专题28.1 锐角的三角函数【十大题型】（原卷版）

专题281 锐角的三角函数【十大题型】 【人版】 【题型1 锐角的三角函数概念辨析】.....................................................................................................................1 【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】.....................................................................................................2 【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】..................................................................................................4 【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】............................................................................................................. 5 【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】..................................................................................................6 【题型6 求特殊角的三角函数值】.........................................................................................................................7 【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】.........................................................................................................8 【题型8 互余两角的三角函数关系的计算】.........................................................................................................8 【题型9 利用增减性判断三角函数的取值范围】..................................................................................................9 【题型10 三角函数在等腰直角三角形中的应用】..............................................................................................10 【知识点1 锐角三角函数】 在 中， ，则 的三角函数为 【知识点2 特殊角的三角函数值】 三角函数 30° 45° 60°  sin 2 1 2 2 2 3  cos 2 3 2 2 2 1  tan 3 3 1 3 【题型1 锐角的三角函数概念辨析】 【例1】（2022·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中）在△B 中，∠＝90°，BC AB =3 5 ，则（ ） 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 斜边 的对边 A A   sin c a A  sin 1 sin 0   A (∠为锐角) B A cos sin  B A sin cos  1 cos sin 2 2   A A 余弦 斜边 的邻边 A A   cos c b A  cos 1 cos 0   A (∠为锐角) 正切 的邻边 的对边 A tan    A A b a A  tan 0 tan  A (∠为锐角) 1 ．s＝3 5 B．sB＝3 5 ．t＝4 3 D．tB＝4 3 【变式1-1】（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△B 中，D 是斜边B 上的高，∠ ≠45°，则下列比值中不等于cos B的是（ ） ．CD AC B．BD CB ．CD CB D．CB AB 【变式1-2】（2022·全国·九年级课时练习）在△B 中，∠＝90°，∠、∠B、∠的对边分别是、 b、，下列结论正确的是（ ） ．b＝•s B．b＝•t ．＝•s D．＝•sB 【变式1-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）图①、图②是两张形状、 大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1 ， 点、点B 和点在小正方 形的顶点上 请在图①、图②中各画一个图形， 满足以下要求： (1)在图①中以AB和BC为边画四边形ABCE， 点E在小正方形的顶点上， 且此四边形有 两组对边相等． (2)在图②中以AB为边画△ABD， 使tan∠ADB= 3 4 ． 【题型2 直接根据定义求锐角的三角函数值】 【例2】（2022·山东·肥城市湖屯镇初级中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中， 1 AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F 处，那么sin∠EFC的值为( )． ．1 3 B．4 5 ．2 3 D．3 5 【变式2-1】（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在菱形BD 中，DE⊥B，cos A=3 5，BE ＝2，则t∠DBE 的值是（ ） ．