重难点突破06 相交线与平行线的5种模型（三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接型）（解析版）

重难点突破06 相交线与平行线的5 种模型 （三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型） 目 录 题型01 三线八角模型 题型02 铅笔头模型 题型03 锯齿型模型 题型04 翘脚模型 题型05 三角板拼接模型 题型01 三线八角模型 模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系 已知 图示 结论（性质） 直线B、D 被直线EF 所截，且B 与D 不平 行 8 7 6 5 4 3 2 1 C D E F A B 1）同位角有4 组，如：∠1 与∠5、∠2 与∠6、∠3 与∠7、∠4 与∠8； 2）内错角有2 组，如：∠3 与∠5、∠6 与∠8； 3）同旁内角有2 组，如：∠3 与∠6、∠4 与∠5； 4）对顶角有4 组，如：∠1 与∠3、∠2 与∠4、∠5 与∠7、∠6 与∠8 直线B、D 被直线EF 所截，且B D ∥ 8 7 5 6 3 4 1 2 C D E F A B 1）同位角相等：∠1= 5 ∠、∠2= 6 ∠、∠3= 7 ∠、 ∠4= 8 ∠； 2）内错角相等：∠3= 5 ∠、∠6= 8 ∠； 3 ）同旁内角互补：∠3+ 6=180° ∠ 、 ∠4+ 5=180° ∠ ； 4）对顶角相等：∠1= 3 ∠、∠2= 4 ∠、∠5= 7 ∠、 ∠6= 8 ∠ 【快速判断同位角、内错角与同旁内角】 【针对训练】 例1（2018·广东广州·中考真题）如图，直线D，BE 被直线BF 和所截，则∠1 的同位角和∠5 的内错角分别 是（ ） ．∠4，∠2 B．∠2，∠6 ．∠5，∠4 D．∠2，∠4 【答】B 【分析】同位角：两条直线，b 被第三条直线所截（或说，b 相交），在截线的同旁，被截两直线，b 的同 一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的 两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．根据此定义即可得出答． 【详解】解：∵直线D，BE 被直线BF 和所截， 1 ∠与∠2 是同位角，∠5 与∠6 是内错角， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题的关键是熟记内错角和同位角的定义． 变式1（2021·广西贺州·统考中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ） ．∠1与∠2 B．∠1与∠3 ．∠1与∠4 D．∠2与∠4 【答】B 【分析】根据同旁内角的概念求解即可． 【详解】解：由图可知，∠1 与∠3 是同旁内角， 1 ∠与∠2 是内错角， 4 ∠与∠2 是同位角， 故选：B． 【点睛】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是解决本 题的关键． 变式2（2021·广西百色·统考中考真题）如图，与∠1 是内错角的是（ ） ．∠2 B．∠3 ．∠4 D．∠5 【答】 【分析】根据内错角的定义，即两条直线被第三条直线所截，位于截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 的两个角，解答即可． 【详解】根据内错角的定义，得：∠1 是内错角的是∠4 ． 故选： 【点睛】本题主要考查了内错角的定义，解题的关键是熟练掌握并理解内错角的定义． 例2（2022·陕西·统考中考真题）如图，AB∥CD ,BC ∥EF．若∠1=58°，则∠2的大小为（ ） ．120° B．122° ．132° D．148° 【答】B 【分析】根据两直线平行线，内错角相等，求出∠1= =58° ∠ ，再利用两直线平行线，同旁内角互补即可求 出∠GE 的大小，然后利用对顶角性质即可求解． 【详解】解：设D 与EF 交于G， ∵B∥D 1= =58° ∴∠ ∠ ∵B∥FE， + ∴∠∠GE=180°， ∴∠GE=180°-58°=122°， 2= ∴∠ ∠GE=122°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线性质是解题关键 变式1（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知AB∥CD，点E 在线段D 上（不与点，点D 重合）， 连接E．若∠＝20°，∠E＝50°，则∠＝（ ） ．10° B．20° ．30° D．40° 【答】 【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可； 【详解】解：∵∠+∠D＝∠E， ∴∠D=∠E-∠＝50°-20°=30°， ∵AB∥CD， ∴∠＝∠D=30°， 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键． 变式2（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，直线m∥n，∠1=100°，∠2=30°，则∠3=¿（ ） ．70° B．110° ．130° D．150° 【答】 【分析】设∠1 的同位角为为∠4，∠2 的对顶角为∠5，根据平行的性质得到∠1= 4=100° ∠ ，再根据三角形的 外角和定理 即可求解． 