专题1.1 有理数与数轴【八大题型】（解析版）

专题11 有理数与数轴【八大题型】 【人版】 【题型1 正数与负数的概念】.................................................................................................................................1 【题型2 相反意义量的表示】.................................................................................................................................2 【题型3 相反意义量的应用】.................................................................................................................................4 【题型4 有理数的概念辨析】.................................................................................................................................6 【题型5 有理数的分类】.........................................................................................................................................8 【题型6 数轴的画法及应用】...............................................................................................................................10 【题型7 数轴上的点所表示的数】.......................................................................................................................12 【题型8 数轴中点的规律问题】...........................................................................................................................14 【知识点1 正数和负数的概念】 大于 0 的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它 的符号．0 既不是正数也不是负数．0 是正负数的分界点，正数是大于0 的数，负数是小于 0 的数． 【题型1 正数与负数的概念】 【例1】（2021 秋•盐池县期末）在0，−1 7 ，03 ⋅，2π，﹣23%，2021 这六个数中，非正数 的有（ ）个． ．2 B．3 ．4 D．0 【分析】根据有理数的分类方法，可得：非正数包括负数和0，据此判断出0，−1 7 ，03 ⋅ ，2π，﹣23%，2021 这六个数中，非正数有多少个即可． 【解答】解：在0，−1 7 ，03 ⋅，2π，﹣23%，2021 这六个数中，非正数有3 个：0，−1 7 ，﹣23%． 故选：B． 【变式1-1】（2021 秋•西城区校级期中）下列各数﹣5、+3、﹣02、1 2、0、−3 5 、﹣11、 24 中，负数有（ ）个． ．3 B．4 ．5 D．6 1 【分析】根据负数的定义，即负数为小于0 的有理数，再判定负数的个数． 【解答】解：在﹣5、+3、﹣02、1 2、0、−3 5 、﹣11、24 中，负数有﹣5、﹣02、−3 5 、 ﹣11，共4 个． 故选：B． 【变式1-2】（2021 秋•浑源县期中）﹣是（ ） ．负数 B．正数 ．0 D．正负无法确定 【分析】根据正数、0 和负数的定义判断． 【解答】解：当＞0 时，﹣是负数； 当＜0 时，﹣是正数， 当＝0 时，﹣＝0，既不是正数，也不是负数， ∴﹣正负无法确定． 故选：D． 【变式1-3】（2021 秋•襄州区校级月考）下列判断正确的个数是（ ） ①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上“﹣”，就是 一个负数；③0 是最小的正数；④大于0 的数是正数；⑤字母既是正数，又是负数． ．