1 2 B．2 ． ❑ √5 2 D． ❑ √5 5 【变式2-2】（2022·广东·惠州一中二模）如图，在等腰三角形B 中，AB=AC=6,BC=8， 点D 为B 的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（ ） ． ❑ √5 2 B． ❑ √5 3 ．2 3 D．3 4 【变式2-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形BD 中，AB=5，AD=3，点 E 在B 上，点F 在B 上．若AE=2，CF=1，则sin (∠1+∠2)=¿（ ） 1 ．1 2 B． ❑ √2 2 ． ❑ √3 2 D． ❑ √3 3 【题型3 构造直角三角形求锐角的三角函数值】 【例3】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，，B，，D 均为格图中的格点，线段B 与D 相交于点P，则∠PD 的正切值为（ ） ．3 B．2 ．2❑ √2 D．3 ❑ √2 【变式3-1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在Rt △ABC中，斜边AB=3， BC=1，点D 在B 上，且BD AD =1 3，则tan∠BCD的值是（ ） ．1 3 B．1 ．2❑ √2 3 D．3 ❑ √3 2 【变式3-2】（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，将△B 沿着E 翻折，使点落在 点D 处，D 与B 交于点F，恰好有E＝F，若DF＝4❑ √2，F＝12，则t∠EF＝___． 【变式3-3】（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△B 中，∠B＝90°，点D 在B 的延长线上，连接D，若B＝2BD，t∠BD＝1 2 ，则AC BC 的值为 _____． 1 【题型4 根据锐角的三角函数值求边长】 【例4】（2022·全国·九年级课时练习）如图，等腰Rt△B 中，∠=90°，B=，BD 为△B 的角 平分线，若CD=2，则AB的长为（ ） ．3 B．2❑ √2+2 ．4 D．❑ √2+2 【变式4-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，菱形BD 中，B＝2❑ √3，∠B＝60°， 矩形BEFG 的边EF 经过点，且点G 在边D 上，若BG＝4，则BE 的长为（ ） ．3 2 B．3 ❑ √3 2 ．❑ √6 D．3 【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中， AB= AC．点D在△ABC内部，AD⊥CD，且∠ADB=2∠ACB，若BD=2， tan∠BAC =4 3 ，则AC的长为______． 1 【变式4-3】（2022·安徽·九年级专题练习）如图，△ABC ≌△ABD，点E 在边AB上， CE∥BD，连接DE． (1)求证：四边形BCED是菱形． (2)已知点F 为BC中点，过点F 作GF ⊥BC交AB于点G，BG=5，cos∠ABC=0.6， 请直接写出BE的长度． 【题型5 根据特殊角的三角函数值求角的度数】 【例5】（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）已知△ABC中，点D为BC边上一点， 则下列四个说法中，一定正确的有（ ） ①连接AD，若D为BC中点，且AD平分∠BAC，则AB=AC； ②若∠BAC=90°，且BC=2 AC，则∠B=30°； ③若∠B=30°，且BC=2 AC，则∠BAC=90°； ④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，则△ABC的重心在AD上． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式5-1】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）在△ABC中，若， |sin B−1 2|+(tan A−❑ √3) 2=0，则∠C=¿__________度． 【变式5-2】（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学二模）若菱形的周长为8 ❑ √2，高为2，则菱 形两邻角的度数比为（ ） ．6：1 B．5：1 ．4：1 D．3：1 【变式5-3】（2022·山东日照·三模）如图，直线AB=−❑ √3 3 x+❑ √3与坐标轴相交于、B 两 点，动点P 在线段B 上，动点Q 在线段上，连接P，且满足∠BOP=∠OQP，则当 1 ∠POQ=¿______度时，线段Q 的最小值为______． 【题型6 求特殊角的三角函数值】 【例6】（2022·广东·东莞市东华初级中学九年级阶段练习）由4 个形状相同，大小相等的 菱形组成如图所示的格，菱形的顶点称为格点，点，B，都在格点上，∠=60°，则t∠B=（ ） ．1 3 B．1 2 ． ❑ √3 3 D． ❑ √3 2 【变式6-1】（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）计算： (1)3 tan30°+tan 45°+2sin30°． (2)cos 230 °+tan30 °×sin 60 °−❑ √2cos 45 °． 【变式6-2】（2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在Rt△B 中，∠B＝90°，若∠＝ 60°，＝6，则sin∠ABC＝____． 【变式6-3】（2022·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，在格中，小正方形的边长均为 1，点、B、都在格点上，则∠AOB的正切值是______． 1 【题型7 同角的三角函数值的证明或求值】 【例7】（2022·全国·九年级课时练习）下列结论中（其中α，β均为锐角），正确的是___ ________．（填序号） ①sin 2α+cos 2α=1；②cos2α=2cosα；③当0°<α<β<90°时，0<sin α<sin β<1； ④sin α=cosα ⋅tan α． 