专题25.1 概率【十一大题型】（解析版）

专题251 概率【十一大题型】 【人版】 【题型1 事件的判断】............................................................................................................................................. 1 【题型2 概率公式的计算】.....................................................................................................................................3 【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】..................................................................................................6 【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】..................................................................................................8 【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】................................................................................11 【题型6 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】....................................................................................13 【题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】...............................................................................................15 【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】...............................................................................................18 【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】........................................................................................20 【题型10 利用频率估计概率】..............................................................................................................................23 【题型11 统计概率综合】......................................................................................................................................26 【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】 在一定条件下，有些事件必然会发生，这样得事件称为必然事件；相反地，有些事件 必然不会发生，这样得事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生得 事件称为随机事件。 必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定得，所以它们统称为确定性事件。 【题型1 事件的判断】 【例1】（2022 秋•安次区校级月考）下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的 可能性都相等的是（ ） ．一个密封的纸箱里有7 个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能 性 B．在80 个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可 能性 ．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1 6 ﹣点数朝上的可能性 D．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性 【分析】利用随机事件发生的可能性是否一样对各选项进行判断． 【解答】解：、一个密封的纸箱里有7 个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，因为 其他性质不一定相同，所以摸出每个球的可能性不一定相同，不符合题意． B、在80 个相同的零件中，只是种类相同，没有什么其他性质相同，所以取出每件产品 1 的质量可能性不一定相同．不符合题意． 、一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1 6 ﹣点数朝上的可能性相同，这个事件满足是随 机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等，符合题意 D、小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性不一定相同， 因为每种灯的时间可能不同，不符合题意． 故选：． 【变式1-1】（2022 秋•安次区校级月考）下列说法中，正确的是（ ） ．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生 B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件 ．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生 D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生 【分析】根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然不发生，故本选 项错误； B、生活中，如果一个事件可能发生，那么它是随机事件，故本选项错误； 、生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生，故本选项正确； D、生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就可能发生也可能不发生，故本选项 错误． 故选：． 【变式1-2】（2022•武昌区模拟）下列事件中，一定是不可能事件的是（ ） ．掷一次骰子，向上一面的数字是3 B．通常温度降到0℃以下，纯净水结冰 ．度量一个三角形的内角的度数，其和为360° D．某次抽奖活动中奖的概率为1 100，小明买100 张奖券，可能会中奖 【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小． 【解答】解：、掷一次骰子，向上一面的数字是3，是可能事件； B、通常温度降到0℃以下，纯净水结冰，是必然事件； 、度量一个三角形的内角的度数，其和为360°，是不可能事件； D、某次抽奖活动中奖的概率为1 100，小明买100 张奖券，可能会中奖，是可能事件． 故选：． 【变式1-3】（2022•兰考县二模）下列说法正确的是（ ） ．“任意画一个矩形是轴对称图形”是不可能事件 1 B．“一名射击运动员射击一次正中靶心”是必然事件 ．“明天会下雨”是随机事件 D．“两个整数的和一定大于0”是必然事件 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【解答】解：、“任意画一个矩形是轴对称图形”是必然事件，故不符合题意； B、“一名射击运动员射击一次正中靶心”是随机事件，故B 不符合题意； 、“明天会下雨”是随机事件，故符合题意； D、“两个整数的和一定大于0”是随机事件，故D 不符合题意； 故选：． 【知识点2 概率】 一般地，对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小得数值，称为随机事件发 生得概率，记作P（）。 一般地，如果在一次试验中，有种可能得结果，并且它们发生得可能性都相等，事件 包含其中得m 种结果，那么事件发生得概率P（）= 。由m 与得含义可知0≤m≤，因此 0≤ ≤1，因此0≤P（）≤1、 当为必然事件时，P（）=1；当为不可能事件时，P（）=0、 【题型2 概率公式的计算】 【例2】（2022•花溪区模拟）如图，在方格纸中，以B 为一边作△BP，使之与△B 全等，则 P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P 的概率是（ ） ．1 4 B．1 2 ．3 4 D．1 【分析】找到符合条件的点P 的个数，再根据概率公式计算可得． 【解答】解：要使△BP 与△B 全等，点P 的位置可以是P1，P2两个， ∴从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P 的概率是2 4 =1 2， 故选：B． 1 【变式2-1】（2022•成都模拟）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4 的不透明卡片， 它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上 的数记为，则使关于x 的方程x 1 3 ﹣﹣（x+1）＝﹣3x 的解是正整数的概率 2 5 ． 【分析】将原方程整理可得x＝4，从而得出当＝1、4 时，方程的解为正整数，再根据 概率公示拟求解可得． 【解答】解：将原方程整理可得x＝4， ∴当＝1、4 时，方程的解为正整数， ∴使关于x 的方程x 1 3 ﹣﹣（x+1）＝﹣3x 的解是正整数的概率为2 5， 故答为：2 5． 【变式2-2】（2022 春•肇东市期末）掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求 下列事件的概率： （1）点数为2； （2）点数为奇数； （3）点数大于2 且小于6． 【分析】根据概率的求法，找准两点： 1、全部情况的总数； 2、符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【解答】解：（1）P（点数为2）¿ 1 6； （2）点数为奇数的有3 种可能，即点数为1，3，5，则P（点数为奇数）¿ 3 6 =1 2； （3）点数大于2 且小于6 的有3 种可能，即点数为3，4，5， 则P（点数大于2 且小于6）¿ 3 6=1 2． 