高考数学答题技巧题型26 5类概率统计选填解题技巧（古典概率、概率的基本性质、条件概率、全概率、贝叶斯公式）（解析版）Word（21页）

题型26 5 类概率统计选填解题技巧 （古典概率、概率的基本性质、条件概率、全概率、贝叶斯公式） 技法01 古典概率解题技巧 知识迁移 1．古典概型特点 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． (2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． 2．古典概型概率公式 P(A)＝＝. 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入 选的概率为 ． 技法01 古典概率解题技巧 技法02 概率的基本性质解题技巧 技法03 条件概率解题技巧 技法04 全概率解题技巧 技法05 贝叶斯公式解题技巧 古典概率是新高考卷的常考内容，难度简单，是概率中的基础内容，在小题和大题中都有考查，需重点复 习. 【法一】：设这5 名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5 名同学中随机选3 名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙， 1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10 种选法；其中，甲、乙都入选的选法有3 种，故所求概率 . 【法二】：从5 名同学中随机选3 名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率 例1-2．（2022·全国·统考高考真题）从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，则这2 个数互质的概率 为（ ） A． B． C． D． 【详解】从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，共有 种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有： ，共7 种，故所求概率 . 1．（2021·全国·统考高考真题）将4 个1 和2 个0 随机排成一行，则2 个0 不相邻的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将4 个1 和2 个0 随机排成一行，可利用插空法，4 个1 产生5 个空， 若2 个0 相邻，则有 种排法，若2 个0 不相邻，则有 种排法， 所以2 个0 不相邻的概率为 . 故选：C. 2．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8 个顶点中任选4 个，则这4 个点在同一个平面的概率为 ． 【答案】 . 【分析】根据古典概型的概率公式即可求出． 【详解】从正方体的个顶点中任取 个，有 个结果，这 个点在同一个平面的有 个，故所求概率 ． 故答案为： ． 3．（2022·全国·统考高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6 的6 张卡片中无放回随机抽取2 张，则抽到 的2 张卡片上的数字之积是4 的倍数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4 的倍数的情况，由古典概型求概率即可. 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6 张卡片中无放回抽取2 张，共有 15 种情况，其中数 字之积为4 的倍数的有 6 种情况，故概率为 . [方法二]：有序 从6 张卡片中无放回抽取2 张，共有 ,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1), (6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30 种情况， 其中数字之积为4 的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12 种情况，故概率为 . 故选：C. 【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解； 方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出； 4．（2023·天津·统考高考真题）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这 三个盒子中黑球占总数的比例分别为 ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑 球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ． 【答案】 / 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为 ，所以总数为 ， 所以甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ； 乙盒中黑球个数为 ，白球个数为 ； 丙盒中黑球个数为 ，白球个数为 ； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 ，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件 ， 黑球总共有 个，白球共有 个， 所以， ． 故答案为： ； ． 5．（2023·全国·统考高考真题）某学校举办作文比赛，共6 个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题 准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对6 个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古 典概率求解作答. 【详解】用1，2，3，4，5，6 表示6 个主题，甲、乙二人每人抽取1 个主题的所有结果如下表： 乙 甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36 个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有 ，共6 个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30 个，概率 . 故选：A 6．（2023·海南·校考模拟预测）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽 取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型概率公式即可求得抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率. 【详解】记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A， 则事件A 共包含以下10 种情况： ， 而有放回的连续抽取2 张卡片共有 （种）不同情况， 则 故选：D 技法02 概率的基本性质解题技巧 知识迁移 1．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A 与事件B 互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 例2-1．（2023·全国·高三专题练习）已知事件A，B，C 两两互斥，若 ， ， ，则 （ ）． A． B． C． D． 因为事件A， ， 两两互斥，所以 ， 在概率的基本性质中，互斥事件、对立事件、概率加法公式是新高考卷的常考内容，难度中等偏易，是概 率中的基础内容，在小题和大题中都有考查，需重点复习.. 所以 . 例2-2．（2022·全国·高三专题练习）一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1 个 球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是 A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75 因为从中摸出1 个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25， 所以摸出黑球的概率是 ，因为从盒子中摸出1 个球为黑球或红球为互斥事件， 所以摸出黑球或红球的概率 例2-3．（2022 秋·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀 算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》、……《缉古算经》等10 部专著，有着十分丰富多彩的内 容，是了解我国古代数学的重要文献．这10 部专著中有7 部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10 部 专著中选择2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专 著的概率为． A． B． C． D． 设所选2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件 ， 所以 ，因此 1．（2023·全国·高三专题练习）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5 的偶数点出现”， 事件B 表示“不小于5 的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B 为 互斥事件，进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和． 【详解】事件A 表示“小于5 的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5 的点数出现”， ∴P(A) ，P(B) ， 又小于5 的偶数点有2 和4，不小于5 的点数有5 和6， 所以事件A 和事件B 为互斥事件， 则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为 P（A∪B）＝P(A)+P(B) ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题． 2．