【详解】设∠1 的同位角为为∠4，∠2 的对顶角为∠5，如图， ∵m∥n，∠1=100°， 1= 4=100° ∴∠ ∠ ， 2=30° ∵∠ ，∠2 与∠5 互为对顶角， 5= 2=30° ∴∠ ∠ ， 3= 4+ 5=100°+30°=130° ∴∠ ∠ ∠ ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键． 变式3（2022·辽宁·统考中考真题）如图，直线m∥，⊥B 于点，∠1＝30°，则∠2 的度数为（ ） ．140° B．130° ．120° D．110° 【答】 【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B 的度数，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵⊥B 于点， ∴∠B＝90°， ∴∠B+ 1=90° ∠ ， 又∠1=30°， ∴∠B＝90° 30° ﹣ ＝60°， ∵m∥， 2 ∴∠＝180°﹣∠B＝120°． 故选：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质等知识，解题的关键是求出∠B 的度数． 题型02 铅笔头模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 B∥DE ∠B+∠+∠E = 360° 遇拐点做平行 线（方法不唯 一） B∥DE ∠B+∠M+∠+∠E= 540° ∥b ∠1+∠2++∠-1+∠=180°× （-1）=180°×（拐点数+1） 【针对训练】 例3 如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APC+∠PCD=360°． 【答】见解析 【分析】过点P 作PQ∥AB，根据同旁内角互补，可得出结论． 【详解】解：过点P 作PQ∥AB，如图， ∵AB∥CD ∴AB∥CD∥PQ ∴∠BAP+∠APQ=180°，∠CPQ+∠PCD=180° ∴∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°，即∠PAB+∠APC+∠PCD=360° 【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补． 变式1 如图，如果B∥D，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 【答】540 【分析】过点E 作EM ∥CD，过点F 作FN ∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答． 【详解】过点E 作EM ∥CD，过点F 作FN ∥CD，如图， ∵AB∥CD，EM ∥CD，FN ∥CD， ∴AB∥FN，EM ∥FN， ∴∠B+∠BF=180°，∠FEM+∠EF=180°，∠D+∠DEM=180°， ∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BF+∠EF， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BF+∠FEM+∠EF+∠D+∠DEM=540°， 故答为：540． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线EM ∥CD， FN ∥CD是解答本题的关键． 变式2 问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数． 思路点拨： 小明的思路是：如图2，过P 作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而 可求出∠APC的度数； 小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数； 小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出 ∠APC的度数． 问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °； 问题迁移： （1）如图5，AD∥BC，点P 在射线OM上运动，当点P 在、B 两点之间运动时，∠ADP=∠α， ∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由； （2）在（1）的条件下，如果点P 在、B 两点外侧运动时（点P 与点、B、三点不重合），请你直接写出 ∠CPD、∠α、∠β间的数量关系． 【答】110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β−∠α或 ∠CPD=∠a−∠β，理由见解析 【分析】小明的思路是：过P 作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC=110°． （1）过P 作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠a=∠DPE， ∠β=∠CPE，即可得出答； （2）画出图形（分两种情况：①点P 在BA的延长线上，②点P 在AB的延长线上），根据平行线的性质 得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答． 