重难点突破06 相交线与平行线的5种模型（三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接型）（原卷版）

重难点突破06 相交线与平行线的5 种模型 （三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型） 目 录 题型01 三线八角模型 题型02 铅笔头模型 题型03 锯齿型模型 题型04 翘脚模型 题型05 三角板拼接模型 题型01 三线八角模型 模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系 已知 图示 结论（性质） 直线B、D 被直线EF 所截，且B 与D 不平 行 8 7 6 5 4 3 2 1 C D E F A B 1）同位角有4 组，如：∠1 与∠5、∠2 与∠6、∠3 与∠7、∠4 与∠8； 2）内错角有2 组，如：∠3 与∠5、∠6 与∠8； 3）同旁内角有2 组，如：∠3 与∠6、∠4 与∠5； 4）对顶角有4 组，如：∠1 与∠3、∠2 与∠4、∠5 与∠7、∠6 与∠8 直线B、D 被直线EF 所截，且B D ∥ 8 7 5 6 3 4 1 2 C D E F A B 1）同位角相等：∠1= 5 ∠、∠2= 6 ∠、∠3= 7 ∠、 ∠4= 8 ∠； 2）内错角相等：∠3= 5 ∠、∠6= 8 ∠； 3 ）同旁内角互补：∠3+ 6=180° ∠ 、 ∠4+ 5=180° ∠ ； 4）对顶角相等：∠1= 3 ∠、∠2= 4 ∠、∠5= 7 ∠、 ∠6= 8 ∠ 【快速判断同位角、内错角与同旁内角】 【针对训练】 例1（2018·广东广州·中考真题）如图，直线D，BE 被直线BF 和所截，则∠1 的同位角和∠5 的内错角分别 是（ ） ．∠4，∠2 B．∠2，∠6 ．∠5，∠4 D．∠2，∠4 变式1（2021·广西贺州·统考中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ） ．∠1与∠2 B．∠1与∠3 ．∠1与∠4 D．∠2与∠4 变式2（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1 是内错角的是（ ） ．∠2 B．∠3 ．∠4 D．∠5 例2（2022·陕西·统考中考真题）如图，AB∥CD ,BC ∥EF．若∠1=58°，则∠2的大小为（ ） ．120° B．122° ．132° D．148° 变式1（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知AB∥CD，点E 在线段D 上（不与点，点D 重合）， 连接E．若∠＝20°，∠E＝50°，则∠＝（ ） ．10° B．20° ．30° D．40° 变式2（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，直线m∥n，∠1=100°，∠2=30°，则∠3=¿（ ） ．70° B．110° ．130° D．150° 变式3（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m∥，⊥B 于点，∠1＝30°，则∠2 的度数为（ ） ．140° B．130° ．120° D．110° 题型02 铅笔头模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 B∥DE ∠B+∠+∠E = 360° 遇拐点做平行 线（方法不唯 一） B∥DE ∠B+∠M+∠+∠E= 540° ∥b ∠1+∠2++∠-1+∠=180°× （-1）=180°×（拐点数+1） 【针对训练】 例3 如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APC+∠PCD=360°． 变式1 如图，如果B∥D，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 变式2 问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P 作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而 可求出∠APC的度数； 小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数； 小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出 ∠APC的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °； 问题迁移： （1）如图5，AD∥BC，点P 在射线OM上运动，当点P 在、B 两点之间运动时，∠ADP=∠α， ∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P 在、B 两点外侧运动时（点P 与点、B、三点不重合），请你直接写出 ∠CPD、∠α、∠β间的数量关系． 变式3 如图，已知B∥D． （1）如图1 所示，∠1+ 2 ∠＝ ； （2）如图2 所示，∠1+ 2+ 3 ∠ ∠＝ ；并写出求解过程． （3）如图3 所示，∠1+ 2+ 3+ 4 ∠ ∠ ∠＝ ； （4）如图4 所示，试探究∠1+ 2+ 3+ 4+ + ∠ ∠ ∠ ∠ ⋯ ＝ ． 变式4（1）如图1，l1∥l2，求∠1+∠2+∠3＝______．（直接写出结果） （2）如图2，l1∥l2，求∠1+∠2+∠3+∠4＝_____．（直接写出结果） （3）如图3，l1∥l2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝_______．（直接写出结果） （4）如图4，l1∥l2，求∠1+∠2+…+∠＝_______．（直接写出结果） 题型03 锯齿型模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 B∥DE ∠B+∠E=∠ 遇拐点做平行 线（方法不唯 一） B∥DE ∠B+∠M+∠E=∠+∠ ∥b 所有朝左角之和等于所有朝右角的和 【针对训练】 例4（2020·湖南·中考真题）如图，已知B∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BE 的度数为（ ） ．70° B．65° ．35° D．5° 变式1（2023·北京西城·统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成 证明． 已知：如图，AB∥CD． 求证：∠AEC=∠A+∠C 方法一 证明：如图，过点E 作MN ∥AB 方法二 证明：如图，延长AE，交CD于点 F． 