（2023 春·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习）某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为 ,响第 二声时被接的概率为 ,响第三声时被接的概率为 ,响第四声时被接的概率为 ,则电话在响前四声内被 接的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声被接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件 C,“电话响第四声被接”为事件D,则A,B,C,D 两两互斥,从而P(A B C D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)= ∪∪∪ .故选B. 点睛：本题的难点在于把电话在响前四声内被接这个事件分解为哪几个互斥事件，根据题意，它可以分解 为四个互斥事件, P(A B C D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D) ∪∪∪ . 3．（2023·全国·高三专题练习）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不 放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为 ，“两个球都是白球”的概率 为 ，则“两个球颜色不同”的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件 C，则A，B，C 两两互斥， ，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解. 【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件 C， 则 ， ，且 . 因为A，B，C 两两互斥， 所以 . 故选：C. 技法03 条件概率解题技巧 知识迁移 1. 条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P(A| B)． 当P(B)>0 时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B 也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0 时，A 发生时B 发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B 和C 是两 个互斥事件，则 P(B∪C|A)＝P(B|A) 条件概率是新高考卷的常考内容，难度中等偏难，是概率中的核心内容，在小题和大题中都有考查，需重 点复习. ＋P(C|A) P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A 发生的条件下B 发生的概率，后者是在B 发生的条件下A 发生的概率． 2. 条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件AB 所包含的基本 事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求 解，它能化繁为简 例3-1．2023·全国·统考高考真题）某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑 冰的概率为（ ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 同时爱好两项的概率为 ，记“该同学爱好滑雪”为事件 ,记“该同学爱好滑冰”为事件 ， 则 ，所以 例3-2．（2022·天津·统考高考真题）52 张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A 的概率为 由题意，设第一次抽到A 的事件为B,第二次抽到A 的事件为C, 则 1．（2024·湖南邵阳·统考一模）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是 和 ，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级 的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率的计算公式计算得解. 【详解】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件 ，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件 D， ， ， ， ， ， . 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游， 他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6 个景 点中随机选择1 个景点游玩．记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件 为“两位游 客选择的景点相同”，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率公式即可求得 的值. 【详解】由题意，知 ， 所以 ． 故选：A． 3．（2023·湖南郴州·统考一模）湖南第二届旅游发展大会于2023 年9 月15 日至17 日在郴州举行，为让广 大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校 从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学， 记事件A 为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B 为“甲和乙选择研学线 路不同”，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概率求出事件 的概率，再利用条件概率公式计算即得. 【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有 个基本事件， 事件A 含有的基本事件数是 ，则 ， 事件 含有的基本事件数为 ，则 , 所以 . 故选：B 4．（2023·广东佛山·统考模拟预测）现随机安排甲、乙等4 位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛， 要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件 “甲参加跳高比赛”，事件 “乙 参加跳高比赛”，事件 “乙参加跳远比赛”，则（ ） A．事件A 与B 相互独立 B．事件A 与C 为互斥事件 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件求出 ，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公 式进行逐一判断即可 【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有 不同的安排方法， 事件 “甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2 人，则有 种方法； 若跳高比赛安排1 人，则有 种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有 种， 则 ，同理 ， 若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2 人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1 人，有 种不同的安排方法，所以 ， 因为 ，事件A 与B 不相互独立故A 错误； 对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A 与C 可以同时发生，故事件A 与C 不是互斥事件，故B 错误； 对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有 种，所以 ，所以 ，故C 正确； 对于D， ，故D 错误. 故选：C 5．（2023·浙江·校联考模拟预测）标有数字1,2,3,4,5,6 的六张卡片，卡片的形状、质地都相同，从中有放 回地随机抽取两次，每次抽取一张， 表示事件“第一次取出的数字是3”， 表示事件“第二次取出的数 字是2”， 表示事件“两次取出的数字之和是6”， 表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，分别求出对应事件的概率，再结合条件概率公式，相互独立事件的概率公式判断 即可. 【详解】由题意， ， ， 对于 事件的可能组合有： ，共种， ，故A 错误； 对于 事件的可能组合有： ，共种， ， 对于 事件的组合只有 一种， 对于 事件的组合只有 一种， 对于 事件的组合只有 一种， 则 ，B 正确； ，C 错； 又 ， ， 则 ，D 错. 故选：B 技法04 全概率解题技巧 知识迁移 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2 … ∪∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则 对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A 包 含的样本点数，n(AB)为事件AB 包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A 的概率的求解问题，转化为了在不同情 况下发生的简单事件的概率的求和问题. 全概率是新高考卷的常考内容，难度中等偏难，是概率中的核心内容，在小题和大题中都有考查，需重点 复习. 例4．（2023·广东深圳·校考二模）已知编号为1，2，3 的三个盒子，其中1 号盒子内装有两个1 号球，一 个2 号球和一个3 号球；2 号盒子内装有两个1 号球，一个3 号球；3 号盒子内装有三个1 号球，两个2 号 球.若第一次先从1 号盒子内随机抽取1 个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒 子中任取一个球，设事件 为第一次取出的球为i 号，事件 为第二次取出的球为i 号，则下列说法错误 的是（ ） A． B． C． D． 由题意可得 ，故B 正确； 对于A， 表示在第一次取出的球为3 号的前提下，第二次取出的球为3 号的概率，所以 ，故A 正确； 对于C， 表示在第一次取出的球为1 号的前提下，第二次取出的球为3 号的概率，所以 表示在第一次取出的球为2 号的前提下，第二次取出的球为3 号的概率，所以 ， 应用全概率公式,有 ，故C 错误； 对于D，利用条件概率可得 ，解得 ，故D 正确 故选：C 1．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有 两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个 绿球（球的大小质地相