模型03 相交线与平行线——猪蹄模型-解析版

相交线与平行线 模型（三）——猪蹄模型 ◎结论1：若B∥D，则∠B0=∠B+∠ 【证明】过点 作E//B，如图 ∵B∥D,∴E∥D, ∴∠B=∠1,∠=∠2, ∴∠1+∠2=∠B+∠，即∠B=∠B＋∠ ◎结论2：若∠B=∠B+∠，则B∥D 【证明】过点 作E∥B，如图，则 ∠B=∠1, ∵∠B=∠B+∠，∠B=∠1+∠2， ∠1+∠2=∠B+∠ ∴ ，∴∠=∠2，∴E∥D， 又E∥B，∴B∥D 1．（2022·山东·滕州市龙泉街道滕东中学七年级期中）①如图1，B D，则∠ +∠E + =180° ∠ ；②如图2，B D， 则∠E = + ; ∠ ∠③如图3，B D，则∠ +∠E－∠1=180° ； ④如图4，B D，则∠= + ∠ ∠P．以上结论正确的个数是 ( ) ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】①过点E 作直线 ，由平行线的性质即可得出结论；②过点E 作直线 ，由平行线的性质即 可得出结论；③过点E 作直线 ，由平行线的性质可得出∠+∠E- 1=180° ∠ ；④先过点P 作直线 ， 再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断． 【详解】解：①过点E 作直线 ， ∵ ，∴ ， ∠＋∠1＝180°，∠2＋∠＝180°， ∴∠＋∠＋∠E＝360°，故①错误； ②过点E 作直线 ， ∵ ， ∴ ，∴∠＝∠1，∠2＝∠， ∴∠E＝∠＋∠，即∠E＝∠＋∠，故②正确； ③过点E 作直线 ， ∵ ，∴ ， ∴∠＋∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠＋∠E－∠2＝180°， 即∠＋∠E－∠1＝180°，故③正确； ④如图，过点P 作直线 ， ∵ ，∴ ， 1= ∴∠ ∠FP，∠=∠FP， ∵∠FP=∠FP+∠P， 1 ∴∠＝∠＋∠P， ∵B D，∴∠＝∠1， 即∠＝∠+∠P，故④正确． 综上所述，正确的小题有②③④． 故选：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2．（2022·江苏·苏州工业区景城学校七年级阶段练习）如图，B DE，B⊥D，则以下说法中正确的是（ ） ．α，β 的角度数之和为定值B．α，β 的角度数之积为定值．β 随α 增大而增大D．β 随α 增大而减小 【答】 【分析】过点作F B，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过点作F B， ∵B DE， ∴F DE， ∴∠α=∠BF，∠β+∠DF=180°， ∵B⊥D， ∴∠BF+∠DF=90°， ∴∠α+180°-∠β=90°， ∴∠β=90°+∠α， ∴β 随α 增大而增大， 故选：． 【点睛】本题考查平行线的性质；熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（2022·山东济宁·七年级期中）如图， ， ，则 与 满足（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】过点作F B，由 ，则 ，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点作F B，如图， ∵F B， ∴∠BF=∠α， ∵B DE， ∴F DE， ∴∠FD=180°-∠β， ∴∠BD=∠BF+∠FD=∠α+180°-∠β， ∵ ∴∠α+180°-∠β=96°， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 1．（2021·河南新乡·七年级期中）如图，∠B+ =180° ∠ ，∠=50°，∠D=40°，则∠ED 的度数为( ) ．70° B．80° ．90° D．100° 【答】 【分析】过点E 作 ，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可推导 ，再根据 ∠B+ =180° ∠ ，借助平行线的判定“同旁内角互补，两直线平行”可判断 ，故有 ，可知 ，然后由 计算∠ED 的度数即可． 【详解】解：如下图，过点E 作 ， 则 ， ∵∠B+ =180° ∠ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 2．（2022·江苏·扬州市江都区华君外国语学校七年级阶段练习）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一 边上，若∠2＝25°，则∠1 的度数为___． 【答】65° 【分析】过直角顶点作直尺长边的平行线，根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到∠1 的度数，本题得 以解决． 【详解】解：过直角顶点作直尺长边的平行线，如右图所示， 则∠2= 3 ∠，∠1= 4 ∠， 2=25° ∵∠ ， 3=25° ∴∠ ， 3+ 4=90° ∵∠ ∠ ， 4=65° ∴∠ ， 1=65° ∴∠ ， 故答为：65°． