专题21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】（解析版）

专题214 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】 【人版】 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】..........................................................................................1 【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】..........................................................................................3 【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】..........................................................................................4 【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】..............................................................................................6 【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】.........................................................................................................9 【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】....................................................................................................11 【题型7 根与系数关系中的新定义问题】...........................................................................................................14 【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】............................................................................19 【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的两个实数根是 2 1 x x ， ，那么 a b x x    2 1 ， a c x x  2 1 注意它的使用条件为≠0， Δ≥0 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以 二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】 【例1】（2022•江安县模拟）若α、β 是一元二次方程2x2+3x 5 ﹣＝0 的两根，则α β + β α 的 值是 ． 【分析】根据根与系数的关系可得α+β¿−3 2，αβ¿−5 2，再根据完全平方公式以及分式 的加法法则即可求出代数式的值． 【解答】解：∵α+β¿−3 2，αβ¿−5 2， ∴α2+β2＝（α+β）2 2 ﹣αβ¿ 29 4 ， ∴α β + β α =α 2+β 2 αβ =−29 10 ， 1 故答为：−29 10 ． 【变式1-1】（2021 秋•密山市校级期末）若x1，x2 是一元二次方程x2 7 ﹣x+5＝0 的两根， 则（x1 1 ﹣）（x2 1 ﹣）的值为（ ） ．1 B．﹣1 ．2 D．﹣2 【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2 7 ﹣x+5＝0 的两根， ∴x1+x2＝7；x1x2＝5． 则（x1 1 ﹣）（x2 1 ﹣）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝5 7+1 ﹣ ＝﹣1． 故选：B． 【变式1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数、b 满足❑ √a−2+¿|b+3|＝0，若关于x 的一元二 次方程x2﹣x+b＝0 的两个实数根分别为x1、x2，则1 x1 + 1 x2 的值是（ ） ．−2 3 B．2 3 ．2 D．1 6 【分析】根据非负数的性质得出＝2，b＝3，根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝ 3，将1 x1 + 1 x2 变形为x1+x2 x1 x2 ，整体代入即可求得． 