2025年六升七数学衔接期一元二次方程应用入门试卷及答案

2025 年六升七数学衔接期一元二次方程应用入门试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（） A. \( x + 2 = 0 \) B. \( x^2 - 3x = 0 \) C. \( \frac{1}{x} + x = 1 \) D. \( 2x - y = 5 \) 2. 方程\( x^2 - 4 = 0 \) 的根是（） A. \( x = 2 \) B. \( x = -2 \) C. \( x = \pm 2 \) D. \( x = 4 \) 3. 若\( x = 1 \) 是方程\( x^2 + kx - 2 = 0 \) 的根，则\( k \) 的 值为（） A. \( 1 \) B. \( -1 \) C. \( 2 \) D. \( 0 \) 4. 矩形花圃的长比宽多3 米，面积是40 平方米。设宽为\( x \) 米， 则方程为（） A. \( x(x - 3) = 40 \) B. \( x(x + 3) = 40 \) C. \( 2x + 2(x + 3) = 40 \) D. \( x^2 + 3x - 40 = 0 \) 5. 某商品原价每件100 元，连续两次降价后为81 元。若每次降价率 相同，设降价率为\( x \) ，则方程为（） A. \( 100(1 - x)^2 = 81 \) B. \( 100(1 + x)^2 = 81 \) C. \( 100 - 2x = 81 \) D. \( 100(1 - x^2) = 81 \) 6. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的解集是（） A. \( \{2, 3\} \) B. \( \{-2, -3\} \) C. \( \{1, 6\} \) D. \( \{-1, 6\} \) 7. 若一元二次方程\( ax^2 + bx + c = 0 \) 有两个相等实根，则需 满足（） A. \( b^2 - 4ac > 0 \) B. \( b^2 - 4ac = 0 \) C. \( b^2 - 4ac < 0 \) D. \( a = 0 \) 8. 用配方法解方程\( x^2 - 6x + 5 = 0 \) ，配方后可得（） A. \( (x - 3)^2 = 4 \) B. \( (x - 3)^2 = -4 \) C. \( (x + 3)^2 = 4 \) D. \( (x - 6)^2 = 31 \) 9. 某数的平方比这个数大6 ，设这个数为\( x \) ，则方程为（） A. \( x^2 = x + 6 \) B. \( x^2 = 6x \) C. \( x^2 + x = 6 \) D. \( x^2 - x = 6 \) 10. 方程\( (x - 2)(x + 1) = 0 \) 的解是（） A. \( x = 2 \) B. \( x = -1 \) C. \( x = 2 \) 或\( x = -1 \) D. \( x = -2 \) 或\( x = 1 \) 二、多项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 下列关于一元二次方程\( ax^2 + bx + c = 0 \) (\( a \neq 0 \)) 的命题，正确的有（） A. 根的个数由判别式决定 B. 当\( c = 0 \) 时，必有一个根为0 C. 若\( a + b + c = 0 \)，则1 是方程的根 D. 若\( b = 0 \)，则两根互为相反数 2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的根为\( x_1, x_2 \)，则下列结论 成立的有（） A. \( x_1 + x_2 = 5 \) B. \( x_1 x_2 = 6 \) C. \( |x_1 - x_2| = 1 \) D. \( x_1^2 + x_2^2 = 13 \) 3. 下列方程有两个不相等的实数根的有（） A. \( x^2 - 4x + 4 = 0 \) B. \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) C. \( 2x^2 - x - 1 = 0 \) D. \( x^2 + x + 1 = 0 \) 4. 若方程\( x^2 - kx + 1 = 0 \) 有实数根，则\( k \) 的可能取值有 （） A. \( -2 \) B. \( 0 \) C. \( 1 \) D. \( 3 \) 5. 用公式法解方程时，需要先确定的系数有（） A. \( a \) B. \( b \) C. \( c \) D. 