第34讲 概率（讲义）（解析版）

第34 讲 概率 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 概率的相关概念 题型01 事件的分类 题型02 判断事件发生可能性的大小 题型03 理解概率的意义 题型04 判断几个事件概率的大小关系 考点二 概率的计算方法 题型01 根据概率公式计算概率 题型02 根据概率作判断 题型03 已知概率求数量 题型04 列举法求概率 题型05 画树状图法/列表法求概率 题型06 几何概率 题型07 由频率估计概率 题型08 用频率估计概率的综合应用 题型09 放回实验概率计算方法 题型10 不放回实验概率计算方法 题型11 游戏公平性 题型12 概率的应用 题型13 概率与统计综合 考点要求 新课标要求 命题预测 概率的相 关概念  能通过列表、画树状图等方法列出 简单随机事件所有可能的结果，以 及指定随机事件发生的所有可能结 果，了解随机事件的概率  知道通过大量重复试验，可以用频 率估计概率 概率问题在中考数学中的考察难度在中档以下，年年 都会考查，是广大考生的得分点，分值为10 分左右，预 计2024 年各地中考还将出现 该专题考题的类型也比较的 固定，单独考察时，通常作为选择或者填空题，考概率 的基本定义和简单计算;综合考察时会和统计图表类问题 结合，作为最后一问，考察概率的树状图或者列表分析 因为整体难度较小，属于中考数学中必拿分点，审题时 要多加注意即可 概率的计 算方法 考点一 概率的相关概念 1 概率的定义及计算公式 概率的定义：一般地，对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件发生的概率，记 为P() 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小 概率公式： P(随机事件)= 随机事件出现的次数 所有可能出现的结果数 2 确定事件与随机事件 定义 事件发生的概率 确 定 事 件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生， 这些事情称为必然事件。 P(必然事件)=1 不可能 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发 生，这些事情称为不可能事件。 P(不可能事件)=0 不确定事件 （随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发 生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。 0＜P(随机事件)＜1 题型01 事件的分类 【例1】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）彩民李大叔购买1 张彩票，中奖．这个事件是（ ） ．必然事件 B．确定性事件 ．不可能事件 D．随机事件 【答】D 【分析】直接根据随机事件的概念即可得出结论． 【详解】购买一张彩票，结果可能为中奖，也可能为不中奖，中奖与否是随机的，即这个事件为随机事件． 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是熟练掌握随机事件发生的条件，能够灵活作出判断． 【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） ．水落石出 B．水涨船高 ．水滴石穿 D．水中捞月 【答】D 【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可 【详解】解：、水落石出是必然事件，不符合题意； B、水涨船高是必然事件，不符合题意； 、水滴石穿是必然事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，符合题意； 故选D 【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）下列事件是必然事件的是（ ） ．三角形内角和是180° B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 ．掷一枚均匀骰子，点数是6 的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况 【答】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：、三角形内角和是180°是必然事件，故此选项符合题意； B、端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意； 、掷一枚均匀骰子，点数是6 的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意； D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的 事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可 能发生也可能不发生的事件． 【变式1-3】（2021·贵州贵阳·统考一模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭 合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机 事件的是（ ） ．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 ．只闭合3个开关 D．闭合4个开关 【答】B 【分析】观察电路发现，闭合A ,B或闭合C , D或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答． 【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路， 只闭合1个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以不符合题意； 闭合4个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D 不符合题意； 只闭合2个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B 符合题意； 只闭合3个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以不符合题意． 故选B． 【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的关 键． 【变式1-4】（2024·福建福州·校考一模）下列事件中是随机事件的是（ ） ．明天太阳从东方升起 B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯 ．平面内不共线的三点确定一个圆 D．任意画一个三角形，其内角和是540° 【答】B 【分析】根据随机事件的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：．明天太阳从东方升起，是必然事件，故本选项不符合题意； B．经过有交通信号灯的路口时遇到红灯，是随机事件，故本选项符合题意； ．