重难点突破01 规律探究与新定义型问题（2类型+10题型）（原卷版）

重难点01 规律探究与新定义型问题 目 录 类型一 数式规律 题型01 记数类规律 题型02 乘方类规律 题型03 表格类规律 题型04 数阵类规律 题型05 个位数字规律 题型06 新定义运算规律 类型二 图形规律 题型01 图形固定累加型 题型02 图形渐变累加型 题型03 图形个数分区域累加 题型04 图形循环规律 类型一 数式规律 方法总结： 一、数字规律探索 1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列、正整数数列或 经过平方、平方加1 或减1 等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现 还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用(-1)或(-1)-1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结 合起来从而得到结果 2)当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数 字规律(其方法同1))，从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第项的规律 二、数阵规律探索 此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本 质上讲，这两种方式是相同的此类型题的解决方法有： 1）分析数阵中的数字排列方式: ①每行的个数;②每列的个数;③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一 行或者某一列数据具有某些特别的性质 (如完全平方数，正整数)等; 2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系; 3）使用1）中找出的具有特殊性质的数字，根据2）中的性质定位，求得答 三、等式规律探索 1）标序数; 2）对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数 (1，2，3，4，，)之间的关系，把其蕴含的规律用 含序数的式子表示出来通常方法是将式子进行拆分观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系 3）根据找出的规律得出第个等式，并进行检验 题型01 记数类规律 【例1】（2023 岳阳市二模）按一定规律排列的一列数依次是2 3 、1、8 7 、11 9 、14 11 、17 13 …按此规律，这列 数中第100 个数是( ) ．299 199 B．299 201 ．301 201 D．303 203 【变式1-1】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）观察下列各式：a1=1，a2=2 5 ，a3= 1 4 ，…， 它们按一定规律排列，第个数记为an，且满足则1 an + 1 an+2 = 2 an+1 ，则a2023= 【变式1-2】（2022·河北保定·统考模拟预测）有一列数1，x2，7，x4，x5，…，xn，从第二个数开始， 每个数等于与它相邻的两个数的平均数． （1）则x6为 ； （2）若xm=52，则m=¿ ． 【变式1-3】（2023 六安市模拟）判断下面各式是否成立 （1）❑ √2 2 3=2❑ √ 2 3 （2）❑ √3 3 8=3 ❑ √ 3 8 （3）❑ √4 4 15=4 ❑ √ 4 15 探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：❑ √5 5 24 =¿¿ ②用含有的代数式将规律表示出来，说明的取值范围，并给出证明 【变式1-4】（2023·安徽六安·统考模拟预测）观察下列等式： 第1 个等式：1+1+ 1 2−1 2=2 第2 个等式：2+ 1 3 + 1 4 −1 12=5 2 第3 个等式：3+ 1 5 + 1 6−1 30=10 3 第4 个等式：4+ 1 7 + 1 8−1 56=17 4 …， 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5 个等式：__________； (2)写出你猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 【变式1-5】（2023·安徽宣城·校联考一模）先观察下列各式： ❑ √1=1； ❑ √1+3=❑ √4=2； ❑ √1+3+5=❑ √9=3； ❑ √1+3+5+7=❑ √16=4 (1)计算：❑ √1+3+5+7+9 ； (2)已知为正整数，通过观察并归纳， 请写出： ❑ √1+3+5+7+9+11+...+(2n−1)＝ ； (3)应用上述结论，请计算❑ √4+12+20+28+36+44+...+204的值． 题型02 乘方类规律 【例2】（2023·四川成都·校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式：x、−2 x 2、4 x 3、−8 x 4、 16 x 5、…，根据其中的规律得出的第9 个单项式是（ ） ．−256 x 9 B．256 x 9 ．−512 x 9 D．512 x 9 【变式2-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）为了求1+2+2 2+⋯+2 2023的值，可令S=1+2+2 2+⋯+2 2023， 则2S=2+2 2+2 3+⋯+2 2024，因此2S−S=2 2024−1，所以1+2+2 2+⋯+2 2023=2 2024−1，仿照以上推理计 算出1+3+3 2+⋯+3 2023的值是（ ） ．1−3 2024 2 B．3−3 2024 2 ．3 2024−1 2 D．3 −2024−3 2 【变式2-2】（2022 随州市一模）我们知道，一元二次方程x2=﹣1 没有实数根，即不存在一个实数的平方 等于﹣1，若我们规定一个新数，使其满足2=﹣1（即x2=﹣1 方程有一个根为），并且进一步规定：一切实 数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有1=，2=﹣1，3=2•=（﹣1）•，4=（2）2= （﹣1）2=1，从而对任意正整数，我们可得到4+1=4•=（4）•，同理可得4+2=﹣1，4+3=﹣，4=1，那么， +2+3+4+…+2016+2017的值为（ ） ．0 B．1 ．﹣1 D． 【变式2-3】（2022·广西梧州·统考一模）找规律数：0，6，16，30，48，…，则第n个为 （用含的代 数式表示）． 