重难点突破01 规律探究与新定义型问题（2类型+10题型）（解析版）

重难点01 规律探究与新定义型问题 目 录 类型一 数式规律 题型01 记数类规律 题型02 乘方类规律 题型03 表格类规律 题型04 数阵类规律 题型05 个位数字规律 题型06 新定义运算规律 类型二 图形规律 题型01 图形固定累加型 题型02 图形渐变累加型 题型03 图形个数分区域累加 题型04 图形循环规律 类型一 数式规律 方法总结： 一、数字规律探索 1）当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列、正整数数列或 经过平方、平方加1 或减1 等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现 还是只出现一种符号，如果是交替出现的可用(-1)或(-1)-1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结 合起来从而得到结果 2)当数字是分数和整数结合的时候，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的数 字规律(其方法同1))，从而得出分子和分母的规律，最后得到该组第项的规律 二、数阵规律探索 此类题目中的数据与有序数对是对应的，设问方式有已知有序数对求数值和表示某个数值的有序数对，本 质上讲，这两种方式是相同的此类型题的解决方法有： 1）分析数阵中的数字排列方式: ①每行的个数;②每列的个数;③相邻数据的变化特点，并且观察是否某一 行或者某一列数据具有某些特别的性质 (如完全平方数，正整数)等; 2）找出该行或列上的数字与其所在的行数或列数的关系; 3）使用1）中找出的具有特殊性质的数字，根据2）中的性质定位，求得答 三、等式规律探索 1）标序数; 2）对比式子与序数，即分别比较等式中各部分与序数 (1，2，3，4，，)之间的关系，把其蕴含的规律用 含序数的式子表示出来通常方法是将式子进行拆分观察式子中数字与序数是否存在倍数或者乘方的关系 3）根据找出的规律得出第个等式，并进行检验 题型01 记数类规律 【例1】（2023 岳阳市二模）按一定规律排列的一列数依次是2 3、1、8 7 、11 9 、14 11、17 13 …按此规律，这列 数中第100 个数是( ) ．299 199 B．299 201 ．301 201 D．303 203 【答】B 【分析】观察发现，是不变的，变的是数字，不难发现数字的规律，代入具体的数就可求解． 【详解】解：由2 3、1、8 7 、11 9 、14 11、17 13 ……可得第个数为3n−1 2n+1 ． =100 ∵ ， ∴第100 个数为：299 201 故选B． 【点睛】本题考查学生的观察和推理能力，通过观察发现数字之间的联系，找出一般的规律，解决具体的 问题；关键是找出一般的规律． 【变式1-1】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）观察下列各式：a1=1，a2=2 5，a3= 1 4 ，…， 它们按一定规律排列，第个数记为an，且满足则1 an + 1 an+2 = 2 an+1 ，则a2023= 【答】 1 3034 【分析】由题意可得an= 2 3 (n−1)+2，即可求解． 【详解】解：由题意可得：a1=1，a2=2 5，a3= 1 4 ， ∵1 a2 + 1 a4 = 2 a3 ， ∴1 2 5 + 1 a4 = 2 1 4 ，即5 2 + 1 a4 =8， ∴a4= 2 11， ∵1 a3 + 1 a5 = 2 a4 ， ∴1 1 4 + 1 a5 = 2 2 11 ，即4+ 1 a5 =11， ∴a5=1 7 ， 同理可求a6= 2 17， ∴a1=2 2 ,a2=2 5 ,a3=2 8 ,a4= 2 11 ,a5= 2 14 ,a6= 2 17，… ∴an= 2 3 (n−1)+2， ∴a2023= 2 3 (2023−1)+2= 2 6068= 1 3034 ， 故答为： 1 3034 ． 【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键． 【变式1-2】（2022·河北保定·统考模拟预测）有一列数1，x2，7，x4，x5，…，xn，从第二个数开始， 每个数等于与它相邻的两个数的平均数． （1）则x6为 ； （2）若xm=52，则m=¿ ． 