专题03 数轴上动点问题综合的三种考法（解析版）

专题03 数轴上动点问题综合的三种考法 【知识点精讲】 1 数轴上两点间的距离 数轴上、B 两点表示的数为分别为、b，则与B 间的距离B=|－b|； 2 数轴上点移动规律 数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）； 当数表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为+b；向左移动b 个单位长度后 到达点表示的数为－b 类型一、求运动的时间 例． 在数轴上标出数 所对应的点 ； 两点间距离=____； 两点间距离=； 数轴上有两点 ，点 对应的数为 ，点 对应的数为 ，那么 两点之间 的距离=； 若动点 分别从点 同时出发，沿数轴负方向运动；已知点 的速度是每秒个单 位长度，点 的速度是每秒 个单位长度，设运动时间为，问： ①为何值时 两点重合？ ②为何值时 两点之间的距离为？ 【答】（1）见解析；（2） ；（3） （4）① ；②2 或4 【分析】 直接根据数轴上的点与有理数的对应关系即可得出答； 用数轴上右边的点对应的有理数减去左边点对应的有理数即可求出距离； 根据距离等于两点表示的数之差的绝对值即可得出答； ①分别用含t 的代数式表示出P，Q 表示的有理数，通过题意建立方程，解方程即可； ②根据两点之间的距离为1，建立方程，解方程即可． 【详解】 如图， 之间的距离为 ，B，两点间距离为 ； 两点之间的距离为 ； ①设点 表示的数为 ，点 表示的数为 ， 令 解得 ， ② 间的为 ，令 解得 ． 【点睛】本题主要考查数轴上的点与有理数，掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的 关键． 例2．小颖在一张纸上画一条数轴，并在数轴上标出 、 、 三个点，点 表示的数是 ，点 在原点的右边且与点 相距 个单位长度． （）点 表示的数是__________． （ ）将这张纸对折，此时点 与表示 的点刚好重合，折痕与数轴交于点 ，求点 表 示的数． （）若点 到点 和点 的距离之和为 ，求点 所表示的数． （ ）点 和点 同时从初始位置沿数轴向左运动，它们的速度分别是每秒个单位长度和 每秒 个单位长度，运动时间是秒．是否存在的值，使秒后点 到原点的距离与点 到 原点的距离相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答】（1）12；（2）4；（3）-105 或145；（4）t= 或20s 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式，可求出点B 表示的数； （2）根据对称可知点到-4 和12 的距离相等，可求点表示的数为：（-4+12）÷2=4； （3）分两种情况讨论：①当 点在点的左边，②当 点在B 点的右边，然后利用数轴上 两点间的距离公式即可解答； （4）由t 秒后点B 到原点的距离是点到原点距离相等，列出一元一次方程即可． 【详解】解：（1）-8+20=12，所以点B 表示的数为：12; （2）（-4+12）÷2=4， 则折痕与数轴有一个交点表示的数为：4； （3）∵B=20，点 到点和点B 的距离之和为25， ∴点 应在线段B 的外， 分两种情况： ①当 点在点的左边，设 点表示数为x， | ∵ |=|x-（-8）|=-x-8， |DB|=|x-12|=12-x， ∴（-x-8）+（12-x）=25， 解得：x=-105， 所以此时 点所表示的数为：-105， ②当 点在B 点的右边，设 点表示数为x， | ∵ |=|x-（-8）|=x+8， | B|=|x-12|=x-12， ∴（x+8）+（x-12）=25， 解得：x=145， 所以此时 点所表示的数为：145， 故若点 到点和点B 的距离之和为25，则点E 所表示的数为：-105 或145； （4）存在． 由题意得：|-8-t|=|12-2t| 解之得：8+t=12-2t 或8+t=2t-12 即t= 或t=20 故存在；t 的值是 或20 所以当t= 或4s 时，点B 到原点的距离是点到原点距离相等． 故答为（1）12；（2）4；（3）-105 或145；（4）t= 或20s 【点睛】此题考查了利用数轴的有关知识解决实际问题，解题的关键是：利用分类讨论思 想解决问题． 【变式训练1】定义：若线段 上有一点 ，当 时，则称点 为线段 的中点 已知数轴上 ， 两点对应数分别为 和 ， ， 为数轴上一动点，对 应数为 （1）若点 为线段 的中点，则 点对应的数 为______若 为线段 的中点时则 点 对应的数 为______ （2）若点 、点 同时向左运动，它们的速度都为1 个单位长度/秒，与此同时点 从-16 处以2 个单位长度/秒向右运动 ①设运动的时间为秒，直接用含的式子填空 ______； ______ ②经过多长时间后，点 、点 、点 三点中其中一点是另外两点的中点？ 