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 3．（2022·四川·泸州市梓橦路学校七年级期中）如图，直线 ， ， ＝ ， ＝ ，则 的度数为 ________． 【答】117°##117 度 【分析】过作 ，过B 作 ，利用平行线的性质和判定即可得出结论． 【详解】解：过作 ，过B 作 ， ∴ , , ∴ , ∵ , ∴ , ∴ , ∵ , ∴ , ∴ , ∴ , ∴ , 故答为： ． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能综合运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． 1．已知直线 ，直线EF 分别与直线，b 相交于点E，F，点，B 分别在直线，b 上，且在直线EF 的左侧，点P 是直线EF 上一动点（不与点E，F 重合），设∠PE＝∠1，∠PB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点 在线段 上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2)当点P 在线段EF 外运动时有两种情况． ①如图2 写出∠1，∠2，∠3 之间的关系并给出证明； ②如图3 所示，猜想∠1，∠2，∠3 之间的关系（不要求证明）． 【答】(1)证明见详解 (2)① ；证明见详解；② ；证明见详解 【分析】（1）如图4 过点 作 ，利用平行线的传递性可知 ，根据平行线的性质可知 ， ，根据等量代换就可以得出 ； （2）①如图5 过点 作 ，利用平行线的传递性可知 ，根据平行线的性质可知 ， ，根据等量代换就可以得出 ； ②如图6 过点 作 ，利用平行线的传递性可知 ，根据平行线的性质可知 ， ，根据等量代换就可以得出 ． （1） 解：如图4 所示：过点 作 ， ∵ ∴ ∴ ， ， ∵ ， ∴ ； （2） 解：①如图5 过点 作 ， ∵ ∴ ∴ ， ， ∵ ， ∴ ； ②如图6 过点 作 ， ∵ ∴ ∴ ， ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找 到对应的内错角是解决本题的关键． 2．如图： (1)如图1， ， ， ，直接写出 的度数． (2)如图2， ，点 为直线 ， 间的一点， 平分 ， 平分 ，写出 与 之间 的关系并说明理由． (3)如图3， 与 相交于点 ，点 为 内一点， 平分 ， 平分 ，若 ， ，直接写出 的度数． 【答】(1)∠BED=66°； (2)∠BED=2∠F，见解析； (3)∠BED 的度数为130°． 【分析】（1）首先作EF∥B，根据直线B∥D，可得EF∥D，所以∠BE= 1=45° ∠ ，∠DE= 2=21° ∠ ，据此推得 ∠BED= 1+ 2=66° ∠ ∠ ； （2）首先作EG∥B，延长DE 交BF 于点，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED=2∠F； （3）延长DF 交B 于点，延长GE 到，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED 的度数为 130°． （1） 解：（1）如图，作EF∥B， ， ∵直线B∥D， ∴EF∥D， ∴∠BE= 1=45° ∠ ，∠DE= 2=21° ∠ ， ∴∠BED= 1+ 2=66° ∠ ∠ ； （2） 解：∠BED=2∠F， 理由是：过点E 作EG∥B，延长DE 交BF 于点， ∵B∥D，∴B∥D∥EG， ∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4， 又∵BF 平分∠BE，DF 平分∠DE， ∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3， ∴∠BED=2(∠2+∠3) ， 又∠F+∠3=∠BD，∠BD+∠2=∠BED， ∴∠3+∠2+∠F=∠BED， 综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F； （3） 解：延长DF 交B 于点，延长GE 到， ∵∠BGD=60°， ∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+ 3= ∠ ∠2+∠1+60°=95°， ∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°， ∵BF 平分∠BE，DF 平分∠DE， ∴∠BE=2∠2，∠DE=2 1 ∠， ∴∠BE=∠BE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DE=∠DE+∠DGE=2 1 ∠+∠DGE， ∴∠BED=∠BE+∠DE=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°， ∴∠BED 的度数为130°． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定和性质，正确添加辅助 线是解题关键．