例1】（2022•博湖县校级期中）已知实数，b 满足||＝b，|b|+b＝0，化简||+| 2 ﹣b| |3 ﹣b﹣ 2|． 【分析】分清，﹣2b，3b 2 ﹣三个数的正负性是解决本题的关键．已知实数，b 满足||＝ b，|b|+b＝0，可得出b≥0， |b|＝﹣b，则≤0，b＝﹣．所以﹣2b＜0，3b 2 ﹣＞0，从而得出||+| 2 ﹣b| |3 ﹣b 2| ﹣的值． 【解答】解：∵||＝b，||≥0， ∴b≥0， 又∵|b|+b＝0， | ∴b|＝﹣b， | ∵b|≥0， ∴﹣b≥0， ∴b≤0， 即≤0， ∴与b 互为相反数，即b＝﹣． 2 ∴﹣b≤0，3b 2≥0 ﹣ ， ||+| 2 ∴ ﹣b| |3 ﹣b 2| ﹣＝﹣+2b﹣（3b 2 ﹣）＝﹣b＝﹣2b 或2． 【变式1-1】如图表示在数轴上四个点p，q，r，s 位置关系，若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q ﹣s|＝9，则|q﹣r|＝ 7 ． 1 【分析】根据绝对值的几何意义，将|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9 转化为两点间的 距离，进而可得q、r 两点间的距离，即可得答． 【解答】解：根据绝对值的几何意义，由|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9 可得 p、r 两点间的距离为10，p、s 两点间的距离为12，q、s 两点间的距离为9， 则q、r 两点间的距离为10+9 12 ﹣ ＝7， 即|q﹣r|＝7， 故答为7． 【变式1-2】已知，b，，d 满足＜﹣1＜b＜0＜＜1＜d，且|+1|＝|b+1|，|1 | ﹣＝|1﹣d|，那么 +b++d＝ 0 ． 【分析】根据已知不等式确定出绝对值里边式子的正负，已知等式利用绝对值的代数意 义化简，整理求出+b 与+d 的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：∵＜﹣1＜b＜0＜＜1＜d， +1 ∴ ＜0，b+1＞0，1﹣＞0，1﹣d＜0， |+1| ∵ ＝|b+1|，|1 | ﹣＝|1﹣d|， 1 ∴﹣﹣＝b+1，1﹣＝d 1 ﹣， 整理得：+b＝﹣2，+d＝2， 则+b++d＝0． 故答为：0 【变式1-3】化简： （1）|2x 1| ﹣；（2）|x 1|+| ﹣ x 3| ﹣；（3）||x 1| 2|+| ﹣﹣ x+1|． 【分析】（1）就2x 1≥0 ﹣ ，2x 1 ﹣＜0 两种情形去掉绝对值符号； （2）将零点1，3 在同一数轴上表示出来，就x＜1，1≤x＜3，x≥3 三种情况进行讨论； （3）由零点共有﹣1、1、3 三点，就x≥3，1≤x＜3，﹣1≤x＜1，x＜﹣1 四种情况进行讨 论． 【解答】解：（1）①当x≥1 2，原式＝2x 1 ﹣； ②当x＜1 2，原式＝﹣（2x 1 ﹣）＝1 2 ﹣x； （2）①当x＜1，原式＝﹣（x 1 ﹣）﹣（x 3 ﹣）＝4 2 ﹣x； ②当1≤x＜3，原式＝（x 1 ﹣）﹣（x 3 ﹣）＝2； ③当x≥3，原式＝（x 1 ﹣）+（x 3 ﹣）＝2x 4 ﹣； （3）①x≥3，原式＝|x 1 2|+ ﹣﹣ x+1＝x 3+ ﹣ x+1＝2x 2 ﹣； 1≤ ② x＜3，原式＝|x 1 2|+ ﹣﹣ x+1＝3﹣x+x+1＝4； 1≤ ③﹣ x＜1，原式＝|1﹣x 2|+ ﹣ x+1＝|﹣（x+1）|+x+1＝x+1+x+1＝2x+2； 1 ④x＜﹣1，原式＝|1﹣x 2| ﹣﹣（x+1）＝|﹣（x+1）|﹣x 1 ﹣＝﹣（x+1）﹣x 1 ﹣＝﹣2x﹣ 2． 【题型2 根据绝对值的非负性求值】 【例2】（2022 春•诸暨市月考）已知| 3|+|2 ﹣ b 8|+| 2| ﹣ ﹣＝0，求+3b﹣的值． 【分析】根据非负数的性质列方程求出、b、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：由题意得，﹣3＝0，2b 8 ﹣＝0，﹣2＝0， 解得＝3，b¿ 4 3 ，＝2， 所以，+3b﹣， ＝3+3× 4 3 −¿2， ＝3+4 2 ﹣， ＝7 2 ﹣， ＝5． 