0 B．1 ．2 D．3 【分析】根据各小题中的说法，可以判断各个小题中的说法是否正确，最后得出答． 【解答】解：加正号的数不一定是正数，如+（﹣5）＝﹣5 是负数，加负号的数不一定 是负数，如﹣（﹣5）＝5 是正数，故①错误； 任意一个正数，前面加上“﹣”，就是一个负数，故②正确； 零既不是正数，也不是负数，故③错误； 大于0 的数是正数，故④正确； 如果是正数，就必定不是负数，故⑤错误， 故选：． 【知识点2 具有相反意义的量】 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来 表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 1 【题型2 相反意义量的表示】 【例2】（2021 春•保山期末）云南省统计局3 月16 日发布，2021 年前两个月，云南省外 贸进出口总额54580 亿元，同比增长862%．其中，出口36357 亿元，同比增长 2756%，进口18227 亿元，同比下降71%．若出口同比增长率记作+2756%，则进口同比 增长率记作（ ） ．﹣71 B．﹣71% ．18227 D．+71% 【分析】利用相反意义量的定义判断即可． 【解答】解：若增长2756%记作+2756%，则下降71%记作﹣71%． 故选：B． 【变式2-1】（2021 秋•渌口区期末）如表是某微信用户的零钱明细，按照这种表示方法， “+60”表示的是（ ） 零钱明细 （元） 扫二维码付款 20 ﹣ 微信红包收入 +200 微信红包发出 100 ﹣ ．微信红包发出60 元 B．微信红包收入60 元 ．微信余额60 元 D．微信扫描二维码付款60 元 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：加分记为正，则扣分就记为 负，直接得出结论即可． 【解答】解：根据表格中的信息，“+60”表示的是收入60 元， 故选：B． 【变式2-2】（2021 秋•湖里区期末）小明积极配合小区进行垃圾分类，并把可回收物拿到 废品收购站回收换钱，这样既保护了环境，又可以为自己积攒一些零花钱．如表是他12 月份的部分收支情况（单位：元）． 日期 收入（+）或支出（﹣） 结余 备注 1 日 45 175 卖可回收物 5 日 20 ﹣ 25 ﹣ 买书，不足部分由妈妈代付 其中表格中“﹣25”表示的是（ ） ．卖可回收物换回的钱数 B．买书的钱数 ．买书时妈妈代付的钱数 1 D．买书的钱与妈妈代付的钱数之和 【分析】根据题目给出的正数和负数的意义解答即可． 【解答】解：表格中“﹣25”表示买书时妈妈代付的钱数． 故选：． 【变式2-3】（2021 秋•浑源县期中）某食品厂生产我市特产黄花菜，规定每袋黄花的标准 质量为15±0005kg，厂质检部门随机选取了10 袋黄花进行质量检测，结果如表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量 （kg） 1503 1502 1499 1504 1496 1504 150 1503 1488 1499 则不符合要求的有（ ） ．1 袋 B．2 袋 ．3 袋 D．4 袋 【分析】根据标准质量为15±0005kg，求出合格的质量的取值范围，再从表格中逐个验 证得出答． 【解答】解：因为每袋黄花的标准质量为15±0005kg，即1495kg≤m≤1505kg， 故1488 不符合要求，即不符合要求的有1 袋． 故选：． 【题型3 相反意义量的应用】 【例3】（2021•南京）北京与莫斯科的时差为5 小时，例如，北京时间13：00，同一时刻 的莫斯科时间是8：00．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间 9：00～17：00 之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ） ．10：00 B．12：00 ．15：00 D．18：00 【分析】根据北京时间比莫斯科时间早5 小时解答即可． 【解答】解：由题意得，北京时间应该比莫斯科时间早5 小时， 当莫斯科时间为9：00，则北京时间为14：00；当北京时间为17：00，则莫斯科时间为 12：00； 所以这个时刻可以是14：00 到17：00 之间， 所以这个时刻可以是北京时间15：00． 故选：． 【变式3-1】（2021 秋•玄武区期末）北京与伦敦的时差为8 小时，例如，北京时间13： 00，同一时刻的伦敦时间是5：00，小丽和小红分别在北京和伦敦，她们相约在各自当 地时间9：00～19：00 之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ） ．