模型01 平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型（原卷版）

模型一：猪蹄与锯齿模型 【模型结论】 如图，直线M∥B，则：①∠PB＝∠+∠B； ②∠+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3； ③∠+∠B+∠P2+…+P2＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2+1 【证明】：（1）∠PB＝∠+∠B 这个结论正确，理由如下 如图1，过点P 作PQ∥M， ∵PQ∥M，M∥B ∴ ，PQ∥M∥B ∴∠ ∠ ， ＝ PQ ∠ ， B ∠ ＝ BPQ， ∴∠+∠B ∠ ＝ PQ+∠BPQ ∠ ＝ PB ∠ ，即： PB ∠ ＝ +∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， ∠ 故答为： +∠B+∠P2 ∠ ＝ P1+∠P3， （3）由（2 ∠ ）的规律得， +∠B+∠P2+…+P2 ∠ ＝ P1+∠P3+∠P5+…+∠P2+1 故答为：∠+∠B+∠P2+…+P2＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2+1 【模型辨析】 ①注意：拐角为左右依次排列 ②若出现不是依次排列的，应进行拆分 模型介绍 大 招 平行线拐点之 猪蹄、锯齿、铅笔模 型 模型二：铅笔模型 【模型结论】 如图1：B∥D，则∠1+∠2＝ 180°； 如图2：B∥D，则∠1+∠2+∠3＝360°； 如图3：B∥D，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 如图4：B∥D，则∠1+∠2+…+∠＝（﹣1）180°。 【证明】在图1 中，∵B∥D，∴∠1+∠2＝180°； 在图2 中，过E 作B 的平行线EF，∵B∥D，∴EF∥D， ∴∠1+∠EF＝180° ∠ ， 3+∠EF＝180° ∴∠ ， 1+∠2+∠3＝360°； 在图3 中，过E 作B 的平行线E，过点F 作B 的平行线FM， ∵B∥D ∴ ，E∥D∥FM ∴∠ ， 1+∠FM＝180° ∠ ， MFE+∠FE＝180°， ∠E+∠4＝180° ∴∠ ， 1+∠2+∠3＝540°； 在图4 中，过各角的顶点依次作B 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规 律可得∠1+∠2+∠3+…+∠＝（﹣1）180°． 【模型辨析】 ①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分 考点一：猪蹄模型 【例1】．如图，直线B∥D，∠＝44°，∠E 为直角，则∠1 等于（ ） ．132° B．134° ．136° D．138° 变式训练 【变式1-1】．如图，∠BD＝90°，B∥DE，则α 与β 一定满足的等式是（ ） ．α+β＝180° B．α+β＝90° ．β＝3α D．α β ﹣＝90° 【变式1-2】．如图，B∥D，∠B＝ ∠BM，∠D＝ ∠MD，∠M＝160°，则∠＝ ． 【变式1-3】．如图，B∥D，M 在B 上，在D 上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝ ． 例题精讲 考点二：锯齿模型 【例2】．若B∥D，∠DF＝ ∠DE，∠BF＝ ∠BE，则∠E：∠F＝ ． 变式训练 【变式2-1】．如图，直线B∥D，∠EF＝30°，∠FG＝90°，∠M＝30°，∠P＝40°，则 ∠GM 的大小是（ ） ．20° B．30° ．40° D．50° 【变式2-2】．如图①，已知B∥D，E，BE 的交点为E，现作如下操作： 第一次操作，分别作∠BE 和∠DE 的平分线，交点为E1；第二次操作，分别作∠BE1和 ∠DE1 的平分线，交点为E2；第三次操作，分别作∠BE2 和∠DE2 的平分线，交点为 E3…第次操作，分别作∠BE 1 ﹣和∠DE 1 ﹣的平分线，交点为E． 如图②，若∠E＝b°，则∠BE 的度数是 ． 考点三：铅笔头模型 【例3】已知B∥D，试解决下列问题： （1）如图1 所示，∠1+∠2＝ ． （2）如图2 所示，∠1+∠2+∠3 等于多少度？请说明理由． （3）如图3 所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ． （4）如图4 所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠＝ ． 变式训练 【变式3-1】．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3 的度数为（ ） ．55° B．60° ．65° D．70° 【变式3-2】．如图，一环湖公路的B 段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方 向的FE 段，则∠B+∠+∠D+∠E 的度数是 ． 【变式3-3】．如图，两直线B 与D 平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ °． 1．如图，已知B∥D，∠＝140°，∠E＝120°，则∠的度数是（ ） 实战演练 ．80° B．100° ．120° D．140° 2．如图，B∥ED，α＝∠+∠E，β＝∠B+ + ∠∠D，则β 与α 的数量关系是（ ） ．2β＝3α B．β＝2α ．2β＝5α D．β＝3α 3．如图，若B∥EF，用含α、β、γ 的式子表示x，应为（ ） ．α+β+γ B．β+γ﹣α ．180°﹣α﹣γ+β D．180°+α+γ+β 4．①如图1，B∥D，则∠+∠E+∠＝180°；②如图2，B∥D，则∠P＝∠﹣∠；③如图3， B∥D，则∠E＝∠+ 1 ∠；④如图4，直线B∥D∥EF，点在直线EF 上，则∠α﹣∠β+∠γ＝ 180°．以上结论正确的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 5 如图，已知B∥DE，∠＝40°，∠D＝100°，则∠D 的度数是 ． 6．如图，直线m∥，B⊥B，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BD 的度数为 7．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2 的度数为 ． 8．如图，若直线∥b，那么∠x＝ 度． 9．如图，已知B∥D，EF⊥B 于点E，∠E＝∠FG＝20°，∠＝50°，则∠EFG 的度 数是 ． 10．如图，B∥D ∠ ， BF＝ ∠BE ∠ ， DF＝ ∠DE ∠ ，则 E ∠ ： F＝ ． 11．（1）如图1，M∥，求证： ①∠MB+∠B+∠B＝360°； ②∠ME+∠EF+∠EF+∠F＝540°； （2）如图2，若平行线M 与间有个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明． 12．如图，B∥D，∠BE＝120°． （1）如图①，写出∠BED 与∠D 的数量关系，并证明你的结论； （2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠DF＝ ∠DE，EF 与DF 交于点F，求∠EFD 的度数； （3）如图③，过B 作BG⊥B 于G 点，∠DE＝4∠GDE，求 的值． 13．如图1，点是直线D 上一点，是直线GE 上一点，B 是直线D、GE 之间的一点． ∠DB+∠B+∠BE＝360° （1）求证：D∥E； （2）如图2，作∠BF＝∠BG，F 与∠B 的角平分线交于点F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠B 的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若点P 是线段B 上一点（不同于点），Q 是GE 上任 意一点，QR 平分∠PQG，PM∥QR，P 平分∠PQ，求∠PM 的度数． 14（1）问题情境：如图1，B∥D，∠PB＝120°，∠PD＝130°，求∠P 的度数． 小辰的思路是：如图2，过点P 作PE∥B，通过平行线的性质，可求得∠P 的度数．请写 出具体求解过程． （2）问题迁移： ①如图3，D∥B，点P 在射线M 上运动，当点P 在、B 两点之间运动时，设∠PD＝∠α， ∠DP＝∠β，∠BP＝∠γ，问：∠α、∠β、∠γ 之间有何数量关系？请说明理由． ②在①的条件下，如果点P 不在、B 两点之间运动时（点P 与点、B、三点不重合）， 请你直接写出∠α、∠β、∠γ 间的数量关系．