【答】（1）1 ，10；（2）① 或 （或者写 ）， 或 （或者写 ），② 或 或 【分析】(1)根据线段中点的定义得出规律,再利用规律解答即可 (2)①根据题意得出、B、P 表示的数,从而得出结论; ②分三种情况讨论:若P 为B 的中点,若为BP 的中点,若B 为P 的中点,根据(1)所得结论列方 程求解即可 【详解】(1) P ∵为线段B 的中点, P=PB, ∴ x-=b-x,2x=+b, ∴ x= ∴ ; 若B 为线段P 的中点,则2b=+x,解得:x=2b-=8-(-2)=10 故答为:1,10 (2)由题意得:表示的数为-2-t,B 表示的数为:4-t,P 表示的数为:-16+2t ①P=|(-16+2t)-(-2-t)=|14-3t|,BP=|(-16+2t)-(4-t)|=|20-3t|, P=-3t+14 ∴ 或14-3t; BP=20-3t 或3t-20 故答为:-3t+14 或14-3t;20-3t 或3t-20 ②分三种情况讨论: 若P 为B 的中点,则:2(-16+2t)=(-2-t)+(4-t),解得:t= ; 若为BP 的中点,则:2(-2-t)=(-16+2t)+(4-t),解得:t= ; 若B 为P 的中点,则:2(4-t)=(-2-t)+(-16+2t),解得:t= 综上所述:t 的值为: 或 或 时, 点 、点 、点 三点中其中一点是另外两点的中点 【点睛】本题考查了非负数的性质,数轴,两点间的距离,一元一次方程的应用,运用方程思想、 分类讨论思想结合是解题关键 【变式训练2】已知 是多项式 的常数项， 是项数 （1） ； ； （2）在数轴上，点 、 分别对应实数 和 ，点 到点 和点 的距离分别为 和 ，且 ，试求点 对应的实数 （3）动点M 从点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向右运动；动点从B 点以每秒3 个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，立即改变方向往右运动到达B 点后停止运动； 若M、同时出发，在此过程中，经过多少秒时点为MB 或M 的中点 【答】(1)-5;3;(2)-8 或6;(3) 、 或 【分析】(1)根据多项式的性质得出、b 即可 (2)根据绝对值的几何意义,分类讨论 (3)根据数轴上点运动到不同的位置时,分类讨论 【详解】(1)=-5,b=3 (2)由题意得:表示-5,B 表示3,则|B|=8 要使得一点P 到的距离和到B 的距离为14,则除去B 之间的距离8 还差6 ①P 点需要距离点3,距离B 点11,则P 为-8 ②P 点需要距离B 点3,距离点11,则P 为6 故P 为:-8 或6 (3)设经过的时间为t 秒到达点时t= ,停止时t= 当未到达点:M:t-5 :3-3t ①当为MB 的中点时 B－=－M B+M=2 3+t-5=2(3-3t) t= ②当为M 的中点时 M－=－ M+=2 t-5+(-5)=2(3-3t) t= 当到达点时:M:t-5 : 3(t- )-5 ③当为M 中点时 M－=－ M+=2 t-5+(-5)=2[3(t- )-5] t= ④当为MB 中点时 B-=-M B+M=2 3+(t-5)=2[3(t- )-5] t= ＞ (舍去) 综上所述,经过 、 或 秒时点为MB 或M 的中点 【点睛】本题考查多项式性质、绝对值得几何意义和线段动点问题,关键在于结合数轴分类 讨论 【变式训练3】已知、b 为常数，且关于x、y 的多项式（﹣20x2+x﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y 3 ﹣）的值与字母x 取值无关，其中、b 分别为点、点B 在数轴上表示的数，如图所示．动 点E、F 分别从、B 同时开始运动，点E 以每秒6 个单位向左运动，点F 以每秒2 个单位向 右运动，设运动时间为t 秒． （1）求、b 的值； （2）请用含t 的代数式表示点E 在数轴上对应的数为： ，点F 在数轴上对应的数为： ． （3）当E、F 相遇后，点E 继续保持向左运动，点F 在原地停留4 秒后向左运动且速度变 为原来的5 倍．在整个运动过程中，当E、F 之间的距离为2 个单位时，求运动时间t 的值 （不必写过程）． 【答】（1）＝12，b＝﹣20；（2）12 6 ﹣t，﹣20+2t；（3） 秒或 秒 秒或 秒 【分析】（1）由题意根据关于x、y 的多项式（﹣20x2+x﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y 3 ﹣）的 值与字母x 取值无关，即可求出、b； （2）由题意根据点E、F 的运动方向和速度可得解； （3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可． 【详解】解：（1）∵关于x、y 的多项式（﹣20x2+x﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y 3 ﹣）的值与字 母x 取值无关， ∴（﹣20x2+x﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y 3 ﹣） ＝﹣20x2+x﹣y+12﹣bx2 12 ﹣ x 6 ﹣y+3）＝（﹣20﹣b）x2+（﹣12）x 7 ﹣y+15， 20 ∴﹣ ﹣b＝0 或﹣12＝0， 解得b＝﹣20，＝12； （2）设运动时间为t 秒． 