专题21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】（原卷版）

专题214 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】 【人版】 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】..........................................................................................1 【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】..........................................................................................2 【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】..........................................................................................2 【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】..............................................................................................2 【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】.........................................................................................................3 【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】.....................................................................................................4 【题型7 根与系数关系中的新定义问题】.............................................................................................................4 【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】..............................................................................6 【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 的两个实数根是 2 1 x x ， ，那么 a b x x    2 1 ， a c x x  2 1 注意它的使用条件为≠0， Δ≥0 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以 二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】 【例1】（2022•江安县模拟）若α、β 是一元二次方程2x2+3x 5 ﹣＝0 的两根，则α β + β α 的 值是 ． 【变式1-1】（2021 秋•密山市校级期末）若x1，x2 是一元二次方程x2 7 ﹣x+5＝0 的两根， 则（x1 1 ﹣）（x2 1 ﹣）的值为（ ） ．1 B．﹣1 ．2 D．﹣2 【变式1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数、b 满足❑ √a−2+¿|b+3|＝0，若关于x 的一元二 次方程x2﹣x+b＝0 的两个实数根分别为x1、x2，则1 x1 + 1 x2 的值是（ ） ．−2 3 B．2 3 ．2 D．1 6 【变式1-3】（2022 春•琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2 5 ﹣x 14 ﹣ ＝0 1 的两个根，则α﹣β 的值为（ ） ．﹣9 B．9 ．﹣9 或9 D．﹣5 或5 【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】 【例2】（2022•乳山市模拟）若x1，x2是方程2x2 3 ﹣x+1＝0 的两个根，则3x1 2 3 ﹣x1+x2 2＝ （ ） ．1 4 B．5 4 ．9 4 D．3 4 【变式2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程x2 2022 ﹣ x+1＝0 的两个根分别为x1， x2，则x1 2−2022 x2 +¿1 的值为（ ） ．﹣1 B．0 ．﹣2022 D．﹣2021 【变式2-2】（2022•东港区校级一模）若m，是一元二次方程x2 5 ﹣x 1 ﹣＝0 的两个实数根， 则m2 6 ﹣m +2022 ﹣ 的值是（ ） ．2016 B．2018 ．2020 D．2022 【变式2-3】（2022 春•海门市期末）若m，是方程x2 2 ﹣x 1 ﹣＝0 的两个实数根，则2m2+42 4+2022 ﹣ 的值为 ． 【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】 【例3】（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x 2022 ﹣ ＝0 的两个实数根，则代数式x1 3 2022 ﹣ x1+x2 2的值是（ ） ．4045 B．4044 ．2022 D．1 【变式3-1】（2022•硚口区模拟）已知，b 是方程x2﹣x 5 ﹣＝0 的两根，则代数式﹣3+5−5 b 的值是（ ） ．5 B．﹣5 ．1 D．﹣1 【变式3-2】（2022•松山区模拟）若m，是一元二次方程x2+x 3 ﹣＝0 的两个实数根，则m3 4 ﹣2+17 的值为（ ） ．﹣2 B．6 ．﹣4 D．4 【变式3-3】（2022 春•汉阳区校级月考）已知m，是方程x2 4 ﹣x+2＝0 的两根，则代数式 2m3+52−16 n +¿4 的值是（ ） ．57 B．58 ．59 D．60 【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】 【例4】（2021 秋•毕节市期末）已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝ 1 0 的两个不相等的实数根，且满足1 x1 + 1 x2 =1，则m 的值为（ ） ．﹣3 或1 B．﹣1 或3 ．﹣1 D．3 【变式4-1】（2021 秋•黔西南州期末）已知关于x 的一元二次方程x2 2 ﹣（﹣1）x+2 2 ﹣﹣ ＝0 有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x1 2+x2 2﹣x1x2＝16，则的值为（ ） ．﹣6 B．﹣1 ．1 或﹣6 D．6 或﹣1 【变式4-2】（2022 春•仓山区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x2 4 ﹣kx+3k2＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝3，求k 的值． 