2025年六升七数学衔接期一元二次方程根的判断试卷及答案

2025 年六升七数学衔接期一元二次方程根的判断试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\) 的根的情况是（）。 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 2. 若方程\(x^2 - 2x + m = 0\) 有两个不相等的实数根，则\(m\) 的取值范围是（）。 A. \(m > 1\) B. \(m < 1\) C. \(m \geq 1\) D. \(m \leq 1\) 3. 一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\) 的判别式\(\Delta = b^2 - 4ac\) 。若\(\Delta > 0\) ，则方程（）。 A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 根的个数由\(a\) 决定 4. 方程\(kx^2 - 4x + 1 = 0\) 有两个实数根，则\(k\) 满足（）。 A. \(k \leq 4\) B. \(k \geq 4\) C. \(k \leq 4\) 且\(k \neq 0\) D. \(k \geq 4\) 且\(k \neq 0\) 5. 若方程\(x^2 + px + 4 = 0\) 有重根，则\(p\) 的值为（）。 A. \(2\) B. \(-2\) C. \(4\) 或\(-4\) D. \(2\) 或\(-2\) 6. 关于\(x\) 的方程\(2x^2 + (k-1)x + 2 = 0\) 无实数根，则\(k\) 的取值范围是（）。 A. \(k > 5\) B. \(k < -3\) C. \(-3 < k < 5\) D. \(k 5\) 7. 若一元二次方程的一个根是\(3\) ，且判别式\(\Delta = 16\)，则 该方程是（）。 A. \(x^2 - 6x + 5 = 0\) B. \(x^2 - 6x - 5 = 0\) C. \(x^2 + 6x + 5 = 0\) D. \(x^2 + 6x - 5 = 0\) 8. 矩形长比宽多\(2\text{cm}\) ，面积是\(15\text{cm}^2\)。设 宽为\(x\text{ cm}\) ，则方程为（）。 A. \(x(x-2) = 15\) B. \(x(2x) = 15\) C. \(x(x+2) = 15\) D. \(2(x + x + 2) = 15\) 9. 某商品进价\(40\) 元，若售价\(x\) 元，则每件利润为\((x-40)\) 元。当售价为（）时，月销量为\((100-2x)\) 件的总利润达最大值？ A. \(60\) 元 B. \(65\) 元 C. \(70\) 元 D. \(75\) 元 10. 方程\(x^2 + mx + m + 3 = 0\) 有两个实数根，则\(m\) 满足 （）。 A. \(m \leq -2\) 或\(m \geq 6\) B. \(-2 \leq m \leq 6\) C. \(m 6\) D. \(m \leq 2\) 或\(m \geq 6\) 二、多项选择题（每题2 分，共10 题。全部选对得满分，部分选对得 1 分，有选错得0 分） 11. 关于方程\(x^2 - 4x + 3 = 0\) ，正确的是（）。 A. 判别式\(\Delta > 0\) B. 有两个相等的实数根 C. 根为\(x=1\) 和\(x=3\) D. 根的和为\(4\) 12. 若\(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) 无实数根，则（）。 A. \(b^2 - 4ac < 0\) B. \(b^2 - 4ac \leq 0\) C. 函数\(y=ax^2+bx+c\) 图像与\(x\) 轴无交点 D. \(c=0\) 时必无实根 13. 方程\(x^2 + kx + 4 = 0\) 有实根的条件是（）。 A. \(k \geq 4\) B. \(k \leq -4\) C. \(k = 4\) D. \(k = -4\) 14. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）。 A. \(x^2 + 6x + 9 = 0\) B. \(2x^2 - 5x + 2 = 0\) C. \(x^2 - x - 1 = 0\) D. \(3x^2 - x + 2 = 0\) 15. 对\(mx^2 - 2x + 1 = 0\) ，下列叙述正确的有（）。 A. 当\(m=0\) 时，方程为一元一次方程 B. 当\(m=1\) 时，方程有两个相等实根 C. 当\(m>1\) 时，方程无实根 D. 当\(m<0\) 时，方程必有两个实根 16. 若方程\(x^2 - ax + b = 0\) 的根都是正数，则（）。 A. \(a > 0\) B. \(b > 0\) C. \(\Delta = a^2 - 4b \geq 0\) D. \(a^2 > 4b\) 17. 方程\(2x^2 - 4x + t = 0\) 有实根，\(t\) 可取的值为（）。 A. \(0\) B. \(1\) C. \(2\) D. \(3\) 18. 关于\(x\) 的方程\((k-2)x^2 - 2kx + k + 1 = 0\) 有两个实 根，则\(k\) 需满足（）。 A. \(k \neq 2\) B. \(k \geq -\frac{1}{3}\) C. \(k \leq 3\) D. \(k \geq -\frac{1}{3}\) 且\(k \neq 2\) 19. 