模型05 相交线与平行线——锯齿模型-解析版

相交线与平行线 模型（五）——锯齿模型 ◎结论 如图所示，B∥EF，则∠B＋∠D=∠十∠E 朝向左边的角的和=朝向右边的角的和 【证明】如图，过点作M//B，过点D 作PQ//B ∵B//EF, ∴B//M// PQ//EF ∴∠B=∠B,∠DP=∠D,∠PDE=∠E, ∴∠B＋∠DP＋∠PDE=∠B+∠D+∠E， ∴B+∠DE=∠BD＋∠E，得证 锯齿模型的变换解题思路 拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2 个猪蹄模型 1．（2022·贵州六盘水·七年级期中）如图所示，若B EF ∥ ，用含 、 、 的式子表示，应为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ，推出B D M EF ∥∥ ∥ ，根据平行线的性质得出 + BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ，∠MF= ，求出∠BD=180°- ，∠DM= M= ∠ - ，即可得出答． 【详解】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ， B∥ EF ∥ ， B D M∥ EF ∥∥∥ ， ∴ + BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ，∠MF= ， BD=180°- ∴∠ ，∠DM= M= ∠ - ， ∴= BD+ DM= ∠ ∠ ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 2．（2022·山东济宁·七年级阶段练习）如图所示，如果 B D ∥ ，则∠α、∠β、∠γ 之间的关系为（ ） ．∠α+ β+ γ ∠ ∠＝180° B．∠α－∠β+ γ ∠＝180° ．∠α+ β ∠－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[ 【答】 【分析】过E 作EF B ∥，由平行线的质可得EF D ∥，∠α+ EF=180° ∠ ，∠FED= γ ∠，由∠β= EF+ FED ∠ ∠ 即可得∠α、 ∠β、∠γ 之间的关系． 【详解】解：过点E 作EF B ∥， α+ EF=180° ∴∠ ∠ （两直线平行，同旁内角互补）， B D ∵∥， EF D ∴ ∥， FED= ED ∴∠ ∠ （两直线平行，内错角相等）， β= EF+ FED ∵∠ ∠ ∠ ， 又∵∠γ= ED ∠ ， α+ β- γ=180° ∴∠ ∠ ∠ ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 3．（2021·全国·七年级专题练习）如图,B EF, D=90°, ∠ 则 , , 的大小关系是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】通过作辅助线,过点和点D 作G B,D B,可得G D B,根据B EF,可得B EF G D,再根据平行线的性 质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论． 【详解】解：如图,过点和点D 作G B,D B, G ∵ B,D B, G ∴ D B, B ∵ EF, B ∴ EF G D, G ∵ B, BG=α, ∴∠ GD= BD- BG=β-α, ∴∠ ∠ ∠ G ∵ D, D= GD=β-α, ∴∠ ∠ D ∵ EF, DE=γ, ∴∠ ED= DE+ D=90°, ∵∠ ∠ ∠ γ+β-α=90°, ∴ β=α+90°-γ ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质． 1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，B∥DE，∠=30°，∠E=110°，则 ∠E 的度数为（ ） ．30° B．150° ．120° D．100° 【答】D 【详解】过作Q∥B， ∵B∥DE， ∴B∥DE∥Q， =30° ∵∠ ， = ∴∠∠Q=30°，∠E+∠EQ=180°， ∵∠E=110°， ∴∠EQ=110°−30°=80°， ∴∠E=180°−80°=100°， 故选D 2．（2022·全国·七年级）如图，如果B∥EF，EF∥D，则∠1，∠2，∠3 的关系式__________． 【答】∠2+ 3 1=180° ∠ ∠ ﹣ 【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可． 【详解】解：∵B∥EF，EF∥D， 2+ ∴∠ ∠BE=180°，∠3+∠F=180°， 2+ 3+ ∴∠ ∠ ∠BE+∠F=360°， ∵∠BE+∠F+ 1=180° ∠ ， ∴∠BE+∠F=180° 1 ﹣∠， 2+ 3+ ∴∠ ∠ （180° 1 ﹣∠）=360°， 即∠2+ 3 1=180° ∠ ∠ ﹣ ． 故答为：∠2+ 3 1=180° ∠ ∠ ﹣ ． 【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 3．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，B∥D，∠E＝37°，∠＝ 20°，则∠EB 的度数为__________． 【答】57° 【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直 线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可． 【详解】解：设E、D 交于点F， ∵∠E＝37°，∠＝ 20°， ∴∠FE=180°-37°-20°=123°， ∴∠FD=123°， ∵B∥D， ∴∠FD+∠EB=180°， ∴∠EB=180°-123°=57°， 故答为：57°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键． 1．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学一模）如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点、B、在同一 直线上，则∠1 的度数为（ ） ．100° B．120° ．75° D．150° 【答】 【分析】过点作M//l1，则l1//l2//M，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】解：如图，过点作M∥l1， ∵l1//l2， ∴l1//l2//M， 1+ ∴∠ ∠EM＝180°，∠2＝∠M， 2 ∵∠＝180° 45° ﹣ ＝135°， ∴∠M＝135°， ∴∠EM＝135° 30° ﹣ ＝105°， 1 ∴∠＝180° 105° ﹣ ＝75°， 故选：． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同旁内角互补、两直线平行，同位角相等是解题的关键． 2．（2022·江苏盐城·一模）如图，已知B DF，DE 和分别平分∠DF 和∠BE，若∠DE＝46°，∠D＝56°，则∠DF 的 度数为（ ） ．42° B．43° ．44° D．45° 【答】 【分析】过点作 B，过点E 作EM B，根据平行线的性质及角平分线的特点得到角度的数量关系56°＝ ∠B+2∠FDE，46°＝∠FDE+2∠B，从而求出∠FDE＝22°，故可得到∠DF 的度数． 【详解】解：过点作 B，过点E 作EM B， ∵FD B， B，EM B， ∴B EM FD ∴∠B＝∠，∠D＝∠FD，∠FDE＝∠DEM，∠ME＝∠EB． ∴∠DE＝∠FDE+∠EB， ∠D＝∠B+∠FD． 又∵DE 和分别平分∠DF 和∠BE， ∴∠FD＝2∠FDE＝2∠ED，∠BE＝2∠B＝2∠E 56° ∴ ＝∠B+2∠FDE①， 46°＝∠FDE+2∠B②． + ①②，得3（∠B+∠FDE）＝102°， ∴∠B+∠FDE＝34°③． ①﹣③，得∠FDE＝22°． ∴∠DF＝2∠FDE＝44°． 故选：． 【点睛】此题主要考查平行线间的角度求解，解题的关键是熟知平行线与角平分线的性质． 故答是：（-1）180 °． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键．