【解答】解：∵实数、b 满足❑ √a−2+¿|b+3|＝0， ∴＝2，b＝﹣3， ∵关于x 的一元二次方程x2﹣x+b＝0 的两个实数根分别为x1、x2， ∴x1+x2＝＝2，x1•x2＝b＝﹣3， ∴1 x1 + 1 x2 = x1+x2 x1 x2 =−2 3 ， 故选：． 【变式1-3】（2022 春•琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2 5 ﹣x 14 ﹣ ＝0 的两个根，则α﹣β 的值为（ ） ．﹣9 B．9 ．﹣9 或9 D．﹣5 或5 【分析】利用根与系数的关系可得出α+β＝5，α•β＝﹣14，将其代入（α﹣β）2＝ （α+β）2 4 ﹣α•β 中可求出（α﹣β）2的值，开方后即可求出α﹣β 的值． 【解答】解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2 5 ﹣x 14 ﹣ ＝0 的两个根， ∴α+β＝5，α•β＝﹣14， ∴（α﹣β）2＝（α+β）2 4 ﹣α•β＝52 4× ﹣ （﹣14）＝81， ∴α﹣β＝±9． 1 故选：． 【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】 【例2】（2022•乳山市模拟）若x1，x2是方程2x2 3 ﹣x+1＝0 的两个根，则3x1 2 3 ﹣x1+x2 2＝ （ ） ．1 4 B．5 4 ．9 4 D．3 4 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2¿ 3 2，x1x2¿ 1 2，将3x1 2 3 ﹣x1+x2 2变 形后求值即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2 3 ﹣x+1＝0 的两个根， ∴x1+x2¿ 3 2，x1x2¿ 1 2，2x1 2 3 ﹣x1+1＝0， 3 ∴x1 2 3 ﹣x1+x2 2 ＝2x1 2 3 ﹣x1+x1 2+x2 2 ＝﹣1+( x1+x2) 2−2 x1 x2 ＝﹣1+9 4 −¿1 ¿ 1 4 ， 故选：． 【变式2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程x2 2022 ﹣ x+1＝0 的两个根分别为x1， x2，则x1 2−2022 x2 +¿1 的值为（ ） ．﹣1 B．0 ．﹣2022 D．﹣2021 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到x1 2+1＝2022x1，则x1 2−2022 x2 +¿1 变形为 2022× x1 x2−1 x2 ，再根据根与系数的关系得到x1x2＝1，然后利用整体的方法计算即可． 【解答】解：∵x＝x1为方程x2 2022 ﹣ x+1＝0 的根， ∴x1 2 2022 ﹣ x1+1＝0， ∴x1 2+1＝2022x1， ∴x1 2−2022 x2 +¿1＝2022x1 −2022 x2 =¿2022× x1 x2−1 x2 ， ∵方程x2 2022 ﹣ x+1＝0 的两个根分别为x1，x2， ∴x1x2＝1， 1 ∴x1 2−2022 x2 +¿1＝2022× 1−1 x2 =¿0． 故选：B． 【变式2-2】（2022•东港区校级一模）若m，是一元二次方程x2 5 ﹣x 1 ﹣＝0 的两个实数根， 则m2 6 ﹣m +2022 ﹣ 的值是（ ） ．2016 B．2018 ．2020 D．2022 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2 5 ﹣m 1 ﹣＝0，则m2 5 ﹣m＝1，根据根 与系数的关系得出m+＝5，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【解答】解：∵m 是一元二次方程x2 5 ﹣x 1 ﹣＝0 的根， ∴m2 5 ﹣m 1 ﹣＝0， ∴m2 5 ﹣m＝1， ∵m、是一元二次方程x2 5 ﹣x 1 ﹣＝0 的两个根， ∴m+＝5， ∴m2 6 ﹣m +2022 ﹣ ＝m2 5 ﹣m﹣m +2022 ﹣ ＝1 5+2022 ﹣ ＝2018． 故选：B． 【变式2-3】（2022 春•海门市期末）若m，是方程x2 2 ﹣x 1 ﹣＝0 的两个实数根，则2m2+42 4+2022 ﹣ 的值为 ． 【分析】由m，是方程x2 2 ﹣x 1 ﹣＝0 的两个实数根可得：m2＝2m+1，2＝2+1，m+＝2， 代入所求式子即可得到答． 【解答】解：∵m，是方程x2 2 ﹣x 1 ﹣＝0 的两个实数根， ∴m2 2 ﹣m 1 ﹣＝0，2 2 1 ﹣﹣＝0，m+＝2， ∴m2＝2m+1，2＝2+1， 2 ∴m2+42 4+2022 ﹣ ＝2（2m+1）+4（2+1）﹣4+2022 ＝4m+2+8+4 4+2022 ﹣ ＝4（m+）+2028 ＝4×2+2028 ＝2036， 故答为：2036． 【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】 【例3】（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x 2022 ﹣ ＝0 的两个实数根，则代数式x1 3 2022 ﹣ x1+x2 2的值是（ ） ．