20：00 B．18：00 ．16：00 D．15：00 【分析】根据北京时间比伦敦时间早8 小时解答即可． 1 【解答】解：由题意得，北京时间应该比伦敦时间早8 小时， 当伦敦时间为9：00，则北京时间为17：00；当北京时间为19：00，则伦敦时间为 11：00； 所以这个时刻可以是北京时间17：00 到19：00 之间， 所以这个时刻可以是北京时间18：00． 故选：B． 【变式3-2】（2022 秋•蒙自市期末）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市的时间 和北京时间，若下表给出的是国外四个城市与北京的时差，则这四个时钟对应的国外城 市从左到右依次是（ ） 城市 时差/ 纽约 13 ﹣ 悉尼 +2 伦敦 8 ﹣ 罗马 7 ﹣ ．伦敦、纽约、罗马、悉尼 B．罗马、悉尼、伦敦、纽约 ．纽约、悉尼、伦敦、罗马 D．罗马、伦敦、悉尼、纽约 【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即 可． 【解答】解：由题意可知，北京时间是4 时或16 时， 由表格可得，悉尼与北京时差为+2，悉尼时间为6 时或18 时， 纽约与北京时差为﹣13，纽约时间为15 时或3 时， 伦敦与北京时差为﹣8，伦敦时间为8 时或20 时， 罗马与北京时差为﹣7，罗马时间为9 时或21 时， 所以这四个时钟对应的国外城市从左到右依次是纽约、悉尼、伦敦、罗马． 故选：． 【变式3-3】（2021 秋•漳平市期中）下面的4 个时钟显示了同一时刻国外三个城市时间和 北京时间，根据下表给出的国外三个城市与北京的时差，下列时钟中表示悉尼时间的是 （ ）时钟． 1 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 8 ﹣ +2 13 ﹣ ． B． ． D． 【分析】根据伦敦、悉尼、纽约与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【解答】解：由表格可得，悉尼与北京时差为+2，所以北京时间是4 时或16 时，悉尼 时间为6 时或18 时． 故选：D． 【知识点3 有理数的概念】 正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数． 【题型4 有理数的概念辨析】 【例4】（2021 秋•思明区校级期中）下列说法错误的是（ ） ．正有理数和负有理数统称有理数 B．负整数和负分数统称为负有理数 ．0 是整数，但不是分数 D．正整数、负整数和0 统称为整数 【分析】根据有理数相关定义逐一判断即可． 【解答】解：．正有理数，0 和负有理数统称有理数，故选项符合题意； B．负整数和负分数统称为负有理数，故选项B 不符合题意； ．0 是整数，但不是分数，故选项不符合题意； D．正整数、负整数和0 统称为整数，故选项D 不符合题意． 故选：． 【变式4-1】（2021 秋•榆阳区校级月考）下列关于零的说法中，正确的个数是（ ） ①零是整数，也是有理数； ②零不是正数，也不是负数； ③零不是整数，但是有理数； ④零是整数，但不是自然数； ⑤零既不是整数，也不是分数． ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【分析】根据有理数的定义逐一判断即可． 【解答】解：①零是整数，也是有理数；正确，符合题意； 1 ②零不是正数，也不是负数；正确，符合题意； ③零是整数，是有理数；原说法错误，不符合题意； ④零是整数，是自然数；原说法错误，不符合题意； ⑤零是整数，不是分数．原说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式4-2】（2021 秋•旌阳区校级月考）下面是关于有理数的叙述：①有理数分为正有理 数和负有理数两部分；②有理数分为整数和分数两部分；③有理数分为正数、负数和 零三部分；④有理数分为正整数、负整数和零三部分；⑤有理数分为正分数、负分数、 正整数、负整数和零五部分，其中正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据有理数的定义逐一判断即可． 【解答】解：①有理数分为正有理数，0，负有理数三部分，故原说法错误，①不符合 题意； ②有理数分为整数和分数两部分，正确，②符合题意； ③有理数分为正有理数、负有理数和零三部分，故原说法错误，③不符合题意； ④整数分为正整数、负整数和零三部分，故原说法错误，④不符合题意； ⑤有理数分为正分数、负分数、正整数、负整数和零五部分，正确，⑤符合题意； 其中正确的有2 个， 故选：B． 