专题01 数轴的三种常见考法（解析版）

专题01 数轴的三种常见考法 【知识点精讲】 1 数轴的概念 1）数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴 2）三要素： ①原点—参考点，正负数分界点； ②方向—一般选取向右为正方向； ③单位长度—同一条数轴上的单位长度应当一致 2 数轴的读数与画法[来源:Z&xx&km] 1）数轴的读数：在原点的左边，则为正数，在数轴的右边，则为负数。 2）画数轴步骤：直线 b 确定原点 选正方向（通常从原点向右或向上定位正方向） d 选取 单位长度（选取适当长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点， 依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，…） e 标数 （用实心点标数） 3 数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合） 1）数轴上的点并不是都是有理数 2）正方向可以不按照常规方向选取 3）>0，与原点的距离是，在数轴上可以是± （存在多解的情况） 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向 4 数轴与数的大小 1）正方向上，离原点越远，数越大 2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小） 注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。 类型一、利用数轴比较大小 例．已知有理数，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【详解】解：根据图示知： ， ， ， ， ．故选：B． 【点睛】本题考查了数轴的知识以及不等式的基本性质，解题的关键是利用数形结合的思 想得出，b 与1， 的大小关系． 【变式训练1】已知，b，三个数在数轴上的位置如图所示，有以下4 个结论：① ； ② ；③ ；④ ；其中正确的结论的个数有（ ）个 ．4 B．3 ．2 D．1 【答】B 【分析】根据数轴上的数，右边的数总是大于左边的数，即可判断，b，的符号，再根据数 轴的位置关系逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知： ，故① 正确； ② ，②正确； ③ ，③错误； ④ ，④正确； 故正确的结论有3 个． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的性质及实数如何比较大小，关键在于学生要理解知识并灵活 运用． 【变式训练2】如图，点 、 均在数轴上，且点 所对应的实数分别为 、 ，若 ，则下列结论一定正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据 ，可知 可能同号，也可能异号，而 恒成立，即可求解． 【详解】∵ ， ∴ ，即在数轴上， 在 的左侧， ∴ 或 ， ∴ 可能同号，也可能异号，而 恒成立， ∴ 一定正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上点的位置及其大小关系，熟练掌握数轴上右边的数总比左边的 数大是解题的关键． 【变式训练3】有理数，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】先根据点在数轴上的位置，判断出、b、 、 的正负，然后再比较出、b、 、 的大小，最后结合选项进行判断即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴选项不符合题意； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴选项B 不符合题意； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴选项符合题意； ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴选项D 不符合题意． 故选：． 【点睛】此题考查数轴，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和 “形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，掌握 数形结合的数学思想是解题的关键． 类型二、基本动点问题 例．在数轴上，把原点记作点，表示数1 的点记作点．对于数轴上任意一点P（不与点， 点重合），将线段 与线段 的长度之比定义为点P 的特征值，记作 ，即 ，例 如：当点P 是线段 的中点时，因为 ，所以 ．若数轴上的点P 满足 ，则 的值是________． 【答】 或 【分析】首先分类讨论P 的位置，然后根据新定义，直接代值求解即可． 【详解】 因为 ，所以P 在 或 处，所以 ， 或 所以 或 故答为： 或 【点睛】此题考查坐标轴上的动点问题，解题关键是分类讨论可能在的位置． 例2．如图，已知线段 ，点为线段B 上一点，且 ．动点P 以1m/s 的速度，从点出发，沿B 方向运动，运动到点B 停止；点P 出发1s 后，点Q 以4m/s 的速 度，从点出发，沿方向运动，运动到点时，停留2s，按原速沿B 方向运动到点B 停止．设 P 的运动时间为t s． (1)=__________m，B=__________m； (2)当Q 从向运动时，若 ，求t 的值． (3)当 时，直接写出t 的值． 【答】(1) ； (2) (3) 【分析】（1）直接按比例求解即可； （2）根据数量关系列方程即可； （3）分类讨论两点的位置关系，列方程求解即可． 【详解】（1） ，点为线段B 上一点，且 ， 那么 ． 