判别式\( \Delta \) 6. 下列问题可用一元二次方程建模的有（） A. 已知矩形周长和面积，求长和宽 B. 已知连续两数之和与积，求这两个数 C. 匀速直线运动中求位移和时间 D. 商品两次相同比率降价后的价格 7. 关于方程\( x^2 - 6x + 9 = 0 \) 的正确描述有（） A. 是完全平方式 B. 有两个相等的实数根 C. 判别式\( \Delta = 0 \) D. 解为\( x = \pm 3 \) 8. 若\( m, n \) 是方程\( x^2 - 3x - 1 = 0 \) 的根，则下列等式成 立的有（） A. \( m + n = 3 \) B. \( mn = -1 \) C. \( m^2 + n^2 = 11 \) D. \( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = -3 \) 9. 下列方程中，根为\( x = 2 \) 的有（） A. \( x^2 - 4 = 0 \) B. \( (x - 2)^2 = 0 \) C. \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) D. \( x^2 + 2x - 8 = 0 \) 10. 解方程\( x^2 - 4x = 0 \) 的正确方法有（） A. 因式分解法：\( x(x - 4) = 0 \) B. 配方法：\( (x - 2)^2 = 4 \) C. 公式法 D. 直接开平方法 三、判断题（每题2 分，共10 题） 1. 方程\( 3x^2 - 2x + 1 = 0 \) 有两个不相等的实数根。（） 2. 若\( ab > 0 \) ，则方程\( x^2 + ax + b = 0 \) 必有两个正根。 （） 3. \( x = 0 \) 是方程\( x^2 - 2x = 0 \) 的一个根。（） 4. 方程\( (x - 1)^2 = 4 \) 的解为\( x = 3 \) 或\( x = -1 \) 。 （） 5. 所有一元二次方程都可以用因式分解法求解。（） 6. 若\( x^2 = k \) 无实数解，则\( k > 0 \) 。（） 7. 方程\( kx^2 - 2x + 1 = 0 \) 在\( k = 0 \) 时仍是一元二次方 程。（） 8. 某数比它的倒数小2 ，设该数为\( x \) ，则方程为\( x = \frac{1} {x} - 2 \) 。（） 9. 若\( b^2 - 4ac < 0 \) ，则一元二次方程无解。（） 10. 方程\( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \) 对所有实数\( x \) 成 立。（） 四、简答题（每题5 分，共4 题） 1. 一个直角三角形的两条直角边相差1 厘米，斜边长5 厘米。设较短 的直角边为\( x \) 厘米，列出方程并求解两条直角边的长度。 2. 某农场去年粮食产量为1000 吨，今年通过改良种植技术，产量增 长率为\( x \)。已知今年产量为1210 吨，求增长率\( x \)。 3. 某商店销售一种商品，每件利润为50 元。每日销售量\( p \) （件）与售价\( q \) （元）满足关系\( p = 200 - 2q \)。若每日总利 润为6000 元，求售价\( q \)。 4. 如图，矩形花园长比宽多6 米，在花园四周修建等宽的走道。走道 总面积是花园面积的\(\frac{1}{3}\) 。若走道宽度为\( w \) 米，花 园宽为\( x \) 米，列出关于\( w \) 的方程（无需求解）。 答案 一、单项选择题：1.B 2.C 3.A 4.B 5.A 6.A 7.B 8.A 9.A 10.C 二、多项选择题：1.ABC 2.ABD 3.BC 4.ACD 5.ABC 6.ABD 7.ABC 8.ABCD 9.BC 10.ABC 三、判断题：1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.× 6.× 7.× 8.√ 9.√ 10.√ 四、简答题： 1. 方程：\( x^2 + (x+1)^2 = 25 \) ，解得\( x = 3 \)（舍负）， 直角边为3cm 和4cm。 2. 方程：\( 1000(1 + x)^2 = 1210 \) ，解得\( x = 0.1 = 10\% \)。 3. 方程：\( (q - \text{成本}) \times (200 - 2q) = 6000 \)（注： 成本未给出，实际需补充条件；或默认利润=售价× 销量，则\ ( q(200-2q)=6000 \)）。 4. 方程：\( [ (x+6+2w)(x+2w) - x(x+6) ] = \frac{1}{3} x(x+6) \)。