专题25.1 概率【十一大题型】（原卷版）

1 （北京）股份有限公司 专题251 概率【十一大题型】 【人版】 【题型1 事件的判断】............................................................................................................................................. 1 【题型2 概率公式的计算】.....................................................................................................................................2 【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】..................................................................................................4 【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】..................................................................................................4 【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】..................................................................................6 【题型6 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】......................................................................................6 【题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】..................................................................................................7 【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】..................................................................................................8 【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】..........................................................................................8 【题型10 利用频率估计概率】................................................................................................................................9 【题型11 统计概率综合】......................................................................................................................................11 【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】 在一定条件下，有些事件必然会发生，这样得事件称为必然事件；相反地，有些事件 必然不会发生，这样得事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生得 事件称为随机事件。 必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定得，所以它们统称为确定性事件。 【题型1 事件的判断】 【例1】（2022 秋•安次区校级月考）下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的 可能性都相等的是（ ） ．一个密封的纸箱里有7 个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能 性 B．在80 个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可 能性 ．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1 6 ﹣点数朝上的可能性 D．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性 【变式1-1】（2022 秋•安次区校级月考）下列说法中，正确的是（ ） ．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生 B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件 ．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生 1 1 （北京）股份有限公司 D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生 【变式1-2】（2022•武昌区模拟）下列事件中，一定是不可能事件的是（ ） ．掷一次骰子，向上一面的数字是3 B．通常温度降到0℃以下，纯净水结冰 ．度量一个三角形的内角的度数，其和为360° D．某次抽奖活动中奖的概率为1 100，小明买100 张奖券，可能会中奖 【变式1-3】（2022•兰考县二模）下列说法正确的是（ ） ．“任意画一个矩形是轴对称图形”是不可能事件 B．“一名射击运动员射击一次正中靶心”是必然事件 ．“明天会下雨”是随机事件 D．“两个整数的和一定大于0”是必然事件 【知识点2 概率】 一般地，对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小得数值，称为随机事件发 生得概率，记作P（）。 一般地，如果在一次试验中，有种可能得结果，并且它们发生得可能性都相等，事件 包含其中得m 种结果，那么事件发生得概率P（）= 。由m 与得含义可知0≤m≤，因此 0≤ ≤1，因此0≤P（）≤1、 当为必然事件时，P（）=1；当为不可能事件时，P（）=0、 【题型2 概率公式的计算】 【例2】（2022•花溪区模拟）如图，在方格纸中，以B 为一边作△BP，使之与△B 全等，则 P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P 的概率是（ ） ．1 4 B．1 2 ．3 4 D．1 【变式2-1】（2022•成都模拟）有五张正面分别标有数﹣2，0，1，3，4 的不透明卡片， 它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上 1 1 （北京）股份有限公司 的数记为，则使关于x 的方程x 1 3 ﹣﹣（x+1）＝﹣3x 的解是正整数的概率 ． 