专题15.1 分式【十大题型】（原卷版）

专题151 分式【十大题型】 【人版】 【题型1 分式的概念辨析】.....................................................................................................................................1 【题型2 分式有意义的条件】.................................................................................................................................2 【题型3 分式值为零的条件】.................................................................................................................................2 【题型4 分式的求值】............................................................................................................................................. 2 【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】......................................................................................3 【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】..............................................................................................3 【题型7 分式的规律性问题】.................................................................................................................................4 【题型8 分式的基本性质】.....................................................................................................................................4 【题型9 约分与通分】............................................................................................................................................. 5 【题型10 运用分式的基本性质求值】....................................................................................................................6 【知识点1 分式的定义】 一般地，如果、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式。 注：、B 都是整式，B 中含有字母，且B≠0。 【题型1 分式的概念辨析】 【例1】（2022·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）在 x 3 , 1 x+ y , 2 3 x , 3 y+2 2 x−1 , 1 2 , 2022 x 中，分式的个数有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【变式1-1】（2022·河南洛阳·八年级期中）若1 □是分式，则□不可以是（ ） ．3 π B．x+1 ．c−3 D．2 y 【变式1-2】（2022·陕西渭南·八年级期末）对于代数式①2 x ，②x 2 来说，有下列说法，正 确的是（ ） ．①、②均是分式 B．①是分式，②不是分式 ．①不是分式，②是分式 D．①、②均不是分式 【变式1-3】（2022·全国·八年级课时练习）下列各有理式，哪些是整式？哪些是分式？ 1 x+1 x+2 , m−3 m ,2−b 5a , a+3b 5 , 4 3−2 x , 1 x + y , m−n 4 ,− 2 3 y−1 , 2 x 2 x , 1 π ( x+ y)， 整式{ _______…}； 分式{________…}． 【题型2 分式有意义的条件】 【例2】（2022·广西桂林·八年级期中）无论取何值，下列分式总有意义的是（ ） ．a−1 a 2+1 B．a+1 a 2 ． 1 a 2−1 D．1 a+1 【变式2-1】（2022·浙江·八年级开学考试）当x=3时，分式x−b x+2b没有意义，则b 的值为 （ ） ．−3 B．−3 2 ．3 2 D．3 【变式2-2】（2022·甘肃·兰州市第五十二中学八年级期末）要使分式 x−3 x 2+6 x+9有意义， 那么x的取值范围是（ ） ．x≠3 B．x≠3且x≠−3 ．x≠0且x≠−3 D．x≠−3 【变式2-3】（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）写出一个分式，并保证无论字母取 何值分式均有意义 __________________． 【题型3 分式值为零的条件】 【例3】（2022·广东茂名·八年级期末）若分式 m+2 (m−2)(m+3)的值为零，则m=¿______． 【变式3-1】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学八年级期末）若分式x 2−1 1−x 的值为零，则x 的值为________． 【变式3-2】（2022·江苏无锡·八年级期末）分式x−y x+1 的值为0，则x、y 满足的条件为___ ___． 【变式3-3】（2022·山东菏泽·八年级期末）若分式¿ x−2∨−1 x 2−6 x+9 的值为0，则x 的值为 ____ _． 【题型4 分式的求值】 【例4】（2022·辽宁大连·八年级期末）已知x 2= y 3 = z 4 ，则xy−x 2 yz =¿_____． 【变式4-1】（2022·山东泰安·八年级期末）已知 1 a+b+c d =a+b+d c =a+c+d b =b+c+d a =m，则m的值______． 【变式4-2】（2022·山东济南·八年级期中）阅读下面的解题过程：已知 x x 2+1 =1 3，求 x 2 x 4+1 的值． 解：由 x x 2+1 =1 3知，x≠0，所以x 2+1 x =3，即x+ 1 x =3 所以x 4+1 x 2 =x 2+ 1 x 2=(x+ 1 x) 2 −2=3 2−2=7所以x 2 x 4+1 =1 7 该题的解法叫做“倒数法”． 