4045 B．4044 ．2022 D．1 1 【分析】把x＝x1代入方程表示出x1 2 2022 ﹣ ＝x1，代入原式利用完全平方公式化简，再 根据根与系数的关系求出所求即可． 【解答】解：把x＝x1代入方程得：x1 2﹣x1 2022 ﹣ ＝0，即x1 2 2022 ﹣ ＝x1， ∵x1，x2是方程x2﹣x 2022 ﹣ ＝0 的两个实数根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022， 则原式＝x1（x1 2 2022 ﹣ ）+x2 2 ＝x1 2+x2 2 ＝（x1+x2）2 2 ﹣x1x2 ＝1+4044 ＝4045． 故选：． 【变式3-1】（2022•硚口区模拟）已知，b 是方程x2﹣x 5 ﹣＝0 的两根，则代数式﹣3+5−5 b 的值是（ ） ．5 B．﹣5 ．1 D．﹣1 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出2﹣＝5，b＝﹣5，变形后可得 出2 5 ﹣＝，¿−5 b ，将其代入﹣3+5−5 b =−¿（2 5 ﹣）−5 b 中可得出原式＝﹣2+，再结合2 ﹣＝5，即可求出原式＝﹣5． 【解答】解：∵，b 是方程x2﹣x 5 ﹣＝0 的两根， ∴2﹣＝5，b＝﹣5， ∴2 5 ﹣＝，¿−5 b ， ∴﹣3+5−5 b =−¿（2 5 ﹣）−5 b =−¿2+＝﹣（2﹣）＝﹣5． 故选：B． 【变式3-2】（2022•松山区模拟）若m，是一元二次方程x2+x 3 ﹣＝0 的两个实数根，则m3 4 ﹣2+17 的值为（ ） ．﹣2 B．6 ．﹣4 D．4 【分析】根据m，是一元二次方程x2+x 3 ﹣＝0 的两个实数根，可以得到m2+m 3 ﹣＝0， 2+ 3 ﹣＝0，m+＝﹣1，然后变形得到m3和42，再代入所求式子，计算即可． 【解答】解：∵m，是一元二次方程x2+x 3 ﹣＝0 的两个实数根， ∴m2+m 3 ﹣＝0，2+ 3 ﹣＝0，m+＝﹣1， ∴m2＝3﹣m，2＝3﹣， ∴m3＝3m﹣m2＝3m 3+ ﹣ m＝4m 3 ﹣，42＝12 4 ﹣， 1 ∴m3 4 ﹣2+17 ＝4m 3 12+4+17 ﹣﹣ ＝4（m+）+2 ＝4×（﹣1）+2 ＝﹣4+2 ＝﹣2， 故选：． 【变式3-3】（2022 春•汉阳区校级月考）已知m，是方程x2 4 ﹣x+2＝0 的两根，则代数式 2m3+52−16 n +¿4 的值是（ ） ．57 B．58 ．59 D．60 【分析】将代数式的次数化为一次，然后将m，的值代入求解即可． 【解答】解：∵m，是方程x2 4 ﹣x+2＝0 的两根， ∴m2 4 ﹣m+2＝0，2 4+2 ﹣ ＝0，m+＝4 ∴m2＝4m 2 ﹣，2＝4 2 ﹣， ∴＝4−2 n ，即2 n=¿4﹣，m3＝4m2 2 ﹣m＝14m 8 ﹣， ∴原式＝2（14m 8 ﹣）+5（4 2 ﹣）﹣8（4﹣）+4 ＝28（m+）﹣54 ＝58． 故选：B． 【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】 【例4】（2021 秋•毕节市期末）已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝ 0 的两个不相等的实数根，且满足1 x1 + 1 x2 =1，则m 的值为（ ） ．﹣3 或1 B．﹣1 或3 ．﹣1 D．3 【分析】根据根与系数关系得出：x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，代入1 x1 + 1 x2 =1中，求出m 的值，再进行检验即可． 【解答】解：∵x1、x2是关于x 的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0 的两个不相等的实 数根， ∴x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2， ∴1 x1 + 1 x2 = x1+x2 x1 x2 =2m+3 m 2 =¿1， 1 解得：m＝3 或m＝﹣1， 把m＝3 代入方程得：x2 9 ﹣x+9＝0，Δ＝（﹣9）2 4×1×9 ﹣ ＞0，此时方程有解； 把m＝﹣1 代入方程得：x2﹣x+1＝0，Δ＝1 4×1×1 ﹣ ＜0，此时方程无解，即m＝﹣1 舍 去． 故选：D． 【变式4-1】（2021 秋•黔西南州期末）已知关于x 的一元二次方程x2 2 ﹣（﹣1）x+2 2 ﹣﹣ ＝0 有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x1 2+x2 2﹣x1x2＝16，则的值为（ ） ．﹣6 B．﹣1 ．1 或﹣6 D．6 或﹣1 【分析】先根据判别式的意义得到＜3，再根据根与系数的关系得x1+x2＝2（﹣1）， x1x2＝2 2 ﹣﹣，利用x1 2+x2 2﹣x1x2＝16 得到4（﹣1）2 3 ﹣（2 2 ﹣﹣）＝16，解关于的方程， 然后利用的范围确定满足条件的的值． 