高考数学答题技巧题型27 5类概率统计大题综合解题技巧（分布列与数字特征、二项分布、超几何及正态分布、统计案例综合、概率与数列、概率与导数综合）（解析版）Word（45页）

题型27 5 类概率统计大题综合解题技巧 （分布列与数字特征、二项分布、超几何及正态分布、统计案例综合、 概率与数列、概率与导数综合） 技法01 分布列与数字特征应用及解题技巧 知识迁移 1．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值xi(i＝1,2，…，n) 的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X 的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 2．离散型随机变量均值 (1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值 技法01 分布列与数字特征应用及解题技巧 技法02 二项分布、超几何及正态分布的应用及解题技巧 技法03 统计案例综合的应用及解题技巧 技法04 概率与数列的应用及解题技巧 技法05 概率与导数的应用及解题技巧 分布列与数字特征是新高考卷的常考内容，难度中等，常在大题中考查，需重点复习. 的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b 为常数，则Y 也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (3)①若X 服从两点分布，则E(X)＝p； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 3．离散型随机变量方差 (1)设离散型随机变量X 的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝∑ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度 的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X 的方差，并称其算术 平方根为随机变量X 的标准差． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)若X 服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 例1-1．（2023·全国·高三专题练习）某企业有甲、乙两个研发小组，甲组研究新产品成功的概率为 ，乙 组研究新产品成功的概率为 ，现安排甲组研发新产品 ，乙组研发新产品 ，设甲、乙两组的研发相互 独立． (1)求恰好有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品 研发成功，预计企业可获得利润120 万元，不成功则会亏损50 万元；若新产品 研发成功， 企业可获得利润100 万元，不成功则会亏损40 万元，求该企业获利 万元的分布列． 【详解】（1）因为甲、乙两个研发小组研究新产品成功的概率分别为为 和 ，且相互独立， 所以，恰好有一种新产品研发成功的概率 ； （2）根据题意， 的可能取值有 . ， 所以分布列为： 例1-2．（2021·全国·统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类问题，每位参加比 赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答 正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个 问题回答正确得20 分，否则得0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得80 分，否则得0 分，已知小明能正 确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无 关. （1）若小明先回答A 类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【详解】（1）由题可知， 的所有可能取值为， ， ． ； ； ． 所以 的分布列为 （2）由（1）知， ． 若小明先回答 问题，记 为小明的累计得分，则 的所有可能取值为， ， ． ； ； ． 所以 ． 因为 ，所以小明应选择先回答 类问题． 1．（2023·河北保定·统考二模）某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行 各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三 个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5 名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛 时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5 场），若两个年级之间打成 则第5 场比赛定胜负．已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为 ，高三每位队员战胜高一 相应对手的可能性均为 ，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为 ，且队员、年级之间的胜负相 互独立． (1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率． (2)若获胜年级积3 分，被打败年级积0 分，求高三年级获得积分的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据前两局平局的情况下，后面分两种情况计算高二年级最终战胜高一年级的概率即可； （2）由题可知高三年级获得积分的 的取值可为0，3，6，分别计算概率从而可得分布列与数学期望. 【详解】（1）设高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高高一年级的事件为 ， 则 （2）根据题意得高三年级获得积分的 的取值可为0，3，6 的分布列为 0 3 6 2．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙 以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E（X）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【答案】(1)0.4 (2) (3)丙 【分析】(1) 由频率估计概率即可 (2) 求解得X 的分布列，即可计算出X 的数学期望. (3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大. 【详解】（1）由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5， 故答案为0.4 （2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3 ， ， ， . ∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴ （3）丙夺冠概率估计值最大. 因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85 的概率为 ，甲获得9.80 的概率为 ， 乙获得9.78 的概率为 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利. 3．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中 获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望． 【答案】(1) ； (2)分布列见解析， . 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目， 利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知， 的可能取值为 ，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 ，所以甲学校获得冠军的概率为 ． （2）依题可知， 的可能取值为 ，所以， , ， ， . 即 的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望 . 4．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活 动．活动规定初赛需要从8 道备选题中随机抽取4 道题目进行作答．假设在8 道备选题中，小明正确完成 每道题的概率都是 且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6 道题且另外2 道题不能完成． (1)求小明至少正确完成其中3 道题的概率； (2)设随机变量X 表示小宇正确完成题目的个数，求X 的分布列及数学期望； (3)现规定至少完成其中3 道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参 加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析，3 (3)选择小宇，理由见解析 【分析】（1）小明至少正确完成其中3 道题包含两种情况：一是小明正确完成3 道题，二是小明正确完成 4 道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可； （2）由题意得X 的可能取值为2，3，4，然后求各自对应的概率，从而可求出X 的分布列及数学期望； （3）分别计算出他们两人至少完成其中3 道题的概率，通过比较概率的大小可得答案. 【详解】（1）记“小明至少正确完成其中3 道题”为事件A，则 ． （2）X 的可能取值为2，3，4 ， ， ， X 的分布列为； X 2 3 4 P 数学期望 ． （3）由（1）知，小明进入决赛的概率为 ； 记“小宇至少正确完成其中3 道题”为事件B，则 ； 因为 ，故小宇进决赛的可能性更大， 所以应选择小宇去参加比赛． 技法02 二项分布、超几何及正态分布的应用及解题技巧 知识迁移 1. 两点分布 X 0 1 P 1 － p p 二项分布、超几何及正态分布是新高考卷的常考内容，难度中等，常在大题中考查，需重点复习. 这样的分布列叫做两点分布列． 如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率． 