【变式4-3】（2022•内江）已知x1、x2 是关于x 的方程x2 2 ﹣x+k 1 ﹣＝0 的两实数根，且 x2 x1 + x1 x2 =¿x1 2+2x2 1 ﹣，则k 的值为 ． 【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】 【例5】（2022•鄞州区模拟）已知实数≠b，且满足（+1）2＝3 3 ﹣（+1），3（b+1）＝3﹣ （b+1）2，则b ❑ √ b a +a ❑ √ a b 的值为（ ） ．23 B．﹣23 ．﹣2 D．﹣13 【变式5-1】（2021 秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β 满足2α2+5α 2 ﹣＝0，2β2 5 ﹣β﹣ 2＝0，且αβ≠1，且1 β 2 + α β −5 2 α的值为（ ） ．25 4 B．−25 4 ．−17 4 D．33 4 【变式5-2】（2022•周村区二模）已知、b、m、为互不相等的实数，且（+m）（+）＝2， （b+m）（b+）＝2，则b﹣m 的值为（ ） ．4 B．1 ．﹣2 D．﹣1 【变式5-3】（2022 春•杭州期中）若xy+x≠1，且5x2+300x+9＝0，9y2+318y+314＝0，则 x y+1的值是 ． 1 【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】 【例6】（2022•新华区校级一模）已知关于x 的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0 （其中p，q 为常数）有两个相等的实数根，则下列结论： ①1 和一1 都是方程x2+qx+p＝0 的根 ②0 可能是方程x2+qx+p＝0 的根 ③ 1 ﹣可能是方程x2+qx+p＝0 的根 ④1 一定不是方程x2+qx+p＝0 的根 其中正确的是（ ） ．①② B．③④ ．②③ D．①④ 【变式6-1】（2022 春•余杭区月考）已知关于x 的一元二次方程x2+bx+＝0 与x2+bx+＝0， 且≠0，≠．下列说法正确的是（ ） ．若方程x2+bx+＝0 有两个相等的实数根，则方程x2+bx+＝0 没有实数根 B．若方程x2+bx+＝0 的两根符号相同，则方程x2+bx+＝0 的两根符号也相同 ．若5 是方程x2+bx+＝0 的一个根，则5 也是方程x2+bx+＝0 的一个根 D．若方程x2+bx+＝0 和方程x2+bx+＝0 有一个相同的根，则这个根必是x＝1 【变式6-2】（2022 春•仓山区校级期末）已知两个关于x 的一元二次方程M：x2+bx+＝ 0，：x2+bx+＝0，其中≠0，≠．下列结论错误的是（ ） ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程也有两个相等的实数根 B．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程也有一个正根和一个负根 ．若5 是方程M 的一个根，则1 5是方程的一个根 D．若方程M 和方程有一个相同的根，则这个根一定是x＝1 【变式6-3】（2022 春•瑶海区校级期末）关于x 的一元二次方程x2+px+q＝0 有两个同号非 零整数根，关于y 的一元二次方程y2+qy+p＝0 也有两个同号非零整数根，则下列说法正 确的是（ ） ．p 是正数，q 是负数 B．（p 2 ﹣）2+（q 2 ﹣）2＜8 ．q 是正数，p 是负数 D．（p 2 ﹣）2+（q 2 ﹣）2＞8 【题型7 根与系数关系中的新定义问题】 【例7】（2022 秋•武侯区校级期中）如果关于x 的一元二次方程x2+bx+＝0 有两个实数根 x1，x2，且满足数轴上x1，x2 所表示的点到2 所表示的点的距离相等，则称这样的方程 为“关于2 的等距方程”以下“关于2 的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序 号） ①方程x2 4 ﹣x＝0 是关于2 的等距方程； 1 ②当5m＝﹣时，关于x 的方程（x+1）（mx+）＝0 一定是关于2 的等距方程； ③若方程x2+bx+＝0 是关于2 的等距方程，则必有b＝﹣4（≠0）； ④当两根满足x1＝3x2，关于x 的方程px2﹣x+3 4 =¿0 是关于2 的等距方程． 【变式7-1】（2021 秋•金牛区期末）将两个关于x 的一元二次方程整理成（x+）2+k＝0 （≠0，、、k 均为常数）的形式，如果只有系数不同，其余完全相同，我们就称这样的 两个方程为“同源二次方程”．已知关于x 的一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）与方程 （x+1）2 2 ﹣＝0 是“同源二次方程”，且方程x2+bx+＝0（≠0）有两个根为x1、x2，则 b 2 ﹣＝ 4 ，x1+x1x2+x2的最大值是 ． 【变式7-2】（2021 秋•章贡区期末）我们定义：如果关于x 的一元二次方程x2+bx+＝0 有 两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）请说明方程x2 3 ﹣x+2＝0 是倍根方程； （2）若（x 2 ﹣）（mx+）＝0 是倍根方程，则m，具有怎样的关系？ （3）若一元二次方程x2+bx+＝0（b2 4≥0 ﹣ ）是倍根方程，则，b，的等量关系是 ． （直接写出结果） 【变式7-3】（2022 春•宜秀区校级月考）x1，x2 是一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）的两个 实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义， 解决下列问题： （1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”： ①x2 4 ﹣x 5 ﹣＝0； ②2x2 2 ﹣❑ √3x+1＝0； （2）已知关于x 的方程x2+2x＝0 是“差根方程”，求的值； （3）若关于x 的方程x2+bx+1＝0（，b 是常数，＞0）是“差根方程”，请探索与b 之 间的数量关系式． 【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 【例8】（2021 秋•锦江区校级期中）已知关于x 的一元二次方程x2﹣mx+2m 4 ﹣＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个小于5 的根，另一个根大于5，求m 的取值范围； 1 【变式8-1】（2022 春•临平区月考）已知一元二次方程mx2+x﹣（m+）＝0． （1）试判断方程根的情况． （2）若m＜0 时方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，且＝1，求m 的取值范围． 【变式8-2】（2022 秋•新都区校级月考）实数k 取何值时，关于x 的一元二次方程x2+（3k 1 ﹣）x+3k 2 ﹣＝0 （1）有两个负根？ （2）两根异号，且负根绝对值较大？ （3）一根大于5，一根小于5？ 【变式8-3】（2022 春•越秀区校级月考）设关于x 的方程x2 5 ﹣x﹣m2+1＝0 的两个实数根 分别为α、β． （1）证明：无论实数m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当|α|+|β|≤6 时，试确定实数m 的取值范围． 1