模型04 相交线与平行线——铅笔头模型-解析版

相交线与平行线 模型（四）——铅笔头模型 ◎结论1：如图所示，B∥D，则∠B+∠B+∠=360° 【证明】如图，过点 作 E//B B∥D, E//B//D ∵ ∠B+∠1=180°,∠+∠2=180°, ∴ ∠B+∠1+∠2+∠=360° ∴ ，∴∠B＋∠B+∠=360° ◎结论2：如图所示，∠B+∠B+∠=360°，则B∥D 【证明】如图，过点 作EF//B， 则∠B＋∠1=180°，∵∠B+∠B+∠=360°, ∴∠+∠2=180°,∴EF∥D，又∵EF//B，∴B//D “异形”铅笔头：拐点数,∠++∠=180°×（+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数： 1．（2022·全国·七年级）如图，已知 ， ， ，则 的度数是（ ） ．80° B．120° ．100° D．140° 【答】 【分析】过E 作直线M//B，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条 直线的两直线平行可得M//D，根据平行线性质从而求出∠． 【详解】解：过E 作直线M//B，如下图所示， ∵M//B， + 1 ∴∠∠＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 1 ∴∠＝180°∠＝180° 140° ﹣ ＝40°， ∵ ， ∴ ∵M//B，B//D， ∴M//D， + 2 ∴∠∠＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠＝180° 2 ﹣∠＝180° 80° ﹣ ＝100°， 故选：． 【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键． 2．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若B EF ∥ ，用含 、 、 的式子表示，应为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ，推出B D M EF ∥∥ ∥ ，根据平行线的性质得出 + BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ， ∠MF= ，求出∠BD=180°- ，∠DM= M= ∠ - ，即可得出答． 【详解】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ， B EF ∵∥ ， B D M EF ∴∥∥ ∥ ， ∴ + BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ，∠MF= ， BD=180°- ∴∠ ，∠DM= M= ∠ - ， ∴= BD+ DM= ∠ ∠ ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 3．（2022·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3 的度数为( ) ．55° B．60° ．65° D．70° 【答】 【分析】首先过点作B∥l1，由l1∥l2，即可得B∥l1∥l2，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠4 与∠5 的度 数，又由平角的定义，即可求得∠3 的度数． 【详解】解： 过点作B∥l1， ∵l1∥l2， ∴B∥l1∥l2， 1+ 4=180 ∴∠ ∠ , 2+ 5=180 ∠ ∠ ， 1=105 ∵∠ , 2=140 ∠ ， 4=75 ∴∠ , 5=40 ∠ ， 4+ 5+ 3=180 ∵∠ ∠ ∠ ， 3=65 ∴∠ 故选： 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质 1．（2022·湖南·新田县云梯学校七年级阶段练习）①如图1， ，则 ；②如图2， ，则 ；③如图3， ，则 ；④如图4，直线 EF，点 在直 线 上，则 ．以上结论正确的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】B 【分析】①过点E 作直线EF B，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E 作直线EF∥B，由平行线的性质可得出∠+∠E 1 ﹣∠＝180°，即得∠E＝180°+ 1 ∠ ∠ ﹣ ； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BF，∠γ+∠F＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E 作直线EF∥B， ∵B∥D， ∴B∥D∥EF， + 1 ∴∠∠＝180°，∠2+∠＝180°， + ∴∠∠B+∠E＝360°， 故①错误； ②如图2，∵∠1 是△EP 的外角， 1 ∴∠＝∠+∠P， ∵B∥D， ∴∠＝∠1， 即∠P＝∠﹣∠， 故②正确； ③如图3，过点E 作直线EF∥B， ∵B∥D， ∴B∥D∥EF， + 3 ∴∠∠＝180°，∠1＝∠2， + ∴∠∠E 1 ﹣∠＝180°， 即∠E＝180°+ 1 ∠ ∠ ﹣ ， 故③错误； ④如图4，∵B∥EF， α ∴∠＝∠BF， ∵D∥EF， γ+ ∴∠ ∠F＝180°， ∵∠BF＝∠F+ β ∠， ∴∠F＝∠α β ﹣∠， γ+ α β ∴∠ ∠ ∠ ﹣ ＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答 此题的关键． 2．（2021·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校七年级期中）如图，如果B D，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°． 【答】540 【分析】过点E 作 ，过点F 作 ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答． 