【变式2-4】观察等式：1=1=1 2，1+3=4=2 2，1+3+5=9=3 2，1+3+5+7=16=4 2，……猜想 1+3+5+7+⋅⋅⋅+2019=¿ 题型03 表格类规律 解题技巧：表格找规律其实是在数学的学习当中一项比较常见的类型，以日历的表格为基础而展开的规律 选择最为常见这类提醒我们要以其中一个数字为中心，上下左右的数字变化以及大小来展开，比如在日历 的表格当中上下相差7，左右相差一，那么将中心的数字看作是字母，则左边为-1，右边为+1，上边 为-7，下边为+7 所以当我们没有关于表格规律的解题思路时，将以此为基础来进行观察，虽然其规律有 所不同，但是其思路是相通的，方法也可以类比进行推论 【例3】（2020·山西临汾·校联考模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图 是2019 年1 月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后， 相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11−3×17=48，13×15−7×21=48．不难发现，结果都 是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5 个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5 个数的最大 数； （3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5 个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的 说法是否正确．（不必叙述理由） 【变式3-1】观察表格，回答问题： … 00001 001 1 10 0 10000 … ❑ √a … 001 x 1 y 100 … (1)表格中x=¿________，y=¿________； (2)从表格中探究与❑ √a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知❑ √10≈3.16，则❑ √1000≈________； ②已知❑ √m=8.973，若❑ √b=897.3，用含m 的代数式表示b，则b=¿________； (3)试比较❑ √a与的大小． 当________时，❑ √a>a；当________时，❑ √a=a；当________时，❑ √a<a． 【变式3-2】（2021 宿州市一模）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律． 根据此规律，回答下列问题： （1）第5 个图中4 个数的和为______________． （2）a=¿___________；c=¿__________． （3）根据此规律，第n个正方形中，d=2564，则n的值为___________． 【变式3-3】（2023·河北保定·统考一模）观察： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 数 20 21 22 23 24 25 26 … 个位上数 字 1 2 4 8 6 m … 思考：（1）上面表格中m、的值分别是多少？ 探究：（2）第⑩个数是什么？它个位上的数字是多少？ 延伸：（3）2 2023的个位数字是多少？ 拓展：（4）用含k 的代数式表示个位上的数字是6 的数的序号．（k 为正整数） 题型04 数阵类规律 【例4】（2023·福建厦门·厦门双十中学校考三模）将一组数❑ √2，2，❑ √6，2❑ √2，．．．，4 ❑ √2，．．． 按下列方式进行排列： ❑ √2，2，❑ √6，2❑ √2； ❑ √10，2❑ √3，❑ √14，4； …… 若2 的位置记为(1,2)，❑ √14的位置记为(2,3)，则2❑ √10的位置记为 ． 【变式4-1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）观察下列一系列数，按照这种规律排下去，那么第5 行从 左边数第6 个数是 ． 【变式4-2】（2023·山东聊城·统考二模）将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对(n,m)表示第排， 从左到右第m 个数，如(4,2)表示9，则表示123 的有序数对是 ． 【变式4-3】（2021·山东济宁·统考一模）将1，❑ √2，❑ √3，❑ √6按如图方式排列，若规定（m，）表示第m 排从左向右第个数，则（6，3）与（2000，4）表示的两数之积是 ． 【变式4-4】（2022 鄂尔多斯市二模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角” (如图所示)就是一例 这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和事实上，这个三角形 给出了 (a+b) n(n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律例如，在三角形中第三行 的三个数1、2、1，恰好对应 (a+b) 2=a 2+2ab+b 2展开式中各项的系数；第四行的四个数1、3、3、1， 恰好对应着 (a+b) 3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3展开式中各项的系数等等根据上面的规律， (a+b) 4的展开式中各 项系数最大的数为 ；式子7 5+5×7 4× (−5)+10×7 3× (−5) 2+10×7 2× (−5) 3+5×7× (−5) 4+(−5) 5的 值为 【变式4-4】（2021·湖北随州·统考一模）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为 “杨辉三角”，它具有一定的规律性．从图中取一斜列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1， 第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an．1 a1 + 1 a2 + 1 a3 +⋅⋅⋅+ 1 an = n 2021，则n的值为 ． 【变式4-5】（2021 合肥市一模）如图1，观察数表，如何计算数表中所有数的和? 方法1：如图1，先求每行数的和： 第1 行 1+2+3+⋯+n=(1+2+3+...+n) 第2 行 2+4+6+⋯+2n=2 (1+2+3+⋯+n) 第行 n+2n+3n+⋯+n 2=n (1+2+3+⋯+n) 故表中所有数的和： (1+2+3+⋯+n)+2 (1+2+3+⋯+n)+⋯+n (1+2+3+⋯+n)=¿ ； 方法2：如图2．依次以第1 行每个数为起点，按顺时针方向计算各数的和： 第1 组 1=1 3 第2 组 2+4+2=2 3 第3 组 3+6+9+6+3=3 3 … 第n组 n+2m+⋯+n 2+⋯+2n+n=¿ ， 用这n组数计算的结果，表示数表中所有数的和为： ， 综合上面两种方法所得的结果可得等式： ； 利用上面得到的规律计算：1 3+2 3+3 3+⋯+20 3． 