【答】 16 18 【分析】（1）根据从第二个数开始，每个数等于与它相邻的两个数的平均数直接计算即可； （2）根据（1）中计算的前几个数找到规律xn=3n−2，根据xm=52列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵从第二个数开始，每个数等于与它相邻的两个数的平均数， ∴x2=1 2 (1+7)=4， ∴7=1 2 ( x2+x4)=1 2 (4+x4)，解得x4=10， ∴x4=1 2 (7+x5)，即10=1 2 (7+x5)，解得x5=13， ∴x5=1 2 ( x4+x6)，即13=1 2 (10+x6)，解得x6=16， 故答为：16； （2）解：根据前面几项x1=1, x2=4 , x3=7 , x4=10, x5=13, x6=16,⋯，可知规律为xn=3n−2， ∴xm=3m−2=52，即3m=54，解得m=18， 故答为：18． 【点睛】本题考查有理数计算及数字规律的寻找，准确理解题意，并根据计算的数据找到规律是解决问题 的关键． 【变式1-3】（2023 六安市模拟）判断下面各式是否成立 （1）❑ √2 2 3=2❑ √ 2 3 （2）❑ √3 3 8=3 ❑ √ 3 8 （3）❑ √4 4 15=4 ❑ √ 4 15 探究：①你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：❑ √5 5 24 =¿¿ ②用含有的代数式将规律表示出来，说明的取值范围，并给出证明 【答】都正确①5 ❑ √ 5 24 ②❑ √ n+ n n 2−1 =n ❑ √ n n 2−1 (n≥2)，证明见解析． 【分析】（1）①利用已知即可得出命题正确，同理即可得出其他正确性，猜想可得出❑ √5 5 24 =5 ❑ √ 5 24 ； ②利用①的方法，可以得出规律，并加以证明即可． 【详解】解：①上面三题都正确， ❑ √2 2 3=2❑ √ 2 3 ， ❑ √2 2 3 =❑ √ 8 3 =2❑ √ 2 3 ； ❑ √3 3 8=3 ❑ √ 3 8 ， ❑ √3 3 8 =❑ √ 27 8 =3 ❑ √ 3 8 ； ❑ √4 4 15=4 ❑ √ 4 15 ， ❑ √4 4 15 =❑ √ 64 15 =4 ❑ √ 4 15 ； ∴❑ √5 5 24 =5 ❑ √ 5 24 ； ②上面规律：❑ √ n+ n n 2−1 =n ❑ √ n n 2−1 (n≥2)， 证明：❑ √ n+ n n 2−1 =❑ √ n 3 n 2−1 =n ❑ √ n n 2−1 【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键． 【变式1-4】（2023·安徽六安·统考模拟预测）观察下列等式： 第1 个等式：1+1+ 1 2−1 2=2 第2 个等式：2+ 1 3 + 1 4 −1 12=5 2 第3 个等式：3+ 1 5 + 1 6−1 30=10 3 第4 个等式：4+ 1 7 + 1 8−1 56=17 4 …， 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5 个等式：__________； (2)写出你猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 【答】(1)5+ 1 9 + 1 10−1 90=26 5 ； (2)n+ 1 2n−1 + 1 2n− 1 2n(2n−1)=n 2+1 n ，证明见解析． 【分析】将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母比第二个分母 小1，第三个分母是前两个分母的乘积，等式的右边分母是序数，分子是分母的平方再加1 【详解】（1）第5 个等式为：5+ 1 9 + 1 10−1 90=26 5 ， 故答为：5+ 1 9 + 1 10−1 90=26 5 ． （2）猜想第个等式为：n+ 1 2n−1 + 1 2n− 1 2n(2n−1)=n 2+1 n ． 证明：∵左边=n+ 1 2n−1 + 1 2n− 1 2n(2n−1) ¿n+ 2n+(2n−1)−1 2n(2n−1) ¿n+ 4 n−2 2n(2n−1) ¿n+ 2(2n−1) 2n(2n−1) ¿n+ 1 n ¿ n 2+1 n ， 右边¿ n 2+1 n ， 左边=右边， ∴等式成立． 故答为：n+ 1 2n−1 + 1 2n− 1 2n(2n−1)=n 2+1 n ． 【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，以及分式的加减法，根据等式中各数字的变化找出变化规律 是解题的关键． 【变式1-5】（2023·安徽宣城·校联考一模）先观察下列各式： ❑ √1=1； ❑ √1+3=❑ √4=2； ❑ √1+3+5=❑ √9=3； ❑ √1+3+5+7=❑ √16=4 (1)计算：❑ √1+3+5+7+9 ； (2)已知为正整数，通过观察并归纳， 请写出： ❑ √1+3+5+7+9+11+...+(2n−1)＝ ； (3)应用上述结论，请计算❑ √4+12+20+28+36+44+...+204的值． 