【变式2-2】（2022 春•肇东市期末）掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求 下列事件的概率： （1）点数为2； （2）点数为奇数； （3）点数大于2 且小于6． 【变式2-3】（2022•文山州模拟）这是一个古老的传说，讲一个犯人利用概率来增加他得 到宽恕的机会．给他两个碗，一个里面装着5 个黑球，另一个里面装着除颜色不同外其 它都一样的5 个白球．把他的眼睛蒙着，然后要选择一个碗，并从里面拿出一个球，如 果他拿的是黑球就要继续关在监狱里面，如果他拿的是白球，就将获得自由．在蒙住眼 睛之前允许他把球混合，重新分装在两个碗内（两个碗球数可以不同）．你能设想一下 这个犯人怎么做，使得自己获得自由的机会最大？则犯人获得自由的最大机会是（ ） ．1 2 B．2 3 ．3 5 D．13 18 【知识点3 用列表法求概率】 当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能 得结果，通常用列表法。 列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，以及某一事件发生 得可能得次数与方式，并求出概率得方法。 【知识点4 用树状图求概率】 当一次试验要涉及3 个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可 能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并 求出概率得方法。 （1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。 （2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。 【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】 【例3】（2022•兰考县二模）现有、B 两个不透明的盒子，盒里有两张卡片，分别标有数 字1、2，B 盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同， 将卡片充分摇匀．从盒、B 盒里各随机抽取一张卡片，则抽到的两张卡片上标有的数字 之和大于5 的概率为（ ） ．5 6 B．1 2 ．1 3 D．1 6 1 1 （北京）股份有限公司 【变式3-1】（2022•肇东市校级一模）现有三张正面分别标有数字﹣1，2，3 的不透明卡 片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后 放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为 m，，则点P（m，）在第二象限的概率为（ ） ．1 2 B．1 3 ．2 3 D．2 9 【变式3-2】（2022•宁夏）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香 山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看 哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上， 甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ． 【变式3-3】（2022•新野县一模）现有四张完全相同的卡片，在正面分别标有数字0，﹣ 9，﹣3，8，把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字的 积恰好是0 的概率是（ ） ．7 12 B．1 3 ．1 2 D．1 6 【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】 【例4】（2022•海港区模拟）如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指 针都不落在“1”区域的概率是（ ） ．3 4 B．1 4 ．3 8 D．1 8 【变式4-1】（2022•安徽模拟）如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在 分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“Ⅲ” 所示区域内的概率是（ ） 1 1 （北京）股份有限公司 ．1 9 B．1 6 ．1 4 D．1 3 【变式4-2】（2022•盐城校级模拟）如图所示，可以自由转动的转盘被3 等分，指针落在 每个扇形内的机会均等． （1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向2 的概率为 ； （2）小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？ 请用列表或画树状图的方法说明理由． 游戏规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若两数之积为偶数，则 小明胜；否则小华胜． 【变式4-3】（2022•沈河区一模）如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相 等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上， 那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止． （1）转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是 ． （2）请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5 的概率． 【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】 【例3】（2022•武汉模拟）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号 分别为1，2，3，4 的四个小球（除标号外无其他差异）．从口袋中随机摸出两个小球， 记下标号．若两个小球的标号之积为奇数，则甲获胜；若两个小球的标号之积为偶数， 则乙获胜．乙获胜的概率是（ ） ．1 12 B．1 6 ．1 2 D．5 6 【变式5-1】（2022•沙坪坝区校级开学）不透明的袋子中装了2 个红球，1 个黑球，1 个白 球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2 个球，摸出1 个红球1 个黑球的 概率为 ． 【变式5-2】（2022 秋•中原区校级期末）将分别标有“郑”“州”“加”“油”汉字的四 1 1 （北京）股份有限公司 个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀 随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概 率是（ ） ．1 8 B．1 6 ．1 4 D．1 2 【变式5-3】（2022•泌阳县四模）一个袋子中装有除颜色外完全相同的6 个小球，其中有3 个小球是白色的，2 个小球是红色的，1 个小球是黑色的，那么不放回连续取出两个小 球都是白色的概率为（ ） ．1 5 B．1 4 ．1 3 D．1 2 【题型6 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】 【例6】（2022•同安区二模）小林和小华在进行摸球游戏．