【变式2-3】（2022•文山州模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得 到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5 个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其 它都一样的5 个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如 果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼 睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下 这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是（ ） ．1 2 B．2 3 ．3 5 D．13 18 1 【分析】可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样，他选 择只有一个白球的碗的概率是1 2，如果他选择错了碗，将还有4 9 的概率从另一个碗里摸 到白球，从而使自己获得自由的概率最大． 【解答】解：可以先将所有的球放入一个碗，再拿出一个白球放在另一个碗里．这样， 他若选择只有一个白球的碗获得自由的概率1，如果他选择错了碗，从另一个碗里摸到 白球的概率是4 9 ，从而所以获得自由的概率最大是1 2 (1+ 4 9 )=13 18． 故选：D． 【知识点3 用列表法求概率】 当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能 得结果，通常用列表法。 列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，以及某一事件发生 得可能得次数与方式，并求出概率得方法。 【知识点4 用树状图求概率】 当一次试验要涉及3 个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可 能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并 求出概率得方法。 （1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。 （2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。 【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 【例3】（2022•兰考县二模）现有、B 两个不透明的盒子，盒里有两张卡片，分别标有数 字1、2，B 盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同， 将卡片充分摇匀．从盒、B 盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字 之和大于5 的概率为（ ） ．5 6 B．1 2 ．1 3 D．1 6 【分析】画出树状图，共有6 种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和 大于5 的有3 种情况，再由概率公式即可求得答． 【解答】解：画树状图如下： 1 共有6 种等可能的结果，其中抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5 的有3 种情况， ∴两次抽取的卡片上数字之和大于5 的概率为3 6=1 2， 故选：B． 【变式3-1】（2022•肇东市校级一模）现有三张正面分别标有数字﹣1，2，3 的不透明卡 片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后 放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为 m，，则点P（m，）在第二象限的概率为（ ） ．1 2 B．1 3 ．2 3 D．2 9 【分析】画树状图展示所有9 种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点 P（m，）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有9 种等可能的结果数，其中点P（m，）在第二象限的结果数为2， 所以点P（m，）在第二象限的概率¿ 2 9； 故选：D． 【变式3-2】（2022•宁夏）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香 山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看 哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上， 甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 1 4 ． 【分析】画树状图，共有16 种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果 有4 种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的 四张卡片分别记为、B、、D， 画树状图如下： 1 共有16 种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4 种， ∴甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为4 16= 1 4 ， 故答为：1 4 ． 【变式3-3】（2022•新野县一模）现有四张完全相同的卡片，在正面分别标有数字0，﹣ 9，﹣3，8，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字的 积恰好是0 的概率是（ ） ．7 12 B．1 3 ．1 2 D．1 6 【分析】画树状图，共有12 种等可能的结果，其中这两张卡片上的数字的积恰好是0 的结果有6 种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有12 种等可能的结果，其中这两张卡片上的数字的积恰好是0 的结果有6 种， ∴这两张卡片上的数字的积恰好是0 的概率是6 12=1 2， 故选：． 【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 【例2】（2022•海港区模拟）如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指 针都不落在“1”区域的概率是（ ） ．3 4 B．1 4 ．3 8 D．1 8 【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，再从中找出两个转盘的指针都不落在 1 “1”区域的结果情况，进而求出相应的概率． 【解答】解：用列表法表示所有空白出现的结果情况如下： 共有8 种能可能出现的结果，其中两个转盘的指针都不落在“1”区域的有3 种， 所以两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率为3 8， 故选：． 【变式4-1】（2022•安徽模拟）如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在 分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“Ⅲ” 所示区域内的概率是（ ） ．1 9 B．1 6 ．1 4 D．1 3 【分析】画树状图，共有16 种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区 域内的结果有4 种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：如图，把分隔线上方的两个扇形记为、B，下方的半圆分成两个小扇形记 为、D， 画树状图如下： 1 共有16 种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的结果有4 种， ∴两次转动指针都落在数字“Ⅲ”所示区域内的概率为4 16 = 1 4 ， 故选：． 【变式4-2】（2022•盐城校级模拟）如图所示，可以自由转动的转盘被3 等分，指针落在 每个扇形内的机会均等． （1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向2 的概率为 1 3 ； （2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？ 请用列表或画树状图的方法说明理由． 游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若两数之积为偶数，则 小明胜；否则小华胜． 【分析】（1）三个等可能的情况中出现3 的情况有一种，求出概率即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜的概率，比较即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：随机转动转盘一次，停止后，指针指向3 的概率为1 3； 故答为：1 3； （2）列表得： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 所有等可能的情况有9 种，其中两数之积为偶数的情况有5 种，之积为奇数的情况有4 种， 1 ∴P（小明获胜）¿ 5 9，P（小华获胜）¿ 4 9 ， ∵5 9 ＞4 9 ， ∴该游戏不公平． 【变式4-3】（2022•沈河区一模）如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相 等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上， 那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止． （1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是 1 2 ． （2）请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5 的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能解果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即 可． 【解答】解：（1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是2 4 =1 2， 故答为：1 2； （2）列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 由表知，共有12 种等可能结果，其中转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5 的 有3 种结果， ∴转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5 的概率为3 12= 1 4 ． 【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 【例5】（2022•武汉模拟）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号 分别为1，2，3，4 的四个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球， 1 记下标号．若两个小球的标号之积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数， 则乙获胜．乙获胜的概率是（ ） ．1 12 B．1 6 ．1 2 D．5 6 【分析】画树状图，共有12 种等可能的结果数，其中两个小球的标号之积为偶数的结 果有10 种，再