【变式2-1】（2022 秋•梅州校级月考）若|x 2|+| ﹣ y+3|＝0，计算： （1）x，y 的值． （2）求|x|+|y|的值． 【分析】（1）根据非负数的性质列式计算即可得解； （2）根据绝对值的性质进行计算即可得解． 【解答】解：（1）由题意得，x 2 ﹣＝0，y+3＝0， 解得x＝2，y＝﹣3； （2）|x|+|y|＝|2|+| 3| ﹣＝2+3＝5． 【变式2-2】（2022 秋•南江县校级期中）已知|﹣x+7|与| 2 ﹣y 1| ﹣互为相反数，求2 y−2 7 x 的值． 【分析】根据题意，|﹣x+7|≥0，| 2 ﹣y 1|≥0 ﹣ ，又|﹣x+7|与| 2 ﹣y 1| ﹣互为相反数，故|﹣ x+7|＝0，| 2 ﹣y 1| ﹣＝0，即可求出x，y 的值，代入即可求出答． 【解答】解：根据题意：|﹣x+7|≥0，| 2 ﹣y 1|≥0 ﹣ ，又|﹣x+7|与| 2 ﹣y 1| ﹣互为相反数，故| ﹣x+7|＝0，| 2 ﹣y 1| ﹣＝0， 解得：x＝7，y¿−1 2， 故2 y−2 7 x=¿2×（−1 2 ）−2 7 ×7=−¿3． 【变式2-3】（2022•涞水县期末）已知x 为实数，且|3x 1|+|4 ﹣ x 1|+|5 ﹣ x 1|+…+|17 ﹣ x 1| ﹣的 值是一个确定的常数，则这个常数是（ ） 1 ．5 B．10 ．15 D．75 【分析】将|3x 1|+|4 ﹣ x 1|+|5 ﹣ x 1|+…+|17 ﹣ x 1| ﹣按照取值范围进行讨论． 【解答】解：（1）当x＞1 3时，原式＝150x 15 ﹣ ，不是常数； （2）当1 4 ＜x≤1 3时，原式＝144x 13 ﹣ ，不是常数； （3）当1 5 ＜x≤1 4 时，原式＝136x 11 ﹣ ，不是常数； （4）当1 6 ＜x≤1 5时，原式＝126x 9 ﹣，不是常数； （5）当1 7 ＜x≤1 6 时，原式＝114x 7 ﹣，不是常数； （6）当1 8 ＜x≤1 7 时，原式＝100x 5 ﹣，不是常数； （7）当1 9 ＜x≤1 8时，原式＝84x 3 ﹣，不是常数； （8）当1 10 ＜x≤1 9时，原式＝66x 1 ﹣，不是常数； （9）当1 11 ＜x≤1 10时，原式＝46x+1，不是常数； （10）当1 12 ＜x≤1 11时，原式＝24x+3，不是常数； （11）当1 13 ＜x≤1 12时，原式＝5，是常数； （12）当1 14 ＜x≤1 13时，原式＝﹣26x+7，不是常数； （13）当1 15 ＜x≤1 14 时，原式＝﹣54x+9，不是常数； （14）当1 16 ＜x≤1 15时，原式＝﹣84x+11，不是常数； （15）当1 17 ＜x≤1 16时，原式＝﹣116x+13，不是常数； （16）当x≤1 17 时，原式＝﹣150x+15，不是常数． 故选：． 【题型3 根据绝对值的定义判断正误】 【例3】（2022 春•肇源县期末）下面四个式子中，正确的是（ ） ．若≠b，那么2≠b2 B．若＞|b|，那么2＞b2 1 ．若||＞|b|，那么＞b D．若2＞b2那么＞b 【分析】利于平方的定义、不等式的定义、绝对值的求法等知识分别判断后即可确定正 确的选项． 【解答】解：、若≠b，那么、b 互为相反数时，2≠b2错误，不符合题意； B、如果＞|b|，那么2＞b2，正确，符合题意； 、||＞|b|，那么＞b 或＜b，错误，不符合题意； D、如果2＞b2那么＞b 或＜b，故错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】（2022 秋•全椒县期中）已知 a ¿a∨¿+ b ¿b∨¿=¿¿ ¿0，有以下结论： ①，b 一定互为相反数； ②b＜0； ③+b＜0； ④ ab ¿ab∨¿=−¿¿1 其中正确的是 ②④ ．（把所有正确结论的序号都填上） 【分析】根据绝对值的意义，可化简绝对值． 