2. 超几何分布列 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X ＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列． 如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布. X 0 1 … m P … 3. 正态分布 正态曲线的特点 (1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ 对称； (3)曲线在x＝μ 处达到峰值； (4)曲线与x 轴之间的面积为1； (5)当σ 一定时，曲线的位置由μ 确定，曲线随着μ 的变化而沿x 轴平移； (6)当μ 一定时，曲线的形状由σ 确定，σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越 “矮胖”，表示总体的分布越分散． 正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826； (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544； (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974. 例2-1．（2024·全国·模拟预测）某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名 度和吸引力，促进旅游业的发展，在2023 年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持 “公平、公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地 的6 个“自然景观类景区”和4 个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号．评选活动结束后， 文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10 个景区中选取部分景区进行重点 推介. (1)若文旅部门从这10 个景区中先随机选取1 个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景 区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件 A，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B，求 ， ； (2)现需要从“十佳旅游景区”中选4 个景区，且每次选1 个景区（可以重复），分别向北京、上海、广州、 深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X，求X 的分布列和数 学期望． 【详解】（1）由古典概型的计算公式可得， ， ， 由条件概率的计算公式得： ， 同理 ， 则 ． （2）由题意知 的所有可能取值为0，1，2，3，4，且 ， ； ； ； ； ． 所以X 的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望 ． 例2-2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可 以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性， 假设一段时间后，随机有 个字脱落． (1)若 ，用随机变量 表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量 的分布列及期望； (2)若 ，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率． 【详解】（1）方法一： 随机变量X 的可能取值为0，1，2， ， ， ， 随机变量X 的分布列如下表： X 0 1 2 P 随机变量X 的期望为 法二： 随机变量X 服从超几何分布 ，所以 . （2）设脱落一个“学”为事件 ，脱落一个“好”为事件 ，脱落一个“数”为事件 ， 事件 为脱落两个字 ， ， ， ， ， ， 所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为 ， 法二： 掉下的两个字不同的概率为 ， 所以标语恢复原样的概率为 ． 例2-3．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）2015 年5 月，国务院印发《中国制造 》，是我国由制造业 大国转向制造业强国战略的行动纲领.经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在 国际上有影响的制造企业.我国的造船业､光伏产业､5G 等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也 有了长足发展.已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产 品质量指标值服从正态分布 ，且质量指标值在 内的零件称为优等品. (1)求该企业生产的零件为优等品的概率（结果精确到0.01）； (2)从该生产线生产的零件中随机抽取5 件，随机变量 表示抽取的5 件中优等品的个数，求 的分布列､ 数学期望和方差. 附： 0.9973. 【详解】（1）因为产品质量指标值 ，则 ， 所以优等品的概率 ， 所以该企业生产零件为优等品的概率约为0.82. （2）由（1）知产品为优等品的概率为0.82，由题意知 ， 随机变量 的取值为：0，1，2，3，4，5； 故 的分布列为 ，即 0 1 2 3 4 5 所以 . 1．（2023·全国·模拟预测）为庆祝中国共产党成立 周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后， 为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了 名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后， 统计结果如表所示． 成绩区 间 频数 假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立． (1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人 数的 ，试估计获奖分数线； (2)该市决定从全市成绩不低于 分的学生中随机抽取 人参加省级党史知识竞赛，成绩在 的人数 为 ，求 的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设获奖分数线为 ，分析可知 ，根据题意可得出关于 的等式，解之即可； （2）分析可知， ，利用二项分布可得出 的分布列，利用二项分布的期望公式可求得 的值. 【详解】（1）解：由表格知，成绩在 的频率为 ，成绩在 的频率为 ， 成绩在 的频率为 ， 设获奖分数线为 ，则 ， 所以， ，解得 ． （2）解：从全市成绩不低于 分的学生中随机抽取一人参加省级党史知识竞赛， 成绩在 的概率为 ， 由题意知， ，则 的可能取值有、、 、、 ， 则 ， ， ， ， ， 所以 的分布列为 故 ． 2．（2023·四川宜宾·统考一模）自1996 年起，我国确定每年3 月份最后一周的星期一为全国中小学生“安 全教育日”.我国设立这一制度是为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生 率，切实做好中小学生的安全保护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生 进行一次安全知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在 内的学生获三等奖，得分在 内的 学生获二等奖，得分在 内的学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况， 随机抽取100 名学生的竞赛成绩，统计如下： 成绩 （分） . 频数 6 12 18 24 18 12 10 (1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率； (2)若该市所有参赛学生的成绩X 近似服从正态分布 ，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）若该市共有10000 名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过85 分的学生数（结果四舍五入到 整数）； （ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取4 名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在65 分以上的学生数为Y，求随机变量Y 的分布列及数学期望. 附参考数据：若随机变量X 服从正态分布 ，则： 【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ）分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型运算公式进行求解即可； （2）（ⅰ）根据题中所给的公式，结合正态分布的性质进行求解即可；（ⅱ）运用二项分布的性质进行 求解即可. 【详解】（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为 ，设抽取的两名学生中恰有 一名学生获一等奖为事件 ， 则事件 包含的基本事件的个数为 ，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以 ， 故抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率为 . （2）（ⅰ）因为 ，所以： ， 所以参赛学生中成绩超过 分的学生数约为 人 （ⅱ）由 ，得 ，即从所有参赛学生中堕机抽取名学生，该生竞赛成绩在 分以上的 概率为 ， 所以随机变量 服从二项分布 ， 所以 ， ， ， ， ， 所以随机变量 的分布列为： 所以期望为 . 3．（2023·吉林长春·统考一模）树人中学某班同学看到有关产品抽检的资料后，自己设计了一个模拟抽检 方案的摸球实验．在一个不透明的箱子中放入10 个小球代表从一批产品中抽取出的样本（小球除颜色外均 相同），其中有 个红球（ ， ），代表合格品，其余为黑球，代表不合格品，从箱中逐一摸 出 个小球，方案一为不放回