【答】(1)6 (2) (3)52 【分析】（1）先求出1+3+5+7+9的值，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）观察可知左边根式里面都是奇数，等式右边的结果是等式左边根号里面最后一个数加1 后的一半，据 此规律求解即可； （3）把根号里面的数字提取公因数4，然后根据（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：❑ √1+3+5+7+9=❑ √25=5， 故答为：5 （2）解：∵❑ √1=1， ❑ √1+3=❑ √4=2， ❑ √1+3+5=❑ √9=3， ❑ √1+3+5+7=❑ √16=4 …… ∴可以发现规律❑ √1+3+5+7+9+11+...+(2n−1)=n （3）解：❑ √4+12+20+28+36+44+........+204 ¿ ❑ √4× (1+3+5+7+9+……+51) ¿ ❑ √4×[1+3+5+7+9+……+(2×26−1)] ¿ ❑ √4×26 2 ¿52． 【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 题型02 乘方类规律 【例2】（2023·四川成都·校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式：x、−2 x 2、4 x 3、−8 x 4、 16 x 5、…，根据其中的规律得出的第9 个单项式是（ ） ．−256 x 9 B．256 x 9 ．−512 x 9 D．512 x 9 【答】B 【分析】根据已知的式子可以得到系数是以−2为底的幂，指数是式子的序号减1，x 的指数是式子的序号． 【详解】解：第9 个单项式是(−2) 9−1 x 9=256 x 9． 故选：B． 【点睛】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键． 【变式2-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）为了求1+2+2 2+⋯+2 2023的值，可令S=1+2+2 2+⋯+2 2023， 则2S=2+2 2+2 3+⋯+2 2024，因此2S−S=2 2024−1，所以1+2+2 2+⋯+2 2023=2 2024−1，仿照以上推理计 算出1+3+3 2+⋯+3 2023的值是（ ） ．1−3 2024 2 B．3−3 2024 2 ．3 2024−1 2 D．3 −2024−3 2 【答】 【分析】令S=1+3+3 2+⋯+3 2023，则3 S=3+3 2+3 3+⋯+3 2024，再将第二个等式与第一个等式左右两边 相减求出3 S−S的值即可求解． 【详解】解：令S=1+3+3 2+⋯+3 2023①， ∴3 S=3+3 2+3 3+⋯+3 2024②， ②减①，得：3 S−S=3 2024−1， ∴S=3 2024−1 2 ， 即1+3+3 2+⋯+3 2023=3 2024−1 2 ． 故选：． 【点睛】本题考查数字的变化类，有理数的混合运算，找到变化规律是解题的关键． 【变式2-2】（2022 随州市一模）我们知道，一元二次方程x2=﹣1 没有实数根，即不存在一个实数的平方 等于﹣1，若我们规定一个新数，使其满足2=﹣1（即x2=﹣1 方程有一个根为），并且进一步规定：一切实 数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有1=，2=﹣1，3=2•=（﹣1）•，4=（2）2= （﹣1）2=1，从而对任意正整数，我们可得到4+1=4•=（4）•，同理可得4+2=﹣1，4+3=﹣，4=1，那么， +2+3+4+…+2016+2017的值为（ ） ．0 B．1 ．﹣1 D． 【答】D 【详解】试题解析：由题意得，1=，2=-1，3=2•=（-1）•=-，4=（2）2=（-1）2=1，5=4•=，6=5•=-1 故可发现4 次一循环，一个循环内的和为0 ∵2017 4 =504…1 ∴+2+3+4+…+2013+2017= 故选：D 【变式2-3】（2022·广西梧州·统考一模）找规律数：0，6，16，30，48，…，则第n个为 （用含的代 数式表示）． 【答】2(n 2−1) 【分析】现将这列数除以2，再利用平方差公式寻找规律即可求解 【详解】解：将原数列，每个数除以2，得到新数列，为：0，3，8，15，24，…， 可以发现： 0=1-1=1 2−1， 3=4-1=2 2−1， 8=9-1=3 2−1， 15=16-1=4 2−1， 24=25-1=5 2−1， ．．． 依次类推，可知新数列的第个数为：n 2−1， 则原数列的第个数为：2(n 2−1)， 故答为：2(n 2−1)． 【点睛】此题考查了数字的变化规律，根据数字的特点，运用平方差公式找到数字的规律是解答本题的关 键． 