【解答】解：由 a ¿a∨¿+ b ¿b∨¿=¿¿ ¿0，得与b 异号，有以下结论： ①得＜0，b＞0，或＞0，b＜0， ，b 异号，，b 不一定互为相反数，故①错误； ②b＜0，故②正确； + ③b 不一定小于0，故③错误； ④ ab ¿ab∨¿= ab −ab=−¿¿1，故④正确， 故答为：②④． 【变式3-2】（2022 秋•和平区期中）设y＝|x 1|+| ﹣ x+1|，则下面四个结论中正确的是（ ） ．y 没有最小值 B．只有一个x 使y 取最小值 ．有限个x（不止一个）y 取最小值 D．有无穷多个x 使y 取最小值 【分析】根据非负数的性质，分别讨论x 的取值范围，再判断y 的最值问题． 【解答】解：方法一：由题意得：当x＜﹣1 时，y＝﹣x+1 1 ﹣﹣x＝﹣2x； 当﹣1≤x≤1 时，y＝﹣x+1+1+x＝2； 1 当x＞1 时，y＝x 1+1+ ﹣ x＝2x； 故由上得当﹣1≤x≤1 时，y 有最小值为2； 故选D． 方法二：由题意，y 表示数轴上一点x，到﹣1，1 的距离和，这个距离和的最小值为2， 此时x 的范围为﹣1≤x≤1， 故选：D． 【变式3-3】（2022 秋•青山区期中）若，b 为有理数，下列判断：（1）若||＝b，则一定有 ＝b；（2）若||＞|b|，则一定有＞b；（3）若||＞b，则一定有||＞|b|；（4）若||＝b，则一 定有2＝（﹣b）2．其中正确的是（ ） ．（1）（2） B．（2）（3） ．（3）（4） D．（4） 【分析】此类题目可将符合条件的有理数代入逐一验证求解． 【解答】解：（1）若| 2| ﹣＝2，则﹣2≠2，错误； （2）若| 2| ﹣＞|1|，则﹣2＜1，错误； （3）若|1|＞﹣2，则|1|＜| 2| ﹣，错误； （4）若||＝b，则一定有2＝（﹣b）2，正确． 故选：D． 【题型4 根据绝对值的意义求取值范围】 【例4】（2022 秋•海淀区校级期中）若不等式|x 2|+| ﹣ x+3|+|x 1|+| ﹣ x+1|≥对一切数x 都成立， 则的取值范围是 ≤ 7 ． 【分析】数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y 之间的距离． 【解答】解：数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y 之间的距离． 画数轴易知，|x 2|+| ﹣ x+3|+|x 1|+| ﹣ x+1|表示x 到﹣3，﹣1，1，2 这四个点的距离之和． 令y＝，|x 2|+| ﹣ x+3|+|x 1|+| ﹣ x+1|，x＝﹣3 时，y＝11， x＝﹣1 时，y＝7， x＝1 时，y＝7， x＝2 时，y＝9， 可以观察知：当﹣1≤x≤1 时，由于四点分列在x 两边，恒有y＝7， 当﹣3≤x＜﹣1 时，7＜y≤11， 当x＜﹣3 时，y＞11， 当1≤x＜2 时，7≤y＜9， 当x≥2 时，y≥9， 综合以上：y≥7 所以：≤7 即|x 2|+| ﹣ x+3|+|x 1|+| ﹣ x+1|≥7 对一切实数x 恒成立． 1 从而的取值范围为≤7． 【变式4-1】（2021 秋•长春期中）如果| 2| ﹣＝﹣2，则的取值范围是（ ） ．＞0 B．≥0 ．≤0 D．＜0 【分析】观察发现| 2| ﹣＝﹣2，绝对值里面的式子与等号后面的式子相同，可知﹣2 的绝 对值等于它本身，根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，0 的绝对值等于0， 也就是等于它本身，可得﹣2≥0，解不等式可得答． 【解答】解：∵| 2| ﹣＝﹣2， 2≥0 ∴﹣ ， ≤0． 故选：． 【变式4-2】（2022•吉首市校级月考）若m 是有理数，则|m|+m 的值（ ） ．不可能是正数 B．一定是正数 ．不可能是负数 D．可能是正数，也可能是负数 【分析】根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它的相反数、0 的绝对值是0，可根据m 是正数、负数和0 三种情况讨论． 【解答】解：①当m＞0 时，原式＝m+m＝2m＞0； ②当m＝0 时，原式＝0+0＝0； ③当m＜0 时，原式＝﹣m+m＝0． | ∴m|+m 的值大于等于0， 即为非负数， 故选：． 