【变式4-3】（2021 秋•鼓楼区校级月考）下列说法中：①0 是最小的整数；②有理数不 是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是 正数；⑤−π 2 不仅是有理数，而且是分数；⑥22 7 是无限不循环小数，所以不是有理数． 其中错误的说法的个数为（ ） ．6 个 B．5 个 ．4 个 D．3 个 【分析】根据有理数的分类标准解决此题． 【解答】解：①根据有理数的大小关系，﹣1＜0，故0 不是最小的整数，那么①错误． ②0 是有理数，但0 既不是正数，也不是负数，那么②错误． ③正整数、负整数、正分数、负分数、0 统称为有理数，那么③错误． ④非负数包括0 和正数，那么④错误． ⑤根据无理数的定义，−π 2 是无理数，那么⑤错误． ⑥根据有理数的定义，22 7 是有理数，那么⑥错误． 1 综上：错误的有①②③④⑤⑥，共6 个． 故选：． 【知识点4 有理数的分类】 ①按整数和分数的关系分类；②按正有理数、零和负有理数的关系分类． 【题型5 有理数的分类】 【例5】（2021 秋•让胡路区校级期末）把下列各数填入相应的集合中： +6，075，﹣3，0，﹣12，+8，24 5 ，−1 3 ，9%，π，﹣02020020002…（每相邻两个2 之 间0 的个数逐次加1）． 正分数集合：{ …}； 正整数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}． 【分析】直接根据有理数的分类进行解答即可． 【解答】解：正分数集合：{075，24 5 ，9%…}； 正整数集合：{+6，+8…}； 整数集合：{+6，﹣3，0，+8…}； 有理数集合：{+6，075，﹣3，0，﹣12，+8，24 5 ，−1 3 ，9%…}． 故答为：075，24 5 ，9%；+6，+8；+6，﹣3，0，+8；+6，075，﹣3，0，﹣12，+8， 24 5 ，−1 3 ，9%． 【变式5-1】（2021 秋•长汀县校级月考）将下列各数填在相应的圆圈里： +6，﹣8，75，﹣04，0，23%，3 7 ，﹣2006，﹣18，−3 4 ． 【分析】根据有理数的分类进行填空即可． 【解答】解：如图： 1 【变式5-2】（2021 秋•牡丹区月考）把下列各数填在相应的大括号里： +1 2 ，﹣6，054，7，0，314，20%，π，−12 4 ，34365，−4 13 ，﹣2543． 正整数集合{ …}； 负整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 自然数集合{ …}； 负有理数集合{ …}； 正有理数集合{ …}． 【分析】根据有理数的概念和分类可完成此题． 【解答】解：正整数集合{7，…}； 负整数集合{ 6 ﹣，−12 4 ⋯}； 分数集合{+1 2 ，054，314，20%，34365，−4 13 ，﹣2543，…}； 自然数集合{7，0，…}； 负有理数集合{ 6 ﹣，−12 4 ，−4 13 ，﹣2543，…}； 正有理数集合{+1 2 ，054，7，314，20%，34365，…}． 故答为：7；﹣6，−12 4 ；+1 2 ，054，314，20%，﹣34365，−4 13 ，﹣2543；7，0；﹣ 6，−12 4 ，−4 13 ，﹣2543；+1 2 ，054，7，314，20%，34365． 【变式5-3】（2021 秋•恩施市校级月考）把下列各数分别填入相应的大括号内： −7，3.5，−3.1415，π ，0，13 17 ，0.03，−3 1 2 ，10，−0.2 ⋅ 3 ⋅ ，−4 2 自然数集合{ … }； 整数集合{ ⋯ }； 正分数集合{ … }； 非正数集合{ ⋯ }； 1 有理数集合{ ⋯ }． 【分析】掌握各自的定义：自然数（大于零的整数）；整数（正整数、零和负整数）； 有理数（整数和分数的统称） 【解答】解：自然数集合：{0，10…}； 整数集合：{ 7 ﹣，0，10，−4 2 ⋯}； 正分数集合：{35，13 17 ，003…}； 非正数集合：{ 7 ﹣，﹣31415，0，﹣31 2，﹣023 ⋅⋅，−4 2 ⋯}； 有理数集合：{ 7 ﹣，35，﹣31415，0，13 17 ，003，﹣31 2，10，﹣02 ⋅ 3 ⋅，−4 2 ⋯}． 【知识点5 数轴的概念与画法】 数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原 点向右为正方向，从原