【详解】过点E 作 ，过点F 作 ，如图， ∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴∠B+∠BF=180°，∠FEM+∠EF=180°，∠D+∠DEM=180°， ∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BF+∠EF， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BF+∠FEM+∠EF+∠D+∠DEM=540°， 故答为：540． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线 ， 是解 答本题的关键． 3．（2022·全国·七年级）如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2 的度数为 ___． 【答】150°##150 度 【分析】延长B 交l2于E，根据平行线的判定可得B∥D，根据平行线的性质先求得∠3 的度数，再根据平行线的性 质求得∠2 的度数． 【详解】解：延长B 交l2于E， ∵∠α=∠β， ∴B∥D， 2+ 3=180° ∴∠ ∠ ∵l1∥l2， 3= 1=30° ∴∠ ∠ ， 2=180°- 3=150° ∴∠ ∠ ． 故答为：150°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键． 4．（2022·江苏盐城·七年级期中）如图，直线与∠B 的一边射线相交，∠1＝130°，向下平移直线得到直线b，与∠B 的另一边射线B 相交，则∠2+ 3 ∠＝___． 【答】 【分析】过点作 ，利用平移的性质得到 ，可得判断 ，根据平行线的性质得 ， ，可得到 ，从而得出 的度数． 【详解】解：过点作 ， ∵直线向下平移得到直线b， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键． 1．（2022·江西赣州·七年级期中）根据下列叙述填依据． (1)已知如图1， ，求∠B+∠BFD+∠D 的度数． 解：过点F 作 所以∠B+∠BFE=180°（ ） 因为 、 （已知） 所以 （ ） 所以∠D+∠DFE=180°（ ） 所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360° (2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）B EF、∠D 与∠B、∠F 有何数量关系（请选其中一个简要证明） 备用图： (3)如图（4）B EF，∠=90°，∠ 与∠ 、∠ 有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由） 【答】(1)两直线平行，同旁内角互补； ，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点F 作 ，得到∠B+∠BFE=180°，再根据 、 得到 ， ∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答； （2）类比问题（1）的解题方法即可得解； （3）类比问题（1）的解题方法即可得解． （1） 解：过点F 作 ，如图， ∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等）， ∵ 、 （已知） ∴ （平行于同一直线的两直线平行）， ∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°； 故答为：两直线平行，同旁内角互补； ，平行于同一直线的两直线平行； 两直线平行，同旁内角互补； （2） 解：选图（2），∠D 与∠B、∠F 的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F； 理由如下： 过点D 作D//B， ∴∠B=∠BD， ∵ ， ， ∴ ， ∴∠DF=∠F， ∴∠BDF+∠BD =∠F， 即∠BDF+∠B=∠F； 选图（3），∠D 与∠B、∠F 的数量关系：∠BDF+∠B=∠F 过点D 作 ， ∴∠B=∠BD， ∵ ， ， ∴ ， ∴∠DF=∠F， ∴∠BDF+∠BD =∠F， 即∠BDF+∠B=∠F ∠BDF+∠B=∠F ； （3） 解： 如图（4）所示，过点作 ，过D 作 ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公 理推论的运用是解题的关键． 2．如图，已知B∥D． （1）如图1 所示，∠1+ 2 ∠＝ ； （2）如图2 所示，∠1+ 2+ 3 ∠ ∠＝ ；并写出求解过程． （3）如图3 所示，∠1+ 2+ 3+ 4 ∠ ∠ ∠＝ ； （4）如图4 所示，试探究∠1+ 2+ 3+ 4+ + ∠ ∠ ∠ ∠ ⋯ ＝ ． 【答】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答； （2）过点E 作B 的平行线，转化成两个图1，同理可得答； （3）过点E，点F 分别作B 的平行线，转化成3 个图1，可得答； （4）由（2）（3）类比可得答． 【详解】解：（1）如图1，∵B∥D， 1+ 2=180° ∴∠ ∠ （两直线平行，同旁内角互补）． 故答为：180°； （2）如图2，过点E 作B 的平行线EF， ∵B∥D， ∴B∥EF，D∥EF， 1+ ∴∠ ∠EF=180°，∠FE+ 3=180° ∠ ， 1+ 2+ 3=360° ∴∠ ∠ ∠ ； （3）如图3，过点E，点F 分别作B 的平行线， 类比（2）可知∠1+ 2+ 3+ 4=180°×3=540° ∠ ∠ ∠ ， 故答为：540°； （4）如图4 由（2）和（3）的解法可知∠1+ 2+ 3+ 4+…+ = ∠ ∠ ∠ ∠（-1）×180°， 故答为：（-1）×180°． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．