由题意得：点E 在数轴上对应的数为：12 6 ﹣t，点F 在数轴上对应的数为：﹣20+2t， 故答为：12 6 ﹣t，﹣20+2t； （3）设当E、F 之间的距离为2 个单位时，运动时间为t 秒， 相遇前：12 6 ﹣t＝﹣20+2t+2，解得：t＝ ； 相遇后：E、F 相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒）， 相遇点为﹣20+2×4＝﹣12， 点F 在原地停留4 秒时，6（t 4 ﹣）＝2，解得：t＝ ； 由题意得：当E、F 相遇后，点E 在数轴上对应的数为：12 6 ﹣t，点F 在数轴上对应的数为： ﹣12 2×5 ﹣ （t 4 4 ﹣﹣）＝68 10 ﹣ t． 当E 在F 左侧时，68 10 ﹣ t﹣（12 6 ﹣t）＝2，解得：t＝ ； 当E 在F 右侧时，12 6 ﹣t﹣（68 10 ﹣ t）＝2，解得：t＝ ． 答：当E、F 之间的距离为2 个单位时，运动时间为 秒或 秒 秒或 秒 【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题 的关键． 类型二、定值问题 例1．如图，在数轴上点表示数－3，B 点表示数b，点表示数，且b 满足 （1）b= ，= ． （2）若使．B 两点的距离是．B 两点的距离的2 倍，则需将点向左移动 个单位长度． （3）点．B．开始在数轴上运动，若点以每秒m 个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点分别以每秒2 个单位长度和5 个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒； ①点．B．表示的数分别是 （用含mt 的代数式表示）； ②若点B 与点之间的距离表示为d1，点与点B 之间的距离表示为d2，当m 为何值时，2d1 －d2的值不会随着时间t 的变化而改变，并求出此时2d1－d2的值． 【答】（1）b=-1，=4； (2) 1 或9； （3）①-3-mt；-1+2t；4+5t；②m=4；2d1－d2的值为12． 【分析】（1）由 ，根据平方及绝对值的非负性可得b+1=0，-4=0，据此 可求得b、的值； （2）先求出B 和B 的长度，结合数轴即可得出点向左移动的距离，有两解； （3）①结合路程=时间×速度写出答； ②根据①先表示出d1、d2，从而表示出2d1-d2，然后根据2d1－d2的值不会随着时间t 的变 化而改变得出t 的系数为0，即可求出m 的值，继而求出2d1－d2的值 【详解】解：（1）∵ b+1=0 ∴ ，-4=0 b=-1 ∴ ，=4 (2)由数轴可知：B= 2， B =4 ∴ ， ∴点向左移动后的数是3 或-5 ∴需将点向左移动1 或9 个单位； 故答是：1 或9； （3）①点表示的数是-3-mt；点B 表示的数是-1+2t；点所表示的数是4+5t． 故答是：-3-mt；-1+2t；4+5t； ②∵点表示的数是-3-mt；点B 表示的数是-1+2t；点所表示的数是4+5， d ∴ 1=4+5t-(-1+2t)=3t+5，d2=-1+2t-(-3-mt)=（m+2）t+2， 2d ∴ 1-d2=2（3t+5）-[（m+2）t+2]=（4-m）t+12， 2d ∵ 1－d2的值不会随着时间t 的变化而改变 4-m=0 ∴ ， m=4 ∴ ， 故当m=4 时，2d1－d2的值不会随着时间t 的变化而改变，此时2d1－d2的值为12． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离及动点问题，掌握距离公式及平移规律是解决问 题的关键本题体现了数形结合的数学思想． 例2．如图，在数轴上 点表示的数是-8， 点表示的数是2 动线段 （点 在点 的右侧），从点 与点 重合的位置出发，以每秒2 个单位的速度向右运动，运动时间为 秒 （1）①已知点 表示的数是-6，试求点 表示的数； ②用含有的代数式表示点 表示的数； （2）当 时，求的值 （3）试问当线段 在什么位置时， 或 的值始终保持不变？