高考数学答题技巧题型26 5类概率统计选填解题技巧（古典概率、概率的基本性质、条件概率、全概率、贝叶斯公式）（原卷版）Word（12页）

题型26 5 类概率统计选填解题技巧 （古典概率、概率的基本性质、条件概率、全概率、贝叶斯公式） 技法01 古典概率解题技巧 知识迁移 1．古典概型特点 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． (2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． 2．古典概型概率公式 P(A)＝＝. 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入 选的概率为 ． 【法一】：设这5 名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5 名同学中随机选3 名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙， 技法01 古典概率解题技巧 技法02 概率的基本性质解题技巧 技法03 条件概率解题技巧 技法04 全概率解题技巧 技法05 贝叶斯公式解题技巧 古典概率是新高考卷的常考内容，难度简单，是概率中的基础内容，在小题和大题中都有考查，需重点复 习. 1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10 种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3 种，故所求概率 . 【法二】：从5 名同学中随机选3 名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率 例1-2．（2022·全国·统考高考真题）从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，则这2 个数互质的概率 为（ ） A． B． C． D． 【详解】从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，共有 种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有： ，共7 种，故所求概率 . 1．（2021·全国·统考高考真题）将4 个1 和2 个0 随机排成一行，则2 个0 不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8 个顶点中任选4 个，则这4 个点在同一个平面的概率为 ． 3．（2022·全国·统考高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6 的6 张卡片中无放回随机抽取2 张，则抽到 的2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率为（ ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·统考高考真题）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这 三个盒子中黑球占总数的比例分别为 ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑 球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ． 5．（2023·全国·统考高考真题）某学校举办作文比赛，共6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题 准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A． B． C． D． 6．（2023·海南·校考模拟预测）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽 取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A． B． C． D． 技法02 概率的基本性质解题技巧 知识迁移 1．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A 与事件B 互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 例2-1．（2023·全国·高三专题练习）已知事件A，B，C 两两互斥，若 ， ， 在概率的基本性质中，互斥事件、对立事件、概率加法公式是新高考卷的常考内容，难度中等偏易，是概 率中的基础内容，在小题和大题中都有考查，需重点复习.. ，则 （ ）． A． B． C． D． 因为事件A， ， 两两互斥，所以 ， 所以 . 例2-2．（2022·全国·高三专题练习）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1 个 球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是 A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75 因为从中摸出1 个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25， 所以摸出黑球的概率是 ，因为从盒子中摸出1 个球为黑球或红球为互斥事件， 所以摸出黑球或红球的概率 例2-3．（2022 秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀 算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》、……《缉古算经》等10 部专著，有着十分丰富多彩的内 容，是了解我国古代数学的重要文献．这10 部专著中有7 部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10 部 专著中选择2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专 著的概率为． A． B． C． D． 设所选2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件 ， 所以 ，因此 1．（2023·全国·高三专题练习）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5 的偶数点出现”， 事件B 表示“不小于5 的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A． B． C． D． 2．（2023 春·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为 ,响第 二声时被接的概率为 ,响第三声时被接的概率为 ,响第四声时被接的概率为 ,则电话在响前四声内被 接的概率为( ) A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不 放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为 ，“两个球都是白球”的概率 为 ，则“两个球颜色不同”的概率为（ ） A． B． C． D． 技法03 条件概率解题技巧 条件概率是新高考卷的常考内容，难度中等偏难，是概率中的核心内容，在小题和大题中都有考查，需重 点复习. 知识迁移 1. 条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P(A| B)． 当P(B)>0 时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B 也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0 时，A 发生时B 发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B 和C 是两 个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A) ＋P(C|A) P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A 发生的条件下B 发生的概率，后者是在B 发生的条件下A 发生的概率． 2. 条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件AB 所包含的基本 事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求 解，它能化繁为简 例3-1．2023·全国·统考高考真题）某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑 冰的概率为（ ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 同时爱好两项的概率为 ，记“该同学爱好滑雪”为事件 ,记“该同学爱好滑冰”为事件 ， 则 ，所以 例3-2．（2022·天津·统考高考真题）52 张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A 的概率为 由题意，设第一次抽到A 的事件为B,第二次抽到A 的事件为C, 则 1．