【变式4-3】（2022 秋•长沙校级期中）（1）比较下列各式的大小（用＜或＞或＝连接） | 2|+|3| ①﹣ ＞ | 2+3| ﹣ ； | 2|+| 3| ②﹣ ﹣ ＝ | 2 3| ﹣﹣； | 2|+|0| ③﹣ ＝ | 2+0| ﹣ ； （2）通过以上的特殊例子，请你分析、补充、归纳，当、b 为有理数时，||+|b|与|+b|的 大小关系； （3）根据上述结论，求当|x|+2015＝|x 2015| ﹣ 时，x 的取值范围． 【分析】（1）依据绝对值的性质计算即可； （2）通过计算找出其中的规律即可得出答； （3）依据结论求解即可． 1 【解答】解：（1）①| 2|+|3| ﹣ ＝2+3＝5，| 2+3| ﹣ ＝1，故| 2|+|3| ﹣ ＞| 2+3| ﹣ ； | 2|+| 3| ②﹣ ﹣＝2+3＝5，| 2 3| ﹣﹣＝| 5| ﹣＝5，故| 2|+| 3| ﹣ ﹣＝| 2 3| ﹣﹣； | 2|+|0| ③﹣ ＝2，| 2+0| ﹣ ＝2，故| 2|+|0| ﹣ ＝| 2+0| ﹣ ． 故答为：①＞；②＝；③＝． （2）当，b 异号时，||+|b|＞|+b|， 当，b 同号时（包括零），||+|b|＝|+b|， ||+| ∴ b|≥|+b|； （3）∵|x|+2015＝|x 2015| ﹣ ， | ∴x|+| 2015| ﹣ ＝|x 2015| ﹣ ． 由（2）可知：x 与﹣2015 同号， ∴x≤0． 【题型5 绝对值中的分类讨论之 a ¿a∨¿¿类型问题】 【例5】（2022 秋•江阳区校级期中）有理数、b 在数轴上的对应点位置如图所示 （1）用“＜”连接0、﹣、﹣b、﹣1 （2）化简：|| 2|+ ﹣ b 1| ﹣−1 3 |b 1| ﹣﹣ （ 3 ） 若 • （ 2+1 ） ＜ 0 ， 且 +b ＞ 0 ， 求 ¿c+1∨¿ c+1 +¿c−1∨ ¿ c−1−¿a−b+c∨ ¿ a−b+c ¿¿¿的值． 【分析】（1）直接利用数轴分析得出答； （2）结合数轴得出各部分的符号，进而化简即可； （3）结合数轴得出各部分的符号，进而化简即可． 【解答】解：（1）由数轴可得： 1 ﹣＜﹣b＜0＜﹣； （2）原式＝﹣+2（+b 1 ﹣）−1 3 （b 1 ﹣﹣） ¿ 4 3 a+ 5 3 b−5 3； （3）∵•（2+1）＜0，且+b＞0， ∴＜0，1＞b＞0， || ∴＜b， 1 原式¿ c+1 c+1 +−(c−1) c−1 −−(a−b+c) a−b+c ＝1 1+1 ﹣ ＝1． 【变式5-1】（2022 秋•顺平县期中）设、b、、d 为有理数，且¿abcd∨ ¿ abcd =1¿，则 ¿a∨¿ a +¿b∨¿ b +¿c∨¿ c +¿d∨¿ d ¿¿¿¿的值为 ﹣ 4 ， 0 ， 4 ． 【分析】根据已知条件¿abcd∨ ¿ abcd =1¿，得出bd＞0，根据两数之积是正数时，两 数一定符号相同，分别分析即可得出答． 【解答】解：由¿abcd∨ ¿ abcd =1¿，知bd＞0， 于是，b，，d 中4 个全为正数或两个正数两个负数或4 个全为负数． 当，b，，d 全为正数时，原式＝1+1+1+1＝4； 当，b，，d 中有两个正数两个负数时，原式＝0； 当，b，，d 全为负数时，原式＝﹣1 1 1 1 ﹣﹣﹣＝﹣4． 故答为：﹣4，0，4． 【变式5-2 】（2022 秋• 鄂州校级月考）若0 ＜＜1 ，﹣2 ＜b ＜﹣1 ，则 ¿a−1∨ ¿ a−1−¿b+2∨¿ b+2 +¿a+b∨¿ a+b ¿¿¿的值是 ﹣ 3 ． 【分析】可以用特殊值法进行计算，令¿ 1 2，b¿−3 2，代入即可得出答． 【解答】解：方法1：令¿ 1 2，b¿−3 2， 代入 ¿a−1∨ ¿ a−1−¿b+2∨¿ b+2 +¿a+b∨¿ a+b ¿¿¿， 得：¿a−1∨ ¿ a−1−¿b+2∨¿ b+2 +¿a+b∨¿ a+b=−¿¿¿¿1 1 1 ﹣﹣＝﹣3． 方法2：∵0＜＜1，﹣2＜b＜﹣1， 1 ∴﹣＜0，b+2＞0，+b＜0， ∴¿a−1∨ ¿ a−1−¿b+2∨¿ b+2 +¿a+b∨¿ a+b ¿¿¿， ¿−a−1 a−1−b+2 b+2−a+b a+b， ＝﹣1 1 1 ﹣﹣， ＝