2025年六升七数学衔接期一元二次方程根与系数关系入门试卷及答案

2025 年六升七数学衔接期一元二次方程根与系数关系入门试卷及答 案 一、单项选择题（每题2 分，共20 分） 1. 一元二次方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\) 的两根之和为（ ） A. 5 B. -5 C. 6 D. -6 2. 若方程\(x^2 + px + q = 0\) 的两根分别为2 和3 ，则\(p\) 的 值为（ ） A. -5 B. 5 C. 6 D. -6 3. 方程\(2x^2 - 8x + 6 = 0\) 的两根之积是（ ） A. 3 B. -3 C. 4 D. -4 4. 若一元二次方程的两根之和为-4 ，两根之积为3，则该方程为 （ ） A. \(x^2 - 4x + 3 = 0\) B. \(x^2 + 4x + 3 = 0\) C. \(x^2 - 4x - 3 = 0\) D. \(x^2 + 4x - 3 = 0\) 5. 已知方程\(x^2 - (k+1)x + k = 0\) 的一个根是2，则另一个根 是（ ） A. 1 B. -1 C. 3 D. 0 6. 若方程\(x^2 + bx + c = 0\) 的两根互为相反数，则必有（ ） A. \(b = 0\) B. \(c = 0\) C. \(b = c\) D. \(b + c = 0\) 7. 方程\(3x^2 - 6x - 9 = 0\) 的两根之和与两根之积的比值为 （ ） A. -2 B. 2 C. -0.5 D. 0.5 8. 若一元二次方程的两根分别为-2 和5 ，则该方程是（ ） A. \(x^2 - 3x - 10 = 0\) B. \(x^2 + 3x - 10 = 0\) C. \(x^2 - 3x + 10 = 0\) D. \(x^2 + 3x + 10 = 0\) 9. 已知方程\(x^2 - mx + n = 0\) 的两根之和为8 ，两根之积为 15 ，则\(m + n =\) （ ） A. 23 B. 7 C. -7 D. -23 10. 若方程\(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) 的两根之和为负 数，两根之积为正数，则（ ） A. \(a > 0, b > 0\) B. \(a > 0, b < 0\) C. \(a 0\) D. \(a < 0, b < 0\) 二、多项选择题（每题2 分，共20 分） 11. 关于方程\(x^2 - 6x + 8 = 0\) ，下列说法正确的有（ ） A. 两根之和为6 B. 两根之积为8 C. 一个根是2 D. 一个根是4 12. 若方程\(x^2 + px + q = 0\) 的两根为\(x_1, x_2\)，则下列关 系恒成立的是（ ） A. \(x_1 + x_2 = p\) B. \(x_1 + x_2 = -p\) C. \(x_1 \cdot x_2 = q\) D. \(x_1 \cdot x_2 = -q\) 13. 已知方程\(2x^2 - 10x + 12 = 0\) 的两根为\(x_1, x_2\)，则 （ ） A. \(x_1 + x_2 = 5\) B. \(x_1 + x_2 = -5\) C. \(x_1 \cdot x_2 = 6\) D. \(x_1 \cdot x_2 = 12\) 14. 若一元二次方程的两根之和等于两根之积，则该方程可能为 （ ） A. \(x^2 - 2x + 2 = 0\) B. \(x^2 - 3x + 3 = 0\) C. \(x^2 - x + 1 = 0\) D. \(x^2 - 4x + 4 = 0\) 15. 关于方程\(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\))，下列说法错误 的有（ ） A. 若\(c = 0\) ，则必有一根为0 B. 若\(b = 0\)，则两根互为相反数 C. 若\(a + b + c = 0\) ，则1 是方程的根 D. 若\(a - b + c = 0\) ，则-1 是方程的根 16. 若方程\(x^2 - (m+2)x + m = 0\) 的两根之和为6 ，则（ ） A. \(m = 4\) B. 两根之积为4 C. 方程为\(x^2 - 6x + 4 = 0\) D. 判别式大于0 17. 已知方程\(x^2 + kx - 6 = 0\) 的一个根是2 ，则（ ） A. \(k = 1\) B. 另一根是-3 C. \(k = -1\) D. 另一根是3 18. 若方程\(x^2 - 5x + c = 0\) 的两根之积为6 ，则（ ） A. \(c = 6\) B. 两根之和为5 C. 判别式为1 D. 方程有两不等实根 19. 