故答为：； （2）动点P 以1m/s 的速度，从点出发，沿B 方向运动，则 ， 点P 出发1s 后，点Q 以4m/s 的速度，从点出发，沿方向运动，运动到点时，停留2s，按 原速沿B 方向运动到点B 停止， 则 从 到 时， ， 从 到 时， ． 因为当Q 从向运动时，若 ， 所以 ，解得 ． （3）当则 从 到 时， ， ， 可得 ，解得 ， 从 到 时， 在 左侧时， ． ， 可得 ，解得 ， 从 到 时， 在 右侧时， ． ， 可得 ，解得 ． 综上所述： 【点睛】此题考查动点问题，解题关键是找出每段线段的长，用速度表示点的路程，然后 找出等量关系列方程． 【变式训练1】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4 个单位长度到达点，再 向右爬行了2 个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10 个单位长度到达点． (1)画出数轴并标出，B，三点在数轴上的位置； (2)写出点、B、三点表示的数； (3)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长 度得到的？ 【答】(1)见解析 (2)点表示的数是4、B 点表示的数是6、点表示的数是 (3)向左爬行4 个单位长度 【分析】（1）画出数轴并标出，B，三点即可求解； （2）根据（1）中所画数轴写出即可； （3）根据正负数在轴上的意义“向右为正，向左为负”来解答． 【详解】（1）如图所示： （2）点表示的数是4、B 点表示的数是6、点表示的数是 ； （3）∵点坐标是 ， ∴可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬行4 个单位长度得到的． 【点睛】本题考查了数轴，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现 了数形结合的优点． 【变式训练2】如图，在数轴上点表示的有理数为 ，点B 表示的有理数为6，点P 从点 出发以每秒2 个单位长度的速度在数轴上沿由到B 方向运动，当点P 到达点B 后立即返回， 仍然以每秒2 个单位长度的速度运动至点停止运动．设运动时间为t（单位：秒）． (1) 时点P 表示的有理数为 ___________； (2)求点P 是 的中点时t 的值； (3)请直接写出点P 到点的距离（用含t 的代数式表示）； (4)请直接写出点P 表示的有理数（用含t 的代数式表示）． 【答】(1)0 (2)25 或75 (3) 或 (4) 【分析】（1）当 时，点P 的路程与 的和即为点表示的有理数； （2）求出 的长，分两种情况：由到B 方向运动时点P 是 的中点；由B 到方向运动 时点P 是 的中点； （3）分两种情况：点P 由点到点B 的运动过程中，点P 到点的距离即点P 的运动路程；点 P 由点B 到点的运动过程中，点P 到点的距离为 与点P 运动路程的差； （4）分两种情况：点P 由点到点B 的运动过程中；点P 由点B 到点的运动过程中；由 （3）的结果及两点间的距离即可求得点P 表示的有理数． 【详解】（1）解：点P 表示的有理数为 ； 故答为：0； （2）解： ， ， 当由到B 方向运动时， ， 当由B 到方向运动时， ． 综上，点P 是 的中点时 或 ； （3）解：当点P 由点到点B 的运动过程中，点P 与点的距离 的长度为 ； 当点P 由点B 到点的运动过程中，点P 与点的距离为 ； （4）解：在点P 由点到点B 的运动过程中，点P 表示的有理数是 ； 在点P 由点B 到点的返回过程中，点P 表示的有理数是 ． 【点睛】本题考查了数轴上动点问题，两点间距离，数轴上的点表示有理数等知识，注意 数形结合． 【变式训练3】一只跳蚤在数轴上从原点开始，第次向右跳个单位长度，第 次向左跳 个单位长度，第次向右跳个单位长度，第 次向左跳 个单位长度，…依此规律跳下 去，当它跳第 次落下时，落点处离原点的距离是________个单位长度． 【答】 【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律计算即可． 【详解】解： ； 故答为 ． 【点睛】本题考查了数轴与图形的变化规律，数轴上点的移动规律是“左加右减”，在学 习的过程中培养数形结合的思维是解题的关键． 类型三、两点之间的距离 例1．在数轴上，到原点的距离等于5 个单位长度的点所表示的数是________． 【答】5 或 【分析】根据数轴上两点间的距离的意义解答即可． 【详解】解：设这个数为 ， 则 ， 解得 ． 故答为：5 或 ． 【点睛】本题考查数轴上两点距离的意义，还可以根据相反数的特点解答，即在数轴上到 原点的距离相等的点有两个，这两个点表示的数互为相反数． 【变式训练1】数轴上、B 两点对应的数分别为 和 ，P 为数轴上一点，若 ，则点P 表示的数是________． 【答】 或 【分析】分情况讨论，①当点P 在线段 上时，设点P 表示的数是x，根据数轴上、B 两 点对应的数分别为 和 得 ， ，即可得 ；②当点P 在线段 延长线上时，设点P 表示的数是x，根据数轴上、 B 两点对应的数分别为 和 得 ， ，即可得 ；分别计算并检验，即可得． 【详解】解：①当点P 在线段 上时， 设点P 表示的数是x， ∵数轴上、B 两点对应的数分别为 和 ， ∴ ， ， ∴ ， 经检验， 符合题意； ②当点P 在线段 延长线上时， 设点P 表示的数是x， ∵数轴上、B 两点对应的数分别为 和 ， ∴ ， ， ∴ ， 经检验， 符合题意； 综上，点P 表示的数是 或 ， 故答为： 或 ． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是分情况讨论，正确计算． 【变式训练2】在数轴上，点 表示的数为 ，点 以每秒3 个单位长度的速度从点 出发沿数轴向右运动经过________秒，点 与原点 的距离为个单位长度． 【答】3 或7 【分析】根据题意可得出点 在 和的时候与原点 的距离为个单位长度，然后利用 路程除以速度即可得出时间． 