专题23.1 旋转【十大题型】（原卷版）

专题231 旋转【十大题型】 【人版】 【题型1 关于原点对称的点的坐标】.....................................................................................................................1 【题型2 利用旋转的性质求角度】.........................................................................................................................2 【题型3 利用旋转的性质求线段长度】................................................................................................................. 3 【题型4 旋转中的坐标与图形变换】.....................................................................................................................4 【题型5 作图-旋转变换】........................................................................................................................................6 【题型6 中心对称图形及旋转对称图形】............................................................................................................. 8 【题型7 旋转中的周期性问题】.............................................................................................................................9 【题型8 旋转中的多结论问题】...........................................................................................................................10 【题型9 旋转中的最值问题】...............................................................................................................................12 【题型10 旋转的综合】.......................................................................................................................................... 13 【知识点1 关于原点对称的点的坐标】 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关 于原点对称点为（-x,-y）。 【题型1 关于原点对称的点的坐标】 【例1】（2022 春•平阴县期末）点（﹣2，3）与点B（，b）关于坐标原点对称，则+b 的 值为 ． 【变式1-1】（2022 秋•雨花区期末）若点（m，5）与点B（2，）关于原点对称，则3m+2 的值为 ． 【变式1-2】（2022 秋•常熟市期末）已知点P（2m 1 ﹣，﹣m+3）关于原点的对称点在第三 象限，则m 的取值范围是 ． 【变式1-3】（2022 春•永新县期末）已知点P（3+2，2+1）与点P′关于原点成中心对称， 若点P′在第二象限，且为整数，则关于x 的分式方程2 x−a x+1 =¿3 的解是 ． 【知识点2 旋转的定义】 1 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，就叫做图形的旋转，点叫做 旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 【知识点3 旋转的性质】 旋转的特征： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 【题型2 利用旋转的性质求角度】 【例2】（2022 春•梅州校级期末）如图，点是等边△B 内一点，∠B＝110°，将△B 绕点按顺 时针方向旋转60°得△D，连接D，若D＝D，则∠B 的度数为 ． 【变式2-1】（2022•南充）如图，将直角三角板B 绕顶点顺时针旋转到△B′′，点B′恰好落 在的延长线上，∠B＝30°，∠＝90°，则∠B′为（ ） ．90° B．60° ．45° D．30° 【变式2-2】（2022•天津一模）如图，在△B 中，B＝，∠B＝40°，点D 在边B 上，将△D 绕 点逆时针旋转40°，得到△D'B，且D'，D，三点在同一条直线上，则∠D 的大小为（ ） 1 ．20° B．30° ．40° D．45° 【变式2-3】（2022•城步县模拟）如图，P 为等边三角形B 内一点，∠PB：∠P：∠PB＝5： 6：7，则以P，PB，P 为三边构成的三角形的三个内角从小到大的度数之比为（ ） ．1：2：3 B．2：3：4 ．3：4：5 D．5：6：7 【题型3 利用旋转的性质求线段长度】 【例3】（2022 春•仪征市期末）如图，边长为1 的正方形BD 绕点逆时针旋转60°得到正 方形EFG，连接F，则F 的长是（ ） ．1 B．❑ √2 ．❑ √3 D．3 ❑ √2−3 【变式3-1】（2022 春•如皋市期末）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，＝3，B＝4．将△B 绕点 逆时针旋转得到△B′′，使点′落在B 边上，连接BB′，则B′B 的长为（ ） 1 ．2❑ √3 B．5 ．2❑ √5 D．6 【变式3-2】（2022•东莞市校级一模）如图，△B 中，∠B＝90°，＝4，B＝8，△B 绕点逆时 针旋转到△′B′处，此时线段′B′与B 的交点E 为B 的中点，则线段B′E 的长度为（ ） ．