设\(x_1, x_2\) 是方程\(x^2 - px + q = 0\) 的两实根，且\ (x_1 = 2x_2\) ，则（ ） A. \(p^2 = 9q\) B. \(2p^2 = 9q\) C. \(p^2 = \frac{9}{2}q\) D. \(q = \frac{2}{9}p^2\) 20. 关于根与系数的关系（韦达定理），下列说法正确的有（ ） A. 只适用于有两个实数根的情况 B. 两根之和等于一次项系数的相反数 C. 两根之积等于常数项 D. 要求二次项系数为1 三、判断题（每题2 分，共20 分） 21. 方程\(x^2 + 3x - 4 = 0\) 的两根之和是-3 ，两根之积是-4 。 （ ） 22. 若方程\(x^2 + bx + c = 0\) 的两根互为倒数，则\(c = 1\) 。 （ ） 23. 方程\(3x^2 - 6x = 0\) 的两根之和为2 ，两根之积为0 。 （ ） 24. 若一元二次方程的两根之和为0 ，则两根之积一定小于或等于0。 （ ） 25. 已知方程\(x^2 - mx + 2m = 0\) 的一个根是1，则另一个根一 定是2 。（ ） 26. 方程\(x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0\) 的两根之和为 \(2\sqrt{2}\) ，两根之积为2 。（ ） 27. 若方程\(ax^2 + bx + c = 0\) 的两根之和与两根之积相等，则 必有\(b = c\) 。（ ） 28. 对于方程\(x^2 - (a+b)x + ab = 0\) ，其两根必为\(a\) 和\ (b\) 。（ ） 29. 若方程\(x^2 + px + q = 0\) 的两根均为负数，则\(p > 0\) 且 \(q > 0\) 。（ ） 30. 韦达定理适用于所有一元二次方程，无论是否有实数根。（ ） 四、简答题（每题5 分，共20 分） 31. 已知方程\(x^2 - 6x + k = 0\) 的一个根是2，求另一个根及常 数\(k\) 的值。 32. 若方程\(x^2 + (m-1)x - m - 2 = 0\) 的两根之和为3 ，求实数 \(m\) 的值。 33. 设\(x_1, x_2\) 是方程\(2x^2 - 4x - 3 = 0\) 的两个根，求下列 各式的值： (1) \(x_1 + x_2\) (2) \(x_1 \cdot x_2\) (3) \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\) 34. 已知关于\(x\) 的方程\(x^2 - (k+2)x + 2k = 0\) 的两根之差 为1 ，求实数\(k\) 的值。 答案 一、单项选择题 1. A 2. A 3. A 4. B 5. A 6. A 7. A 8. A 9. A 10. B 二、多项选择题 11. ACD 12. BC 13. AC 14. BD 15. BD 16. ABCD 17. AB 18. ABCD 19. AB 20. BC 三、判断题 21. √ 22. × 23. √ 24. √ 25. √ 26. √ 27. × 28. √ 29. √ 30. × 四、简答题 31. 设另一根为\(r\)。由根与系数关系： \(2 + r = 6\) ⇒ \(r = 4\) \(2 \times r = k\) ⇒ \(k = 8\) 答：另一根为4，\(k = 8\)。 32. 由根与系数关系：两根之和\(= -(m-1) = 3\) \(-m + 1 = 3\) ⇒ \(-m = 2\) ⇒ \(m = -2\) ∴ 答：\(m = -2\)。 33. (1) \(x_1 + x_2 = -\frac{-4}{2} = 2\) (2) \(x_1 \cdot x_2 = \frac{-3}{2} = -1.5\) (3) \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2} {x_1 x_2} = \frac{2}{-1.5} = -\frac{4}{3}\) 34. 设两根为\(x_1, x_2\) ，则\(x_1 + x_2 = k+2\)，\(x_1 x_2 = 2k\) ，且\(|x_1 - x_2| = 1\)。 \((x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2\) ∵ \(1^2 = (k+2)^2 - 4 \times 2k\) ∴ \(1 = k^2 + 4k + 4 - 8k\) \(1 = k^2 - 4k + 4\) \(k^2 - 4k + 3 = 0\) \((k-1)(k-3) = 0\) \(k = 1\) ∴ 或\(k = 3\)。 答：\(k = 1\) 或\(k = 3\)。