平面内不共线的三点确定一个圆，是必然事件，故本选项不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是540°，是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下， 一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定 条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 题型02 判断事件发生可能性的大小 【例2】（2022·广东中山·统考一模）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”． 比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3 分别写在3 张同样 的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法 中正确的是（ ） ．小星抽到数字1 的可能性最小 B．小星抽到数字2 的可能性最大 ．小星抽到数字3 的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同 【答】D 【分析】算出每种情况的概率，即可判断事件可能性的大小． 【详解】解：每个数字抽到的概率都为：1 3， 故小星抽到每个数的可能性相同． 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用概率公式求概率，正确应用公式是解题的关键． 【变式2-1】（2021·河北唐山·统考一模）下列4 个袋子中，装有除颜色外完全相同的10 个小球，任意摸 出一个球，摸到红球可能性最大的是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】要求可能性的大小，只需求出各袋中红球所占的比例大小即可． 【详解】解：第一个袋子摸到红球的可能性= 1 10； 第二个袋子摸到红球的可能性= 2 10=1 5； 第三个袋子摸到红球的可能性= 5 10=1 2； 第四个袋子摸到红球的可能性= 6 10=3 5． 故选：D． 【点睛】】本题主要考查了可能性大小的计算，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比， 难度适中． 【变式2-2】（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）袋子里有8 个红球，m 个白球，3 个黑球， 每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m 的值不可能是（ ） ．1 B．3 ．5 D．10 【答】D 【分析】根据摸到红球的可能性最大可得袋子里红球的个数最多，从而可得0<m<8，由此即可得． 【详解】解：因为从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大， 所以袋子里红球的个数最多， 所以0<m<8， 所以在四个选项中，m的值不可能是10， 故选：D． 【点睛】本题考查了事件发生的可能性的大小，根据事件发生的可能性的大小求出m的取值范围是解题关 键． 【变式2-3】（2023·贵州贵阳·校考一模）将4 张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有1～4 四个 数字，随机抽出一张，出现可能性最大的是（ ） ．数字大于2 的卡片 B．数字小于2 的卡片 ．数字大于3 的卡片 D．数字小于4 的卡片 【答】D 【分析】根据事件发生的可能性进行分析即可． 【详解】将4 张质地相同的卡片背面朝上放置，正面分别标有1～4 四个数字，随机抽出一张，共有4 种情 况，且出现数字为1，2，3，4 的可能性相等 其中抽出数字大于2 的卡片有2 种情况；抽出数字小于2 的卡片有1 种情况；抽出数字大于3 的卡片有1 种 情况；抽出数字小于4 的卡片有3 种情况，D 选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了判断事件发生的可能性的大小．熟练掌握判断事件发生的可能性的大小是解题的关键． 题型03 理解概率的意义 【例3】（2022·广东深圳·校考一模）“14 人中至少有2 人在同一个月过生日”这一事件发生的概率为P， 则（ ） ．P＝0 B．0＜P＜1 ．P＝1 D．P＞1 【答】 【分析】根据不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0而小于1，必然事件的概率为1，即可判断． 【详解】解：∵一年有12 个月，14 个人中有12 个人在不同的月份过生日，剩下的两人不论哪个月生日， 判断事件发生的可能性大小，首先看是什么事件，必然事件的可能性最大为100%，不可能事件的 可能性最小为0，随机事件的可能性有大有小，其发生可能性介于0－100%．在随机事件中，要想判断 随机事件发生的概率就要列举出随机事件中可能出现的各种结果，其中包含的结果数多的事件发生的 可能性大．所以平时要多加练习如何列举全随机事件中包含的各种结果，如果少列举一种都会造成错 误结果． 都和前12 人中的一个人同一个月过生日 ∴“14 人中至少有2 人在同一个月过生日”是必然事件， 即这一事件发生的概率为P=1． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率的初步认识，确定此事件为必然事件是解题的关键． 【变式3-1】（2022·安徽芜湖·统考一模）县气象站天气预报称，明天千岛湖镇的降水概率为90%，下列 理解正确的是（ ） ．明天千岛湖镇下雨的可能性较大 B．明天千岛湖镇有90%的地方会下雨 ．明天千岛湖镇全天有90%的时间会下雨 D．明天千岛湖镇一定会下雨 【答】 【分析】概率是表示事件发生可能性大小的量，据此解得此题即可． 【详解】解：千岛湖镇明天下雨概率是90%，表示千岛湖镇明天下雨的可能性很大，但不是将有90%的 地方下雨，不是90%的时间下雨，也不是明天肯定下雨， 故选：． 【点睛】此题考查概率，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 【变式3-2】（2022·河北石家庄·校联考一模）抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是05．则下 列判断正确的是（ ） ．连续掷2 次时，正面朝上一定会出现1 次 B．连续掷100 次时，正面朝上一定会出现50 次 ．连续掷2n次时，正面朝上一定会出现n次 D．当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于05 【答】D 【分析】根据概率的意义即可得出答． 【详解】解： 连续掷2 次时，正面朝上有可能出现，还有可能不出现，故选项判断不正确； B 连续掷100 次时，正面朝上不一定会出现50 次，故选项B 判断不正确； 连续掷2n次时，正面朝上不一定会出现n次，故选项判断不正确； D 当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于05，正确，故选项D 符合题意， 故选：D 【点睛】本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． 【变式3-3】（2023·山西晋城·统考一模）在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代 物，但下列物品不能做替代物的是（ ） ．