3❑ √5 B．12❑ √5 5 ．9 ❑ √5 5 D．16 ❑ √5 5 【变式3-3】（2022 春•和平区期末）如图，△B 与△DE 都是等边三角形，连接D，BE，D ＝4，B＝2，若将△DE 绕点顺时针旋转，当点、、E 在同一条直线上时，线段BE 的长为 （ ） ．2❑ √3 B．2❑ √7 ．❑ √3或❑ √7 D．2❑ √3或2❑ √7 【题型4 旋转中的坐标与图形变换】 【例4】（2022 秋•黄石期末）如图，线段B 与线段D 关于点P 对称，若点（，b）、B （5，1）、D（﹣3，﹣1），则点的坐标为（ ） 1 ．（﹣，﹣b） B．（﹣+2，﹣b） ．（﹣﹣1，﹣b+1） D．（﹣+1，﹣b 1 ﹣） 【变式4-1】（2022 秋•本溪期末）如图，在△B 中，＝4，B＝6，B＝2❑ √7，将△B 绕原点逆 时针旋转90°，则旋转后点的对应点′的坐标是（ ） ．（﹣4，2） B．（﹣2❑ √3，4） ．（﹣2❑ √3，2） D．（﹣2，2❑ √3） 【变式4-2】（2022 秋•西湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，△MP 绕原点逆时针旋转 90°得到△M11P1，若M（1，﹣2），则点M1的坐标为（ ） ．（﹣2，﹣1） B．（1，2） ．（2，1） D．（﹣1，﹣2） 【变式4-3】（2022•新抚区模拟）如图，Rt△B 的斜边在y 轴上，B¿ ❑ √3，∠B＝30°，直角 顶点B 在第二象限，将Rt△B 绕原点顺时针旋转120°后得到△′B'，则点的对应点′的坐标 是（ ） 1 ．（❑ √3，﹣1） B．（1，−❑ √3） ．（2，0） D．（❑ √3，0） 【知识点4 利用旋转性质作图】 旋转有两条重要性质： （1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。 步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 【知识点5 中心对称图形的定义】 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个 图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 【知识点6 中心对称的性质】 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 【知识点7 作一个图形关于某点对称的图形】 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称 中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。 【题型5 作图-旋转变换】 【例5】（2022 春•化州市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△B 的三个顶点分别是 （1，3），B（4，4），（2，1）． （1）把△B 向左平移4 个单位后得到对应的△1B11，请画出平移后的△1B11； （2）把△B 绕原点旋转180°后得到对应的△2B22，请画出旋转后的△2B22． 1 【变式5-1】（2022 春•洪雅县期末）如图，在所给格图（ 每小格均为边长是1 的正方形） 中完成下列各题： （1）将△B 向下平移5 个单位得△1B11，画出平移后的△1B11． （2）画出△B 关于点B 成中心对称的图形． （3）在直线l 上找一点P，使△BP 的周长最小． 【变式5-2】（2022 春•蒲城县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边 长为1 个单位长度的正方形，△B 的顶点坐标分别为（1，1），B（3，0），（2，3）． （1）将△B 向左平移4 个单位长度得到△1B11，点、B、的对应点分别为1、B1、1，请画出 △1B11，并写出点1的坐标； （2）以原点为旋转中心，将△B 顺时针旋转90°得到△2B22，点、B、的对应点分别为2、 B2、2，请画出△2B22． 1 【变式5-3】（2022 秋•利通区期末）方格纸中的每个小方格都是边长为1 个单位的正方形， 在建立平面直角坐标系后，△B 的顶点均在格点上． （1）画出△B 绕B 点顺时针旋转90°后的△1B11；并写出1、B1、1的坐标； （2）画出△B 关于原点对称的△2B22；并写出2、B2、2的坐标． 【题型6 中心对称图形及旋转对称图形】 【例6】（2022 秋•单县校级月考）如图所示的图中，是轴对称图形而不是中心对称图形的 个数是 ． 【变式6-1】（2022 秋•普陀区期末）在下列图形中：等腰三角形、等边三角形、正方形、 正五边形、平行四边形，等腰梯形，其中有 个旋转对称图形． 【变式6-2】（2022 秋•孝义市期中）2022 年2 月4 日﹣2 月20 日，北京冬奥会将隆重开幕， 1 北京将成为世界上第一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市．下面图片 是在北京冬奥会会徽征集过程中，征集到的一幅图片，整个图片由“京字组成的雪花 图”、“beg2022”、“奥运五环”三部分组成．对于图片中的“雪花图”，至少旋转 °能与原雪花图重合． 【变式6-3】（2022 春•景德镇期中）如图，由4 个全等的正方形组成的L 形图，请按下列 要求画图： （1）在图①中添加1 个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）； （2）在图②中添加1 个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）； （3）在图③中改变1 个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形， 又成轴对称图形． 【题型7 旋转中的周期性问题】 【例7】（2022 春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点P0 的坐标为 （1，0），将点P0绕着原点按逆时针方向旋转30°得到点P1，延长P1到P2，使得P2＝ 2P1；再将点P2绕着原点按逆时针方向旋转30°得到P3，延长P3到P4，使得P4＝2P3…… 如此继续下去，点P2023坐标为（ ） ．（﹣21010，❑ √3•21010） B．（0，21011） 1 ．（21010，❑ √3•21010） D．