【解答】解：根据题意得△＝4（﹣1）2 4 ﹣（2 2 ﹣﹣）＞0， 解得＜3， 根据根与系数的关系得x1+x2＝2（﹣1），x1x2＝2 2 ﹣﹣， ∵x1 2+x2 2﹣x1x2＝16， ∴（x1+x2）2 3 ﹣x1x2＝16， 即4（﹣1）2 3 ﹣（2 2 ﹣﹣）＝16， 整理得2 5 6 ﹣﹣＝0， 解得1＝﹣1，2＝6， 而＜3， ∴的值为﹣1． 故选：B． 【变式4-2】（2022 春•仓山区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x2 4 ﹣kx+3k2＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝3，求k 的值． 【分析】（1）通过计算根的判别式的值得到Δ＝4k2≥0，然后根据根的判别式的意义得 到结论； （2）设方程的两实数解为、b，根据根与系数的关系得+b＝4k，b＝3k2，再利用|﹣b|＝3 得到（+b）2 4 ﹣b＝9，则16k2 4×3 ﹣ k2＝9，然后解方程，从而得到满足条件的k 的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4k）2 4×3 ﹣ k2＝4k2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：设方程的两实数解为、b， 根据根与系数的关系得x1+x2＝4k，x1x2＝3k2， 1 | ∵x1﹣x2|＝3， ∴（x1﹣x2）2＝9， ∴（x1+x2）2 4 ﹣x1x2＝9， 16 ∴ k2 4×3 ﹣ k2＝9， 即k2¿ 9 4 ， 解得k1¿ 3 2，k2¿−3 2． 故k 的值为3 2或−3 2 ． 【变式4-3】（2022•内江）已知x1、x2 是关于x 的方程x2 2 ﹣x+k 1 ﹣＝0 的两实数根，且 x2 x1 + x1 x2 =¿x1 2+2x2 1 ﹣，则k 的值为 ． 【分析】根据x1、x2是关于x 的方程x2 2 ﹣x+k 1 ﹣＝0 的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2 ＝k 1 ﹣ ，x1 2 2 ﹣x1+k 1 ﹣ ＝0 ，把x2 x1 + x1 x2 =¿x1 2+2x2 1 ﹣ 变形再整体代入可得 2 2−2(k−1) k−1 =¿4﹣k，解出k 的值，并检验即可得k＝2． 【解答】解：∵x1、x2是关于x 的方程x2 2 ﹣x+k 1 ﹣＝0 的两实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝k 1 ﹣，x1 2 2 ﹣x1+k 1 ﹣＝0， ∴x1 2＝2x1﹣k+1， ∵x2 x1 + x1 x2 =¿x1 2+2x2 1 ﹣， ∴( x1+x2) 2−2 x1 x2 x1 x2 =¿2（x1+x2）﹣k， ∴2 2−2(k−1) k−1 =¿4﹣k， 解得k＝2 或k＝5， 当k＝2 时，关于x 的方程为x2 2 ﹣x+1＝0，Δ≥0，符合题意； 当k＝5 时，关于x 的方程为x2 2 ﹣x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意； ∴k＝2， 故答为：2． 【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】 【例5】（2022•鄞州区模拟）已知实数≠b，且满足（+1）2＝3 3 ﹣（+1），3（b+1）＝3﹣ 1 （b+1）2，则b ❑ √ b a +a ❑ √ a b 的值为（ ） ．23 B．﹣23 ．﹣2 D．﹣13 【分析】根据（+1）2＝3 3 ﹣（+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，把、b 可看成是关于x 的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0 的两个根，然后根据根与系数的关系进行求解． 【解答】解：∵、b 是关于x 的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0 的两个根， 整理此方程，得x2+5x+1＝0， Δ ∵＝25 4 ﹣＞0， + ∴b＝﹣5，b＝1． 故、b 均为负数． 因此b ❑ √ b a +a ❑ √ a b=−b a ❑ √ab−a b ❑ √ab=−a 2+b 2 ab ❑ √ab=−(a+b) 2−2ab ❑ √ab =−23． 故选：B． 【变式5-1】（2021 秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β 满足2α2+5α 2 ﹣＝0，2β2 5 ﹣β﹣ 2＝0，且αβ≠1，且1 β 2 + α β −5 2 α的值为（ ） ．25 4 B．−25 4 ．−17 4 D．33 4 【分析】方法1：2β2 5 ﹣β 2 ﹣＝0，可得2（1 β ）2+5× 1 β −¿2＝0，那么α、1 β 是方程 2x2+5x 2 ﹣＝0 的两实根，由根与系数关系得α+1 β =−5 2 ，α• 1 β =−¿1 ，再把 1 β 2 + α β −5 2 α变形−5 2 （α+1 β ）+α• 1 β ，然后利用整体代入的方法计算； 方法2：代数式先提取前两项中的1 β ，再提取−5 2 即可．