变式2（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，直线AB∥CD，∠EFG−∠AEF=30°，则∠FGD=¿ ． 变式3 问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数． 经过思考，小敏的思路是：如图2，过P 作PE∥B，根据平行线有关性质，可得 ∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°． 问题迁移：如图3，D∥B，点P 在射线M 上运动， ∠ADP=∠α，∠BCP=∠β． (1)当点P 在、B 两点之间运动时， ∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P 在、B 两点外侧运动时（点P 与点、B、三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之 间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，M A1∥N An，A1−B1−A2−⋯−Bn−1−An是一条折线段，依据此图所含信息，把 你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 变式4．如图1，四边形 为一张长方形纸片． （1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（ ），则 __________°． （2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（ ），则 __________°． （3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（ ），则 ___________°． （4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪 刀，剪出 个角，那么这 个角的和是__ __________°． 变式5（1）如图1，M∥，求证： ①∠MB+∠B+∠B＝360°； ②∠ME+∠EF+∠EF+∠F＝540°； （2）如图2，若平行线M 与间有个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明． 题型04 翘脚模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 B∥DE 1= 2+ 3 ∠ ∠ ∠ 遇拐点做平行 线（方法不唯 一） B∥DE 3 1 2 D A B C E 1+ 3- 2=180° ∠ ∠ ∠ 【针对训练】 例5（2023·重庆大渡口·统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题： 如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC ∥DE? 小明认为∠D−∠A=20°时BC ∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面 的作图与填空： 解：用直尺和圆规，在DA的右侧找一点M，使∠DAM=∠D（只保留作图痕迹）． ∵∠DAM=∠D， _____________ ∴① ∵∠D−∠DAB=20° ∴∠BAM=¿ _________ ② °， ∵∠B=160°， ∴∠B+∠BAM=¿ __________ ③ °， _____________ ∴④ ∴BC ∥DE． 所以满足的关系为：当∠D−∠A=20°时，BC ∥DE． 变式1（2023·云南·校考一模）如图，B∥D，∠A=30°，∠C=70°，则∠F=¿ °． 变式2（2021·全国·九年级专题练习）如图，如果B∥EF，EF∥D，则∠1，∠2，∠3 的关系式 ． 变式3 ①如图1， ，则 ；②如图2， ，则 ；③如图 3， ，则 ；④如图4，直线 EF，点 在直线 上，则 ．以上结论正确的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 变式4．①如图1，B D，则∠＋∠E＋∠＝180°；②如图2，B D，则∠E＝∠＋∠；③如图3，B D，则∠ ＋∠E－∠1＝180°；④如图4，B D，则∠＝∠＋∠P．以上结论正确的个数是（ ） ．①②③④ B．①②③ ．②③④ D．①②④ 变式5．已知直线B∥D，P 为平面内一点，连接P、PD． （1）如图1，已知∠＝50°，∠D＝150°，求∠PD 的度数； （2）如图2，判断∠PB、∠DP、∠PD 之间的数量关系为 ． （3）如图3，在（2）的条件下，P⊥PD，D 平分∠PD，若∠P+ ∠PB＝∠PD，求∠D 的度数． 题型05 三角板拼接模型 【解题方法】通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依据平行线的性质，我们可以 得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数 【针对训练】 例6（2022·广东深圳·统考中考真题）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ） ．5° B．10° ．15° D．20° 变式1（2022·江苏扬州·统考中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°， EF ∥BC，则∠BND=¿ °． 变式2（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中 ∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠≝¿45°，AB/¿ DE，则∠AFD的度数是（ ） ．15° B．30° ．45° D．60° 变式3（2021·贵州黔西·中考真题）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1 的度数为（ ） ．95° B．100° ．105° D．110° 变式4（2022·山东淄博·统考一模）一副三角板按如图所示叠放，其中∠ACB=∠DCE=90°， ∠A=30°，∠D=45°，且AC ∥DE，则∠BCD=¿ 度． 变式5．（2022·江苏镇江中考真题）一副三角板如图放置，∠A=45°，∠E=30°，DE∥AC，则 ∠1=¿ 变式6（2023·福建厦门·厦门市第十一中学校考二模）一副三角板如图方式摆放，点D在直线EF上，且 AB/¿ EF，则∠ADE=¿ 度． 变式7（2023·浙江温州·校考三模）一副直角三角板如图放置，点E 在边BC的延长线上， BE∥DF ,∠B=∠≝¿90°，则∠CDE的度数为 ．