【详解】 点 与原点 的距离为个单位长度，点 表示的数为 在 和的时候与原点 的距离都为个单位长度 ， ， ， ， 故答为：或 【点睛】此题考查两点间的距离，数轴，解题关键在于得出点 的位置． 课后训练 1．如图，有理数，b，，d 在数轴上的对应点分别是，B，，D，若 ，则 （ ） ． B．小于6 ．等于6 D．大于6 【答】D 【分析】由 ，在D 的右边，在B 的右边，利用加数与和的关系可知 与6 的大 小关系． 【详解】解：∵在D 的右边，在B 的右边， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、数轴、有理数的加法，属于中等题型． 2．如图，数轴上，B 两点所表示的数分别是 和2，是 的中点，则点所表示的数是 （ ） ． B．1 ． D． 【答】 【分析】根据，B 两点所表示的数分别是 和2，利用中点公式求出线段 的中点所表示 的数即可． 【详解】解：∵，B 两点所表示的数分别是 和2， ∴线段 的中点所表示的数 ． 即点所表示的数是 ． 故选：． 【点睛】本题考查数轴，熟记中点公式是解题的关键． 3．规定向东为正，向西为负，将遥控小汽车两次行驶的情况表示在如图所示的数轴上，则 遥控小汽车两次运动后的结果是（ ） ．向东行驶5 个单位长度 B．向西行驶3 个单位长度．向东行驶2 个 单位长度 D．向西行驶1 个单位长度 【答】 【分析】根据图象得最后停在 的位置，起始位置为 ，然后即可得出结果． 【详解】解：根据图象得最后停在 的位置，起始位置为 ， ∴两次运动后的结果是向东行驶2 个单位长度，故选：． 【点睛】题目主要考查数轴上点的运动，理解题意是解题关键． 8．如图，点和B 表示的数分别为和b，下列式子中，不正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】利用，b 的位置，进而得出： ， ，即可分析得出答． 【详解】解：如图所示： ， ， 、 ，正确，不合题意； B、 ，正确，不合题意； 、 ，故此选项错误，符合题意； D、 ，正确，不合题意． 故选：． 【点睛】此题主要考查了数轴以及有理数混合运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键． 4．有理数m、在数轴上的位置如图，则下列关系式正确的个数有（ ） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】D 【分析】根据数轴判断m 与与0 的大小关系，进而逐一判断即可． 【详解】解：根据数轴可得 且 ， ∴ ， ，即①正确，②错误； ∵ ， ∴ ， ∴ ，即③正确； ∵ 且 ， ∴ ∴ ，即④正确； ∵ ∴ ，即⑤正确； ①③④⑤ ∴ 正确，正确的个数为4 个， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴的应用，解决本题的关键是将m 与与0 的大小关系判断出来． 5．点 ， 在数轴上的位置如图，则 ______ ， ______ 【答】 【分析】根据数轴上点的位置判断出 与 的正负即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置得： ，且 ， 则 ， ， 故答为： ； ． 【点睛】本题主要考查了数轴，弄清数轴上点的位置是解本题的关键． 7．如图，把半径为1 的圆从数轴上表示 的点开始沿数轴向右滚动一周，圆上的点到达 点 ，则点 表示的数为______． 【答】 【分析】由圆的周长为 ，再结合数轴上两点之间的距离可得答． 【详解】解：∵圆的周长为 ， ∴点 表示的数为 ， 故答为： 【点睛】本题考查了数轴上的点运动之后所表示的数，数形结合、正确分析题意，是解题 的关键． 8．在数轴上剪下8 个单位长度（从1 到9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后 在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为 ，则折 痕处对应的点所表示的数可能是_________ 【答】4 或5 或6 【分析】由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵线段长为8，这三条线段的长度之比为 ， ， ∴这三条线段的长度分别为2，2，4， 若剪下的第一条线段长为2，第2 条线段长度也为2， 则折痕表示的数为： ； 若剪下的第一条线段长为2，第2 条线段长度为4， 则折痕表示的数为： ； 若剪下的第一条线段长为4，第2 条线段长度为2， 则折痕表示的数为： ； ∴折痕表示的数为4 或5 或6， 故答为：4 或5 或6． 【点睛】本题考查数轴与线段综合，列出三条线段所有可能的顺序是解题的关键． 9．、B 两个动点在数轴上同时出发，分别向左、向右做匀速运动，它们的运动时间以及在 数轴上的位置记录如下． 时 （秒） 0 5 7 点位置 19 B 点位置 ___ 17 27 (1)根据题意，填写表格； (2)、B 两点能否相遇，如果能相遇，求相遇时的时刻及在数轴上的位置；如果不能相遇， 请说明理由； (3)、B 两点能否相距9 个单位长度，如果能，求相距9 个单位长度的时刻；如不能，请说 明理由． 【答】(1)见解析 (2)能相遇，在第3 秒时相遇，此时在数轴上7 的位置 (3)能在第2 或4 秒时相距9 个单位 【分析】（1）根据两点之间的距离，从而可填写表格； （2）根据相遇的路程和时间的关系，求解即可； （3）根据两种情况分别列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ； ， ． 故填表如下： 时（秒） 0 5 7 点位置 19 B 点位置 17 27 （2）解：能相遇，理由如下：根据题意可得： （秒， ， 答：能在第3 秒时相遇，此时在数轴上7 的位置； （3）解：一种： 、 相遇前相距9 个单位． ， 第二种： 、 相遇后相距9 个单位． ， ∴能在第2 或4 秒时相距9 个单位．