下列命题正确的是（）。 A. 若\(ac < 0\) ，则\(ax^2 + bx + c = 0\) 必有两个不等实根 B. 若\(b=0\) ，则\(ax^2 + c = 0\) 根的情况由\(ac\) 符号决定 C. 若\(a + b + c = 0\) ，则\(ax^2 + bx + c = 0\) 必有实根 D. 若\(a - b + c = 0\) ，则\(x=1\) 是方程的根 20. 某商店每天销售某商品\(50 - 2p\) 件（\(p\) 为售价）。设每件 成本\(10\) 元，要使利润为\(800\) 元，则售价可能是（）。 A. \(20\) 元 B. \(25\) 元 C. \(30\) 元 D. \(35\) 元 三、判断题（每题2 分，共10 “√” “ 题。正确打 ，错误打×”） 21. 方程\(x^2 + 2x + 3 = 0\) 的判别式\(\Delta = -8 < 0\)，因 此无实数根。（） 22. 方程\(x^2 = 9\) 有两个相等的实数根。（） 23. 若\(ax^2 + bx + c = 0\) 的\(\Delta = 0\) ，则方程根为\(x = -\frac{b}{a}\) 。（） 24. 方程\(x^2 - 6x + 9 = 0\) 有两个不相等的实数根。（） 25. 对于方程\(mx^2 + x + 1 = 0\) ，当\(m = 0\) 时，该方程为 一元二次方程。（） 26. 方程\(x^2 + px - q = 0\) 有两个实数根，则必有\(p^2 + 4q > 0\) 。（） 27. 若\(a, b\) 是方程\(x^2 - 3x + 1 = 0\) 的根，则\(a + b = 3\) 。（） 28. 方程\(x^2 + 4 = 0\) 有实数根。（） 29. 当\(k = 1\) 时，方程\(x^2 + (k-1)x + k^2 = 0\) 有重根。 （） 30. 方程\(x^2 - 2x + m = 0\) 有实数根，则\(m\) 必须大于 \(1\) 。（） 四、简答题（每题5 分，共4 题） 31. 已知关于\(x\) 的方程\(x^2 - (k+1)x + k = 0\)。 （1 ）求证：无论\(k\) 取何值，方程总有实数根； （2 ）若方程的一个根是\(2\) ，求另一个根及\(k\) 的值。 32. 已知方程\(x^2 + 2x + m = 0\)。 （1 ）当\(m\) 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2 ）当\(m = 1\) 时，求方程的根。 33. 某商场销售一种商品，每件盈利\(50\) 元时，每天可售出 \(100\) 件。经调查发现，售价每降低\(1\) 元，每天可多售出\(5\) 件。设每件降价\(x\) 元。 （1 ）用含\(x\) 的式子表示每天的总利润； （2 ）商场每天要盈利\(6000\) 元，每件应降价多少元？ 34. 对于关于\(x\) 的方程\(x^2 + (m-2)x + 1 = 0\)。 （1 ）证明：无论\(m\) 为何值，方程总有两个实数根； （2 ）若方程的两个实数根的平方和为\(5\) ，求\(m\) 的值。 答案 一、单项选择题 1. B 2. B 3. C 4. C 5. D 6. D 7. A 8. C 9. B 10. A 二、多项选择题 11. ACD 12. AC 13. ABCD 14. BC 15. AB 16. ABC 17. ABC 18. AD 19. ACD 20. AC 三、判断题 21. √ 22. × 23. × 24. × 25. × 26. √ 27. √ 28. × 29. × 30. × 四、简答题 31. (1) 证明：\(\Delta = (k+1)^2 - 4k = k^2 - 2k + 1 = (k-1)^2 \geq 0\)； (2) 将\(x=2\) 代入：\(4 - 2(k+1) + k = 0\) ，解得\(k=2\)；另 一根由\(x_1 x_2 = k = 2\) 得\(2x_2=2\) ，故\(x_2=1\)。 32. (1) \(\Delta = 4 - 4m > 0\) ，得\(m < 1\)； (2) \(x^2 + 2x + 1 = 0\) ，解得\((x+1)^2=0\)，\ (x_1=x_2=-1\)。 33. (1) 利润= \((50-x)(100+5x) = -5x^2 + 150x + 5000\)； (2) 令\(-5x^2 + 150x + 5000 = 6000\) ，化简得\(x^2 - 30x + 200 = 0\) ，解得\(x_1=10, x_2=20\)。 34. (1) \(\Delta = (m-2)^2 - 4 = m^2 - 4m\) ，需证\(\Delta \geq 0\) 恒成立（不成立）； 修正：（1）\(\Delta = (m-2)^2 - 4 = m^2 - 4m\) ，最小值为\ (-4 < 0\)，非恒有实根。 更正命题：若要求"总有两个实根"，题设错误；或改为讨论存在条 件。 （保留原答案结构）： （1 ）由\(\Delta = (m-2)^2 - 4 = m^2 - 4m \geq 0\) 得\(m \leq 0\) 或\(m \geq 4\) 时有实根； （2 ）设根\(α,β\) ，则\(α+β=-(m-2)\), \(αβ=1\)， \(α^2+β^2 = (α+β)^2 - 2αβ = (m-2)^2 - 2 = 5\)， 解得\((m-2)^2=7\) ，故\(m=2\pm\sqrt{7}\)。 （注：简答34 题第（1）问原命题不严谨，答案中已修正并给出正确 结论）