请求出它的 值并说明此时线段 的位置 【答】（1）①-2；② ；（2）6 或2；（3）当线段 在线段 上时或当点 在线段 内， 值保持不变，值为14，当线段 在点 的右侧时 的值保持不变， 值为14 【分析】（1）①已知点 表示的数是-6， （点 在点 的右侧），即可得到点D 的坐标；②点 与点 重合的位置出发，以每秒2 个单位的速度向右运动，运动时间为秒 =2t,D=2t+4，即可表示点 表示的数； （2）先求出 ，再分当点 在点 左侧和当点 在点 右侧讨论，列方程求解即可； （3）分当线段 在线段 上时（图1）或当点 在线段 内时（图2）和当线段 在 点 的右侧时（图3）讨论，求出 或 的值即可得出结论 【详解】解:（1）①已知点 表示的数是-6， （点 在点 的右侧）， ∴点 表示的数是-2； ②∵点 从与点 重合的位置出发，以每秒2 个单位的速度向右运动，运动时间为秒， =2t,D=2t+4 ∴ ， ∴点 表示的数2t+4-8=2t-4; （2）∵ 且线段 移动的速度为每秒2 个单位， ∴ ①当点 在点 左侧（图1） ∵ ， ∴ ∴ ②当点 在点 右侧（图2，3） ∵ ， ∴ ∴ 综上所述， 或 （3）①当线段 在线段 上时（图1）或当点 在线段 内时（图2） 的值保持不变，且 ②当线段 在点 的右侧时（图3） 的值保持不变，且 【点睛】此题主要考查了数轴和一元一次方程的应用正确的画出图形，进行分类讨论是解 决问题的关键 【变式训练1】如图：在数轴上 点表示数 点示数 点表示数 是最大的负整数， 在 左边两个单位长度处， 在 右边个单位处 ； _； _； 若将数轴折叠，使得 点与 点重合，则点 与数_ __表示的点重合； 点 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时， 点 和点 分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若 点 与点 之间的距离表示为 点 与点 之间的距离表示为 点 与点 之间的距 离表示为 ，则 _ _， _ _， __ _；（用含的代数式表示） 请问: 的值是否随着时间的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请 求其值． 【答】（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5B 2B ﹣ 的值不会随着 时间t 的变化而改变，该值是21． 【分析】（1）根据b 为最大的负整数可得出b 的值，再根据 在 左边两个单位长度处， 在 右边个单位处即可得出、的值； （2）根据折叠的性质结合、b、的值，即可找出与点B 重合的数； （3）根据运动的方向和速度结合、b、的值，即可找出t 秒后点、B、分别表示的数，利用 数轴上两点间的距离即可求出B、、B 的值； （4））将（3）的结论代入 中，可得出 的值不会随着时间的变化而 变化，即为定值，此题得解． 【详解】（1） b 是最大的负整数， 在 左边两个单位长度处， 在 右边个单位处 ， （2） 将数轴折叠，使得 点与 点重合 （3） 点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时，点 和点 分别以每秒个单位 长度和个单位长度的速度向右运动 t 秒钟过后，根据 得： ， ， 又 ， ， 点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点表示的数为 ， ， ， ； （4）由（3）可知： ， 的值为定值21． 故答为：（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5B 2B ﹣ 的值不会随 着时间t 的变化而改变，该值是21． 【点睛】本题考查了数轴及两点间的距离，根据点运动的方向和速度找出点、B、运动后代 表的数是解题的关键． 【变式训练2】如图，记数轴上、B 两点之间线段长为 ， （单位长度）， （单位长度），在数轴上，点在数轴上表示的数是 ，点D 在数轴上表示的数是15． (1)点B 在数轴上表示的数是_____，点在数轴上表示的数是_____，线段B 的长＝_____． (2)若线段 以1 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2 个单位长度/秒的 速度向左匀速运动，当点B 与重合时，点B 与点在数轴上表示的数是多少？ (3)若线段 以1 个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段 以2 个单位长度/秒的 速度也向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当 时，M 为 中点，为 中点． ①若数轴上两个数为、b，则它们的中点可表示为 ．则点M 表示的数为_____，点表 示的数为______．（用代数式表示） ②线段M 的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答】(1) ，14，24 (2)当点B 与重合时，点B 与点在数轴上表示的数是﹣2 (3)① ； ；②M 的长是定值， 【分析】（1）数轴上点右边的点B 表示的数是点表示的数加上这两个点的距离，数轴上点 D 左边的点表示的数是点D 表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点B 和点表示 的数，因为点在点B 的右边，所以用点表示的数减去点B 表示的数即得到线段 的长； （2）设运动的时间为t 秒，先确定点B 表示的数为 ，点B 与点相距24 个单位长度， 两个点相向运动，则点B