【变式7-1】（2022·江苏·镇江市外国语学校一模）已知sin α ⋅cosα=1 8，且0°<α<45°， 则cosα−sin α的值为___． 【变式7-2】（2022·福建莆田·一模）求证：若α 为锐角，则s2α+s2α＝1． 要求：①如图，锐角α 和线段m 用尺规作出一个以线段m 为直角边，α 为内角的Rt△B 保 留作图痕迹，不写作法） ②根据①中所画图形证明该命题． 【变式7-3】（2022·全国·九年级课时练习）已知sα，sα 为方程x 2+ px+q=0的两根，则 p、q 应满足的关系式为_______ 【题型8 互余两角的三角函数关系的计算】 【例8】（2022·全国·九年级课时练习）在△B 中，∠＝90°，s=3 5，则sB 等于( ) ．2 5 B．3 5 ．4 5 D．3 4 【变式8-1】（2022·全国·九年级单元测试）若α 为锐角，且sα＝12 13，则s(90°－α)的值是( ) ．5 13 B．12 13 ．5 12 D．12 5 【变式8-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知α，β都是锐角，且α+β=90°， sin α+cos β=❑ √3，则α=¿________． 【变式8-3】（2022·福建·龙海二中九年级阶段练习）李华在作业中得到如下结果： 1 tan7°⋅tan 83°=1 tan 22°⋅tan 68°=1 tan 29°⋅tan 61°=1 tan37°⋅tan53°=1 tan 45°⋅tan 45°=1 根据以上，李华猜想：对于任意锐角α，均有tan α ⋅tan (90°−α )=1 （1）当α=30°时，验证tan α ⋅tan (90°−α )=1是否成立； （2）李华的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例． （3）小明发现一次函数解析式中的k值（一次项系数的值）其实就是该一次函数图像与x 轴所形成的夹角的正切值，已知平面直角坐标系中有两条直线互相垂直，l1：y1=k1 x+b1， l2：y2=k2 x+b2(b1≠b2)，(k1⋅k2≠0)根据以上结论，探究当平面直角坐标系中两直线垂直 时k1和k2的数量关系，并画图证明． 【题型9 利用增减性判断三角函数的取值范围】 【例9】（2022·福建省泉州实验中学九年级期中）三角函数sin 40° 、cos16° 、tan50° 之间的大小关系是（ ） ．tan50°>cos16°>sin 40° B．cos16°>sin 40°>tan50° ．cos16°>tan50°>sin 40° D．tan50°>sin 40°>cos16° 【变式9-1】（2022·浙江·九年级专题练习）已知△ABC是锐角三角形，若AB> AC，则（ ） ．sin A<sin B B．sin B<sinC ．sin A<sinC D．sinC<sin A 【变式9-2】（2022·四川·西昌市俊波学校九年级阶段练习）已知 ❑ √3 2 <cos A<cos B，，B 均为锐角，则的取值范围是（ ） ．30°< A<B B．60°< A<B ．B< A<60° D．B< A<30° 【变式9-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，梯子地面的夹角为∠A，关于∠A的三 角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（ ） ．sin A的值越小，梯子越陡 B．cos A的值越小，梯子越陡 ．梯子的长度决定倾斜程度 D．梯子倾斜程度与∠A的函数值无关 1 【题型10 三角函数在等腰直角三角形中的应用】 【例10】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）如图1，等腰直角三角形B 中，∠ ＝90°，B＝＝10❑ √2m，D 为B 边上一点，t∠D＝1 5，点P 由点出发，以2m/s 的速度向终点 B 运动，连接PD，将PD 绕点D 逆时针旋转90°，得到线段DQ，连接PQ． (1)填空：B＝ ，BD＝ ； (2)点P 运动几秒，DQ 最短； (3)如图2，当Q 点运动到直线B 下方时，连接BQ，若S△BDQ＝8，求t∠BDQ； (4)在点P 运动过程中，若∠BPQ＝15°，请直接写出BP 的长． 【变式10-1】（2022·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标是 (0,−1)，点A1，A2，A3，A4，A5…所在直线与x 轴交于点B0(−2,0)，点B1，B2，B3， B4…都在x 轴上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3 B3 B4，…都是等腰直角三角形，则等腰 直角三角形A2022B2022B2023的腰长A2022B2022为_______________． 【变式10-2】（2022·广东深圳·九年级期末）如图1，分别以ΔABC的AB、AC为斜边间外 作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF，点G是AC的中点，连接DG、BF． 1 （1）求证：ΔADG∽ΔABF； （2）如图2，若∠BAC=90°，AB=2❑ √2，AC=3 ❑ √2，求∠AGD的正切值； （3）如图3，以ΔABC的BC边为斜边问外作等腰直角三角形BCE，连接EG，试探究线 段DG、EG的关系，并加以证明． 【变式10-3】（2022·江苏·扬州中学育集团树人学校一模）（1）【问题情境】数学活动课 上，老师出示了一个问题：如图1，在△B 中，∠B＝90°，＝B，直线M 经过点，E⊥M，垂 足为E，BF⊥M，垂足为F，则E 与F 的数量关系是 ． （2）【拓展探究】如图2，在△B 中，∠B＝90°，∠B＝30°，直线M 经过点，E⊥M，垂足 为E，BF⊥M，垂足为F，试猜想E 与F 的数量关系，并加以证明． （3）【迁移应用】如图3，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝8，B＝6，E 为的中点，F 为边B 上 一点，E＝F，P 为B 上一点（不与、B 重合），D 为射线EF 上一点，当△DP 为等腰直角三 角形时． ①t∠EF＝ ． ②求出BP 的长度． 1