【详解】解：小明的思路：如图2，过P 作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE=180°−∠A=50°，∠CPE=180°−∠C=60°， ∴∠APC=50°+60°=110°， 故答为：110； （1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 如图5，过P 作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠a=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠β； （2）当P 在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α； 理由：如图6，过P 作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α； 当P 在BO之间时，∠CPD=∠a−∠β． 理由：如图7，过P 作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的 关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 变式3 如图，已知B∥D． （1）如图1 所示，∠1+ 2 ∠＝ ； （2）如图2 所示，∠1+ 2+ 3 ∠ ∠＝ ；并写出求解过程． （3）如图3 所示，∠1+ 2+ 3+ 4 ∠ ∠ ∠＝ ； （4）如图4 所示，试探究∠1+ 2+ 3+ 4+ + ∠ ∠ ∠ ∠ ⋯ ＝ ． 【答】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答； （2）过点E 作B 的平行线，转化成两个图1，同理可得答； （3）过点E，点F 分别作B 的平行线，转化成3 个图1，可得答； （4）由（2）（3）类比可得答． 【详解】解：（1）如图1，∵B∥D， 1+ 2=180° ∴∠ ∠ （两直线平行，同旁内角互补）． 故答为：180°； （2）如图2，过点E 作B 的平行线EF， ∵B∥D， ∴B∥EF，D∥EF， 1+ ∴∠ ∠EF=180°，∠FE+ 3=180° ∠ ， 1+ 2+ 3=360° ∴∠ ∠ ∠ ； （3）如图3，过点E，点F 分别作B 的平行线， 类比（2）可知∠1+ 2+ 3+ 4=180°×3=540° ∠ ∠ ∠ ， 故答为：540°； （4）如图4 由（2）和（3）的解法可知∠1+ 2+ 3+ 4+…+ = ∠ ∠ ∠ ∠（-1）×180°， 故答为：（-1）×180°． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 变式4（1）如图1，l1∥l2，求∠1+∠2+∠3＝______．（直接写出结果） （2）如图2，l1∥l2，求∠1+∠2+∠3+∠4＝_____．（直接写出结果） （3）如图3，l1∥l2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝_______．（直接写出结果） （4）如图4，l1∥l2，求∠1+∠2+…+∠＝_______．（直接写出结果） 【答】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（-1）180 ° 【分析】（1）过点2作2B∥l1，根据平行线的性质，即可求解； （2）过点2作2B∥l1，过点3作3∥l1，根据平行线的性质，即可求解； （3）根据平行线的性质，即可求解； （4）根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：（1）过点2作2B∥l1， ∵l1∥l2， ∴2B∥l1∥l2， ∴∠1+∠12B=180°，∠3+∠32B=180°， ∴∠1+∠123+∠3＝∠1+∠12B+∠3+∠32B=180°+180°=360°， 故答是：360°； （2）过点2作2B∥l1，过点3作3∥l1， ∵l1∥l2， ∴3∥2B∥l1∥l2， ∴∠1+∠12B=180°，∠4+∠43B=180°，∠B23+∠32=180°， ∴∠1+ 1 ∠ 23+∠234+∠4＝∠1+∠12B+∠4+∠43B+∠B23+∠32 =180°+180°+180°=540°， 故答是：540°； （3）同理可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝180°+180°+180°+180°=720°， 故答是：720°； （4）同理可得：∠1+∠2+…+∠＝（-1）180 °， 故答是：（-1）180 °． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键． 题型03 锯齿型模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 B∥DE ∠B+∠E=∠ 遇拐点做平行 线（方法不唯 一） B∥DE ∠B+∠M+∠E=∠+∠ ∥b 所有朝左角之和等于所有朝右角的和 【针对训练】 例4（2020·湖南·中考真题）如图，已知B∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BE 的度数为（ ） ．