【变式2-4】观察等式：1=1=1 2，1+3=4=2 2，1+3+5=9=3 2，1+3+5+7=16=4 2，……猜想 1+3+5+7+⋅⋅⋅+2019=¿ 【答】10102 【分析】观察给出的等式得到：从1 开始的连续2 个奇数和是22，连续3 个奇数和是32，连续4 个，5 个奇 数和分别为42，52…根据规律即可猜想从1 开始的连续个奇数的和，据此可解 【详解】解：∵从1 开始的连续2 个奇数和是22，连续3 个奇数和是32，连续4 个，5 个奇数和分别为42， 52…； ∴从1 开始的连续个奇数的和：1+3+5+7+…+（2-1）=2； ∴2-1=2019； ∴=1010； ∴1+3+5+7…+2019=10102； 故答是：10102 【点睛】此题主要考查学生对规律型题的掌握，关键是要对给出的等式进行仔细观察分析，发现规律，根 据规律解题． 题型03 表格类规律 解题技巧：表格找规律其实是在数学的学习当中一项比较常见的类型，以日历的表格为基础而展开的规律 选择最为常见这类提醒我们要以其中一个数字为中心，上下左右的数字变化以及大小来展开，比如在日历 的表格当中上下相差7，左右相差一，那么将中心的数字看作是字母，则左边为-1，右边为+1，上边 为-7，下边为+7 所以当我们没有关于表格规律的解题思路时，将以此为基础来进行观察，虽然其规律有 所不同，但是其思路是相通的，方法也可以类比进行推论 【例3】（2020·山西临汾·校联考模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图 是2019 年1 月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后， 相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11−3×17=48，13×15−7×21=48．不难发现，结果都 是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5 个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5 个数的最大 数； （3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5 个数字，其中最小数与最大数的积是120．直接判断他的 说法是否正确．（不必叙述理由） 【答】（1）见解析；（2）29；（3）他的说法不正确 【分析】（1）设中间的数为，则另外4 个数分别为（−7），（−1），（＋1），（＋7），利用（−1） （＋1）−（−7）（＋7）＝48 可证出结论； （2）设这5 个数中最大数为x，则最小数为（x−14），根据两数之积为435，可得出关于x 的一元二次方 程，解之取其正值即可得出结论； （3）设这5 个数中最大数为y，则最小数为（y−14），根据两数之积为120，可得出关于y 的一元二次方 程，解之取其正值，由该值在第一列可得出小明的说法不正确． 【详解】（1）证明：设中间的数为a， ∴(a−1) (a+1)−(a−7) (a+7)=a 2−1−(a 2−49) ¿a 2−1−a 2+49=48． （2）解：设这五个数中最大数为x， 由题意，得x (x−14 )=435， 解方程，得x1=29，x2=−15（不合题意，舍去）． 答：这5 个数中最大的数是29． （3）他的说法不正确． 解：设这5 个数中最大数为y，则最小数为（y−14）， 依题意，得：y（y−14）＝120， 解得：y1＝20，y2＝−6（不合题意，舍去）． ∵20 在第一列， ∴不符合题意， ∴小明的说法不正确． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及菱形的性质，以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正 确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式3-1】观察表格，回答问题： … 00001 001 1 10 0 10000 … ❑ √a … 001 x 1 y 100 … (1)表格中x=¿________，y=¿________； (2)从表格中探究与❑ √a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知❑ √10≈3.16，则❑ √1000≈________； ②已知❑ √m=8.973，若❑ √b=897.3，用含m 的代数式表示b，则b=¿________； (3)试比较❑ √a与的大小． 当________时，❑ √a>a；当________时，❑ √a=a；当________时，❑ √a<a． 【答】(1)01；10； (2)①316；②10000m； (3)0<a<1，a=1或0，a>1． 【分析】（1）由表格得出规律，求出