（❑ √3•21010，21010） 【变式7-1】（2022 秋•中原区校级期末）将△B 按如图方式放在平面直角坐标系中，其中 ∠B＝90°，∠＝30°，顶点的坐标为（1，❑ √3），将△B 绕原点逆时针旋转，每次旋转 60°，则第2023 次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ） ．(−1，❑ √3) B．(−❑ √3，1) ．(− ❑ √3 3 ，1) D．(−1， ❑ √3 3 ) 【变式7-2】（2022•开封一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形B 绕点顺时针选择 45°后，得到正方形1B11，以此方式，绕点连续旋转2022 次得到正方形2022B20222022，如果 点的坐标为（0，1），那么点B2022的坐标为（ ） ．(0，−❑ √2) B．(−❑ √2，0) ．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1） 【变式7-3】（2022 春•高州市期中）如图，矩形BD 的顶点，B 分别在x 轴、y 轴上，＝B ＝2，D＝4❑ √2，将矩形BD 绕点顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022 次旋转结束时， 点的坐标为（ ） ．（6，4） B．（﹣6，4） ．（4，﹣6） D．（﹣4，6） 【题型8 旋转中的多结论问题】 【例8】（2022•益阳）如图，已知△B 中，∠B＝20°，∠B＝30°，将△B 绕点逆时针旋转50° 得到△B′′，以下结论：①B＝B′′，②∥′B′，③′B′⊥BB′，④∠BB′＝∠′，正确的有（ ） 1 ．①②③ B．①②④ ．①③④ D．②③④ 【变式8-1】（2022 春•邗江区期末）如图，在正方形BD 中，B＝8，若点E 在对角线上运 动，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF、F．点P 在D 上，且P＝ 3PD．给出以下几个结论①EF¿ ❑ √2DE，②EF2＝E2+E2，③线段PF 的最小值是4❑ √2， ④△FE 的面积最大是16．其中正确的是（ ） ．①②④ B．②③④ ．①②③ D．①③④ 【变式8-2】（2022 春•双牌县期末）一副三角板如图摆放，点F 是45°角三角板B 的斜边 的中点，＝4．当30°角三角板DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时，直角边DF，EF 分别 与，B 相交于点M，．在旋转过程中有以下结论：①MF＝F；②四边形MF 有可能是正 方形：③M 长度的最小值为2；④四边形MF 的面积保持不变．其中正确结论的个数是 （ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【变式8-3】（2022 春•德州期中）如图，正方形BD 的对角线相交于点，点又是正方形 1B11的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论：①∠EF＝45°；② 正方形1B11绕点旋转时，四边形EBF 的面积随EF 的长度变化而变化；③△BEF 周长的 最小值为(1+❑ √2)OA；④E2+F2＝2B2．其中正确的结论有（ ） 1 ．①③ B．②③ ．①④ D．③④ 【题型9 旋转中的最值问题】 【例9】（2022•黄石）如图，等边△B 中，B＝10，点E 为高D 上的一动点，以BE 为边作 等边△BEF，连接DF，F，则∠BF＝ ，FB+FD 的最小值为 ． 【变式9-1】（2022 春•大埔县期中）如图，在Rt△B 和Rt△DE 中，∠B＝∠DE＝90°，＝D ＝3，B＝E＝5．连接BD，E，将△DE 绕点旋转一周，在旋转的过程中当∠DB 最大时， S△E＝（ ） ．6 B．6❑ √2 ．9 D．9❑ √2 【变式9-2】（2022 春•龙岗区期末）如图，点E 是等边三角形△B 边的中点，点D 是直线B 上一动点，连接ED，并绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中 F 的最小值为❑ √3+1，则B 的值为（ ） ．2 B．4 ❑ √3 ．2❑ √3 D．4 【变式9-3】（2022 春•南京期末）如图，在正方形BD 中，B＝4，E 为B 边上一点，点F 在B 边上，且BF＝1，将点E 绕着点F 顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG 的长 的最小值为（ ） 1 ．2 B．2❑ √2 ．3 D．❑ √10 【题型10 旋转的综合】 【例10】（2022 春•长沙期末）如图，有一副直角三角板如图1 放置（其中∠D＝45°，∠＝ 30°），P，PB 与直线M 重合，且三角板P，三角板PBD 均可以绕点P 逆时针旋转． （1）在图1 中，∠DP＝ ； （2）①如图2，若三角板PBD 保持不动，三角板P 绕点P 逆时针旋转，转速为10°/秒， 转动一周三角板P 就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有P∥DB 成立； ②如图3，在图1 基础上，若三角板P 的边P 从P 处开始绕点P 逆时针旋转，转速为3°/ 秒，同时三角板PBD 的边PB 从PM 处开始绕点P 逆时针旋转，转速为2°/秒，当P 转到 与P 重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠PD＝∠BPM 时，求旋转的时间 是多少？ 【变式10-1】（2022 春•南川区期末）如图，四边形BD 是正方形，点E 在B 的延长线上， 连接E，E 绕点E 逆时针旋转90°得到EF，连接F、F，F 与对角线BD 交于点G． （1）若BE＝2，求F 的长度； （2）求证：F+2BG¿ ❑ √2D． 【变式10-2】（2022•平邑县一模）在正方形BD 中，点E 在射线B 上（不与点B、重合）， 1 连接DB，DE，将DE 绕点E 逆时针旋转90°得到EF，连接BF． （1）如图1，点E 在B 边上． ①依题意补全图1； ②若B＝6，E＝2，求BF 的长； （2）如图2，点E 在B 边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF 之间的数量关系． 【变式10-3】（2022•泰安一模）如图，将矩形BD 绕着点B