在不透明的袋子里有4 个分别 标有数字1、2、3、4 的小球，这些小球除数字外完全一样．小林先摸，将摸到的小球 数字记为m，然后将小球放回．再由小华摸球，小华摸到的小球数字记为．如果m，满 足|m |≤1 ﹣ ，就称小林、小华两人“心有灵犀”．则小林、小华两人“心有灵犀”的概率 是（ ） ．1 4 B．3 8 ．1 2 D．5 8 【变式6-1】（2022•宛城区一模）一只不透明的袋子中装有1 个红球和2 个白球，这些球 除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1 个球，记录下颜色后放回搅匀，再从中摸 出第2 个球．则两次摸出的球颜色相同的概率是（ ） ．5 9 B．4 9 ．1 3 D．1 9 【变式6-2】（2022•西工区模拟）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球 装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机 摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是 （ ） ．1 4 B．1 6 ．1 8 D．1 16 【变式6-3】（2022 春•郸城县校级月考）一个不透明的盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的 小球共4 个，它们除颜色外完全相同，其中红球有2 个，蓝球有1 个．小明从盒子里随 机摸出1 个小球，然后放回摇匀，再随机摸出1 个，则两次摸到的小球颜色为一红一蓝 的概率是（ ） ．1 6 B．1 5 ．1 4 D．1 3 1 1 （北京）股份有限公司 【题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】 【例7】（2022•武汉模拟）如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3和两个小灯泡L1，L2， 随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是（ ） ．1 2 B．1 4 ．2 3 D．1 3 【变式7-1】（2022•海勃湾区校级一模）如图，电路图上有4 个开关，B，，D 和1 个小灯 泡，同时闭合开关，B 或同时闭合开关，D 都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关， 小灯泡发光的概率为（ ） ．1 2 B．1 3 ．2 3 D．1 4 【变式7-2】（2022•烟台模拟）如图，电路图中，当随机闭合S1、S2、S3、S4、S5中的两个 开关时，能够让灯泡发光的概率为 ． 【变式7-3】（2022•商水县三模）如图电路中，随机闭合开关S1，S2，S3，S4中的两个，能 够点亮灯泡的概率为 ． 1 1 （北京）股份有限公司 【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】 【例8】（2022 秋•恩施市期末）从﹣2、﹣1、0 三个数中任取两个不同的数作为点的坐标， 则该点在坐标轴上的概率（ ） ．1 3 B．1 2 ．1 D．2 3 【变式8-1】（2022•常德）从1，2，3，4，5 这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率 为（ ） ．1 5 B．2 5 ．3 5 D．4 5 【变式8-2】（2022•港北区二模）从1、2、3 三个数中随机选取两个不同的数，分别记 为，，则关于x 的一元二次方程x2+4x+＝0 没有实数根的概率为（ ） ．1 2 B．1 3 ．1 4 D．1 5 【变式8-3】（2022 春•浦东新区校级期末）从3 至8 的6 个整数中随机抽取2 个不同的数， 则这2 个数互素的概率是 ． 【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】 【例9】（2022•武汉）班长邀请，B，，D 四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号 座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，B 两位同学座位相邻的概率是（ ） ．1 4 B．1 3 ．1 2 D．2 3 【变式9-1】（2022•海淀区二模）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西 乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听 古音”的音乐玩具，音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入 每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小球从处先后两次进入小洞，先发出“商” 音，再发出“羽”音的概率是（ ） 1 1 （北京）股份有限公司 ．1 25 B．1 10 ．1 5 D．2 5 【变式9-2】（2022•安庆模拟）某市中考体育项目有：中长跑（1000 米/男生、800 米/女 生）、坐位体前屈、立定跳远、一分钟跳绳、掷实心球、篮球运球、足球运球，其中中 长跑设定为必考项目，考生可以在余下六个项目中自主选择2 个不同的项目进行考试， 则恰好选中坐位体前屈和一分钟跳绳的概率是（ ） ．1 3 B．1 36 ．1 30 D．1 15 【变式9-3】（2022•青山区模拟）把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片都按同样 的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合均匀，从三堆图片中随机各抽 出一张，则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为（ ） ．1 27 B．2 27 ．1 9 D．1 3 【题型10 利用频率估计概率】 【例10】（2022 春•广陵区校级期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为 了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10 个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色， 再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统 计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数 63 247 365 484 606 摸到白球的频率n s 0420 0410 0412 0406 0403 b （1）按表格数据格式，表中的＝ ；b＝ ； （2）请估计：当次数s 很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到01）； （3）请推算：摸到红球的概率是 （精确到01）； （4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有 只． 【变式10-1】（2022 春•顺德区校级期末）小明做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验， 共做了100 次实验，实验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 1 1 （北京）股份有限公司 出现的次数 14 1