70° B．65° ．35° D．5° 【答】B 【分析】作F∥B，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BF，∠FE＝∠2，从而可得∠BE 的度数，本题得以解决． 【详解】作F∥B， ∵B∥DE， ∴F∥DE， ∴B∥DE∥DE， 1 ∴∠＝∠BF，∠FE＝∠2， 1 ∵∠＝30°，∠2＝35°， ∴∠BF＝30°，∠FE＝35°， ∴∠BE＝65°， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 变式1（2023·北京西城·统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成 证明． 已知：如图，AB∥CD． 求证：∠AEC=∠A+∠C 方法一 证明：如图，过点E 作MN ∥AB 方法二 证明：如图，延长AE，交CD于点 F． 【答】答不唯一，见解析 【分析】利用平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可． 【详解】方法一 证明：如图，过点E 作MN ∥AB ， ∴∠A=∠AEM． ∵AB∥CD， ∴MN ∥CD， ∴∠C=∠CEM． ∵∠AEC=∠AEM +∠CEM， ∴∠AEC=∠A+∠C． 方法二证明：如图，延长AE，交CD于点F， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠AFC． ∵∠AEC=∠AFC+∠C， ∴∠AEC=∠A+∠C． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 变式2（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，直线AB∥CD，∠EFG−∠AEF=30°，则∠FGD=¿ ． 【答】150°/150 度 【分析】过点F作FH ∥AB，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图： 过点F作FH ∥AB， ∵AB∥CD，FH ∥AB， ∴AB∥FH ∥CD， ∴∠AEF=∠EFH ,∠HFG+∠FGD=180°， ∵∠EFG−∠AEF=30°， ∴∠HFG=∠EFG−∠EFH=∠EFG−∠AEF=30°， ∴∠FGD=180°−∠HFG=180°−30°=150°． 故答为：150°． 【点睛】本题主要考查平行的性质，理解并掌握构造平行线，平行线的性质是解题的关键． 变式3 问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数． 经过思考，小敏的思路是：如图2，过P 作PE∥B，根据平行线有关性质，可得 ∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°． 问题迁移：如图3，D∥B，点P 在射线M 上运动， ∠ADP=∠α，∠BCP=∠β． (1)当点P 在、B 两点之间运动时， ∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由． (2)如果点P 在、B 两点外侧运动时（点P 与点、B、三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之 间的数量关系． (3)问题拓展：如图4，M A1∥N An，A1−B1−A2−⋯−Bn−1−An是一条折线段，依据此图所含信息，把 你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 【答】(1)∠PD=∠α+∠β，理由见解析 (2)∠PD=∠β-∠α 或∠PD=∠α-∠β (3)∠1+∠2+…+ = ∠∠B1+∠B2+…+∠Bn−1 【分析】（1）过P 作PE∥D，根据平行线的判定可得PE∥D∥B，再根据平行线的性质即可求解； （2）过P 作PE∥D，根据平行线的判定可得PE∥D∥B，再根据平行线的性质即可求解； （3）问题拓展：分别过2，3…，-1作直线∥1M，过B1，B2，…，B-1作直线∥1M，根据平行线的判定和性质 即可求解． 【详解】（1）∠PD=∠α+∠β，理由如下： 如图，过P 作PE∥D 交D 于E， ∵D∥B， ∴D∥PE∥B， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠PE， ∴∠PD=∠DPE+∠PE=∠α+∠β； （2）当P 在B 延长线时，∠PD=∠β-∠α；理由： 如图，过P 作PE∥D 交D 于E， ∵D∥B， ∴D∥PE∥B， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠PE， ∴∠PD=∠PE-∠DPE=∠β-∠α； 当P 在B 之间时，∠PD=∠α-∠β．理由： 如图，过P 作PE∥D 交D 于E， ∵D∥B， ∴D∥PE∥B， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠PE， ∴∠PD=∠DPE-∠PE=∠α-∠β． （3）问题拓展：分别过2，3…，-1作直线∥1M，过B1，B2，…，B-1作直线∥1M， 由平行线的性质和角的和差关系得∠1+∠2+…+ = ∠∠B1+∠B2+…+∠Bn−1． 故答为：∠1+∠2+…+ = ∠∠B1+∠B2+…+∠Bn−1． 【点睛】本题主要考查了平行