题型05 个位数字规律 【例5】（2023·湖南岳阳·统考一模）观察下列等式：7 0=1，7 1=7，7 2=49，7 3=343，7 4=2401， 7 5=16807，…，根据其中的规律可得7 0+7 1+7 2+⋅⋅⋅+7 2022+7 2023的结果的个位数字是 ． 【变式5-1】（2022·山东聊城·统考二模）计算3 1，3 2，3 3，3 4，3 5，3 6，并观察这些幂的个位数字，根据 你发现的规律，判断3 2022的个位数字跟（ ）的个位数字相同． ．3 1 B．3 2 ．3 3 D．3 4 【变式5-2】计算：2 1−1=1,2 2−1=3,2 3−1=7,2 4−1=15,2 5−1=31,…归纳各计算结果中的个位数 字规律，猜测2 2021−1的个位数字是（ ） ．1 B．3 ．7 D．5 【变式5-3】发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536 （1）观察上面运算结果的个位数字，写出你发现的规律； （2）依据（1）中的规律，通过计算判断3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1 的结果的个位数字是 多少， 题型06 新定义运算规律 解题技巧：新定义运算的规律其实是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出的，想 要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感 程度 【例6】（2020·河南·统考中考真题）定义运算：m•n=mn 2−mn−1．例如:4×2=4×2 2−4×2−1=7． 则方程1× x=0的根的情况为（ ） ．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ．无实数根 D．只有一个实数根 【变式6-1】（2023·辽宁朝阳·校联考三模）我们知道，一元二次方程x 2=−1没有实数根，即不存在一个 实数的平方等于−1．如果我们规定一个新数“i”使它满足i 2=−1（即x 2=−1有一个根为i），并且进一 步规定：一切实数可以与新数“i ”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立．于是有：i 1=i， i 2=−1，i 3=i 2⋅i=−i，i 4=(i 2) 2=1……那么i 2023=¿ ． 【变式6-2】（2022·浙江宁波·统考中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数，b，a⊗b=1 a + 1 b ．若( x+1)⊗x=2 x+1 x ，则x 的值为 ． 【变式6-3】（2022·湖南张家界·张家界市民族中学校考一模）定义：如果一个数的平方等于−1，记为 i 2=−1，这个数叫做虚数单位，把形如a+bi（，b 为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，b 叫 做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如，计算： (3−i)+(5+3i)=(3+5)+(−1+3)i=8+2i； (1+i)×(3−i)=1×3−i+3×i−i 2=3+(−1+3)i+1=4+2i．根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：i 3=¿________，i 4=¿_______； (2)计算：(2+i)×(3−4i)； (3)计算：i+i 2+i 3+i 4+⋯+i 2022． 【变式6-4】（2023 石家庄二模）对于任意一个四位数，我们可以记为abcd，即 abcd =1000a+100b+10c+d．若规定： 对四位正整数abcd进行 F 运算，得到整数 F (abcd )=a 4+b 3+c 2+d 1．例如，F (1249)=1 4+2 3+4 2+9 1=34；F (2020)=2 4+0 3+2 2+0 1=20． （1）计算：F (2137)； （2）当c=e+2时，证明：F (abcd )−F (abed )的结果一定是4 的倍数； （3）求出满足F (32 xy )=98的所有四位数． 类型二 图形规律 方法总结：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前 一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 题型01 图形固定累加型 解题技巧：对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数,在确定出后一个图形在前一个图形 的基础上累加的所求图形的个数b(即固定累加图形个数)，再根据固定累加的图形规律推导出与序数有关 的关系式为+b(-1) 【例1】（2022·重庆·统考中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图，其中第①个图中有5 个正方形， 第②个图中有9 个正方形，第③个图中有13 个正方形，第④个图中有17 个正方形，此规律排列下去，则 第⑨个图中正方形的个数为（ ） ．32 B．34 ．37 D．41 【变式1-1】（2022·重庆·统考中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图，其中第①个图中有1 个菱形， 第②个图中有3 个菱形，第③个图中有5 个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图中菱形的个数为（ ） ．15 B．13 ．11 D．9 【变式1-2】（2022·江西·统考中考真题）将字母“”，“”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4 个图形中字母“”的个数是（ ） ．9 B．10 ．11 D．12 【变式1-3】（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图是一组有规律的图，它们是由边长相同的正方形和 正三角形镶嵌而成，第（1）个图有4 个正三角形和4 个正方形，第（2）个图有10 个正三角形和8 个正方 形，第（3）个图有16 个正三角形和12 个正方形，…，依此规律，第（）个图中正三角形和正方形的总个 数为 个．（用含的代数式表示）． 【变式1-4】（2022·湖南怀化·校考二模）观察下列的“蜂窝图”按照它呈现的规律第个图中的“ ”的个数是 （用含的代数式表示） 【变式1-5】（2023·山东济南·统考二模）学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子．若用x 表示餐桌的张数， y 表示椅子的把数，请你写出