（2024·湖南邵阳·统考一模）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是 和 ，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级 的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游， 他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6 个景 点中随机选择1 个景点游玩．记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件 为“两位游 客选择的景点相同”，则 等于（ ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南郴州·统考一模）湖南第二届旅游发展大会于2023 年9 月15 日至17 日在郴州举行，为让广 大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校 从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学， 记事件A 为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B 为“甲和乙选择研学线 路不同”，则 （ ） A． B． C． D． 4．（2023·广东佛山·统考模拟预测）现随机安排甲、乙等4 位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛， 要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件 “甲参加跳高比赛”，事件 “乙 参加跳高比赛”，事件 “乙参加跳远比赛”，则（ ） A．事件A 与B 相互独立 B．事件A 与C 为互斥事件 C． D． 5．（2023·浙江·校联考模拟预测）标有数字1,2,3,4,5,6 的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放 回地随机抽取两次，每次抽取一张， 表示事件“第一次取出的数字是3”， 表示事件“第二次取出的数 字是2”， 表示事件“两次取出的数字之和是6”， 表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（ ） A． B． C． D． 技法04 全概率解题技巧 知识迁移 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2 … ∪∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则 对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A 包 含的样本点数，n(AB)为事件AB 包含的样本点数. 全概率是新高考卷的常考内容，难度中等偏难，是概率中的核心内容，在小题和大题中都有考查，需重点 复习. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A 的概率的求解问题，转化为了在不同情 况下发生的简单事件的概率的求和问题. 例4．（2023·广东深圳·校考二模）已知编号为1，2，3 的三个盒子，其中1 号盒子内装有两个1 号球，一 个2 号球和一个3 号球；2 号盒子内装有两个1 号球，一个3 号球；3 号盒子内装有三个1 号球，两个2 号 球.若第一次先从1 号盒子内随机抽取1 个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒 子中任取一个球，设事件 为第一次取出的球为i 号，事件 为第二次取出的球为i 号，则下列说法错误 的是（ ） A． B． C． D． 由题意可得 ，故B 正确； 对于A， 表示在第一次取出的球为3 号的前提下，第二次取出的球为3 号的概率，所以 ，故A 正确； 对于C， 表示在第一次取出的球为1 号的前提下，第二次取出的球为3 号的概率，所以 表示在第一次取出的球为2 号的前提下，第二次取出的球为3 号的概率，所以 ， 应用全概率公式,有 ，故C 错误； 对于D，利用条件概率可得 ，解得 ，故D 正确 故选：C 1．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有 两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个 绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1 个球，然后将取出的球放入与球同颜色 的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（ ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）甲单位有5 名男性志愿者，7 名女性志愿者； 乙单位有4 名男性志愿者，2 名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到的单位中任取1 名 志愿者，则取到男性志愿者的概率为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫， 松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是 ，夏季来 的概率是 ，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查 干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三 国”景点的概率为（ ） A． B． C． D． 4．（2022·山东泰安·统考模拟预测）2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形象备受追 捧，引来国内外粉丝争相购买，竟出现了“一墩难求”的局面. 已知某工厂生产一批冰墩墩，产品合格率 为 . 现引进一种设备对产品质量进行检测，但该设备存在缺陷，在产品为次品的前提下用该设备进行 检测，检测结果有 的可能为不合格，但在该产品为正品的前提下，检测结果也有 的可能为不合格. 现从生产的冰墩墩中任取一件用该设备进行检测，则检测结果为合格的概率是（ ） A． B． C． D． 技法05 贝叶斯公式解题技巧 知识迁移 贝叶斯公式 一般地,设 是一组两两互斥的事件,有 且 ,则对 任意的事件 有 例5．（2023·云南·校联考模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来 了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼； 第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实 的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为 ；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是 ．最初人们不知 道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是 ．已知第一次他说谎了，那么他是 诚实的小孩的概率是（ ） A． B． C． D． 【详解】设事件 表示“小孩诚实”，事件 表示“小孩说谎”， 贝叶斯公式是新高考卷的常考内容，难度中等偏难，是概率中的重点内容，在小题和大题中都有考查，需 重点复习. 则 ， ， ， ， 则 ， ， 故 ， 故 . 故选：D 1．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）甲口袋中有3 个红球，2 个白球和5 个黑 球，乙口袋中有3 个红球，3 个白球和4 个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以 和 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取 出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A． B．事件 与事件B 相互独立 C． D． 2．（2023·浙江杭州·统考模拟预测）（多选）甲箱中有个红球， 个白球和个黑球，乙箱中有 个红球， 个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 和 表示由甲箱取出的球是红球， 白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确 的是（ ） A．事件 与事件 相互独立 B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知编号为1，2，3 的三个盒子，其中1 号盒子内装有两个1 号 球，一个2 号球和一个3 号球；2 号盒子内装有两个1 号球，一个3 号球；3 号盒子内装有三个1 号球，两 个2 号球．若第一次先从1 号盒子内随机抽取1 个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该 盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A．在第一次抽到2 号球的条件下，第二次抽到1 号球的概率为 B．第二次抽到3 号球的概率为 C．如果第二次抽到的是1 号球，则它来自2 号盒子的概率最大 D．如果将5 个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1 个，则不同的放法有300 种