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌(一张黑桃，一张红桃) ．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 【答】D 【分析】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，硬币正反两面向上的概率为1 2；若用其它物体代替只要此 物体只能出现这两种情况且概率为1 2即可． 【详解】、一枚均匀的普通六面体骰子向上的点数为奇数和偶数的概率都为1 2，能作替代物，故不符合题 意； B、两张扑克牌(1张黑桃，1张红桃)，两张花色不同的扑克，分别代替硬币正面和反面，且各自概率为1 2， 与抛硬币一样，故不符合题意； 、两个只有颜色不同的小球，符合硬币只有正反两面的可能性，能作替代物，故不符合题意； D、图钉两面不同，不能替代该实验，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考． 题型04 判断几个事件概率的大小关系 【例4】（2021·福建福州·福州三牧中学校考二模）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色 外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5 个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1 个球，取出红球 的可能性大，则红球的个数是（ ） ．4 个 B．5 个 ．不足4 个 D．6 个或6 个以上 【答】D 【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答． 【详解】解：∵袋子中白球有5 个，且从袋中随机取出1 个球，取出红球的可能性大， ∴红球的个数比白球个数多， ∴红球个数满足6 个或6 个以上， 故选D． 【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可． 【变式4-1】（2023·广东云浮·统考二模）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的 事件是（ ） ．朝上一面的点数大于2 B．朝上一面的点数为3 ．朝上一面的点数是2 的倍数 D．朝上一面的点数是3 的倍数 【答】 【分析】分别利用概率公式计算每个选项的概率后比较即可得出答 【详解】解：选项的概率4 6 =2 3 选项B 的概率1 6 选项的概率3 6=1 2 选项D 的概率2 6=1 3 由2 3 > 1 2 > 1 3 > 1 6 故选： 【点睛】本题考查概率公式的应用，解题的关键是能准确找出所求情况数与总情况数 【变式4-2】（2020·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）桌子上有6 杯同样型号的杯子，其中1 杯84 消毒液，2 杯 75%的酒精，3 杯双氧水，从6 个杯子中随机取出1 杯，请你将下列事件发生的可能性从大到小排列： ． （填序号 即可）①取到75%的酒精；②取到双氧水；③没有取到75%的酒精；④取到84 消毒液． 【答】③②①④ 【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可．求比例时，应注意记清各自的数目． 【详解】∵有6 杯同样型号的杯子，其中1 杯84 消毒液，2 杯75%的酒精，3 杯双氧水， ∴①取到75%的酒精的概率是2 6=1 3； ②取到双氧水的概率是3 6=1 2； ③没有取到75%的酒精的概率是4 6 =2 3； ④取到84 消毒液1 6； ∴按事件发生的可能性从大到小排列：③②①④； 故答为：③②①④． 【点睛】本题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情 况数之比． 考点二 概率的计算方法 公式法 P（）=m n ，其中为所有事件的总数，m 为事件发生的总次数． 列举法 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列 举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法 【注意事项】 1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏 2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等 3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示 画树状图法 当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图 法 画树状图法求概率的步骤： 1) 明确试验由几个步骤组成； 2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果； 3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果， 这种方法叫列表法 列表法求概率的步骤： 1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格； 2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数和符合条件的结果数m 的值； 3）利用概率公式P ( A )=m n ，计算出事件的概率． 用频率估计 概率的方法 通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示 出一定的稳定性 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等 时，一般通过统计频率来估计概率． 题型01 根据概率公式计算概率 【例1】（2023·广西·模拟预测）书架上有2 本数学书、1 本物理书．从中任取1 本书是物理书的概率为（ ） ．1 4 B．1 3 ．1 2 D．2 3 【答】B 1 当一次试验要涉及两个因素或一个因素做两次试验并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列 出所有可能的结果，通常可以采用列表法，也可以用树状图法 当试验包含三步或三步以上时，不能用 列表法，用画树状图法比较方便 2 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，且随实验次数的增多，值越来越精确 【分析】根据概率公式直接求概率即可； 【详解】解：一共有3 本书，从中任取1 本书共有3 种结果， 选中的书是物理书的结果有1 种， ∴从中任取1 本书是物理书的概率=1 3 故选： B． 【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键． 【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）在一个不透明的袋子里，装有3 个红球、1 个白球，它们除 颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（ ） ．3 4 B．1 2 ．1 3 D．1 4 【答】 【分析】根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：从袋中任意摸出一个球为红球的概率是3