已知： x x 2−3 x+1 =1 5 请你利用“倒数法”求 x 2 x 4+x 2+1 的值．求2 x 2−8 x+ 1 x 2的值． 【变式4-3】（2022·福建·九年级专题练习）若2 x−y+4 z=0，4 x+3 y−2 z=0．则 xy+ yz+zx x 2+ y 2+z 2 的值为______ 【题型5 求分式的值为正（负）时未知数的取值范围】 【例5】（2022·全国·八年级专题练习）已知分式x+4 x 2 的值是正数，那么x 的取值范围是 （ ） ．x＞0 B．x＞-4 ．x≠0 D．x＞-4 且x≠0 【变式5-1】（2022·山东·东平县江河国际实验学校八年级阶段练习）使分式x 2+1 1−3 x 的值为 负的条件是（ ） ．x＜0 B．x＞0 ．x＞1 3 D．x＜1 3 【变式5-2】（2022·上海民办兰生复旦中学七年级期末）若分式x+1 (x−1) 2的值大于零，则 x 的取值范围是_______________ 【变式5-3】（2022·全国·八年级单元测试）若分式|x|−2 3 x−2的值是负数，则x的取值范围是 （ ） 1 ．2 3 <x<2 B．x> 2 3或x←2 ．−2<x<2且x≠2 3 D．2 3 <x<2或x←2 【题型6 求分式的值为整数时未知数的取值范围】 【例6】（2022·浙江舟山·七年级期末）若2 x 2 x+3表示一个整数，则整数x 可取的个数有___ ___个． 【变式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中学七年级阶段练习）若m为整数，则能使 m 2−2m+1 m 2−1 的值也为整数的m是______． 【变式6-2】（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）已知k= 6 x+4 2 x−1，则满足k 为整数的所有 自然数x 的值 __________ ． 【变式6-3】（2022·浙江衢州·七年级期末）阅读理解：我们知道：当是的因数时，c a（、 为整数）的值是整数．例如，当a=±1或±2时，2 a的值是整数；又如，因为 3m+5 m =3+ 5 m，所以当m=±1或±5时，3m+5 m 的值是整数． （1）如果分式a+8 a+3的值是整数，那么的正整数值是_______． （2）如果分式x 2−4 x−7 x−4 的值是整数，那么x 的负整数值是_______． 【题型7 分式的规律性问题】 【例7】（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）若a≠2，则我 们把2 2−a称为的“友好数”，如3 的“友好数”是2 2−3=−2，−2的“友好数”是 2 2−(−2)=1 2，已知a1=3，a2是a1的“友好数”，a3是a2的“友好数”，a4是a3的“友好 数”，……，依此类推，则a2021=¿（ ） ．3 B．−2 ．1 2 D．4 3 【变式7-1】（2022·青海·海东市育研究室八年级期末）给定一列分式：x 3 y ，−x 5 y 2 ，x 7 y 3， −x 9 y 4 ，…根据你发现的规律，试写出第6 个分式为__________．第（为正整数）个分式为_ 1 _________． 【变式7-2】（2013·江苏徐州·一模）如果记y＝x 2 1+x 2＝f（x），并且f（1）表示当x＝1 时 y 的值，即f（1）＝1 2 1+1 2＝1 2；f（1 2）表示当x＝1 2时y 的值，即f（1 2）＝ ( 1 2 ) 2 1+( 1 2 ) 2＝1 5； 那么f（1）＋f（2）＋f（1 2）＋f（3）＋f（1 3）＋…＋f（2013）＋f（ 1 2013）＝_____． 【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）已知 a>0,S1=1 a ,S2=−S1−1,S3= 1 S2 ,S4=S3−1,S5= 1 S4 ，·……，(即当n为大于1的奇数时， Sn= 1 Sn−1 ；当n为大于1的偶数时，Sn=−Sn−1−1），按此规律，S2020=¿______________ _________． 【知识点2 分式的基本性质】 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0 的整式，分式的值不变。 A B = A⋅C B⋅C ； （≠0）。 【题型8 分式的基本性质】 【例8】（2022·湖南·临武县第六中学八年级阶段练习）下列运算正确的是（ ） ．−x−y −x+ y ＝x−y x+ y B．a 2−b 2 (a−b) 2＝a+b ．a 2−b 2 (a−b) 2＝a−b D．x−1 1−x 2＝−1 x+1 【变式8-1】（2022·全国·八年级专题练习）将x 0.2−0.5+0.01 x 0.03 =1的分母化为整数，得（ ） ．x 2−0.5+0.01 x 3 =1 B．5 x−50+x 3 =100 ．x 20−0.5+0.01 x 3 =100 D．5 x−50+x 3 =1 【变式8-2】（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）若把分式x−y axy （xy≠0 且x≠y）中的x 和y 都扩大为原来的3 倍，那么分式的值（ ） ．变为原来的3 倍 B．变为原来的1 3 ．不变 D．变为原来的1 9 1 【变式8-3】（2022·山东·八年级课时练习）不改变分式2−3 x 2+x −5 x 3+2 x−3 的值，使分子、分 母最高次项的系数为正数，正确的是（） ．3 x 2+x+2 5 x 3+2 x−3 B．3 x 2−x+2 5 x 3+2 x−3 ．3 x 2+x−2 5 x 3−2 x+3 D．3 x 2−x−2 5 x 3−2 x+3 【题型9 约分与通分】 【例9】（2022·全国·九年级专题练习）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（ ） ．x+1 x 2−1约分的结果是1 x B．分式 1 x 2−1与1 x−1的最简公分母是x 1 ﹣ ．2 x x 2 约分的结果是1 D．化简 x 2 x 2−1 ﹣ 1 x 2−1的结果是1 【变式9-1】（2022·上海市徐汇中学七年级阶段练习）分式 2 a 2+ab ， 3 ab+b 2 ， a a 2−ab−2b 2的最简公分母是_____________________ 【变式9-2】（2022·山东·宁阳县第十一中学八年级阶段练习）化简下列分式 (1)12 x 5 y 2 z 4 −18 x 3 z 7 (2)m 2−3m 9−m 2 (3) a 2+ab a 2+2ab+b 2 (4) (b−a) 2 2(a−b) 【变式9-3】（2022·全国·八年级课时练习）将下列式子进行通分． （1） 1 2ab 3和 2 5a 2b 2c （2）a 2 xy 和b 3 x 2 （3）3c 2ab 2和 a 8bc 2 1 （4） 1 y−1和1 y+1 【题型10 运用分式的基本性质求值】 【例10】（2022·江苏·八年级专题练习）已知三个正数a，b，c满足abc=1，则 a ab+a+1 + b bc+b+1 + c ac+c+1的值为（ ） ．2 B．3 ．－1 D．1 【变式10-1】（2022·江苏无锡·八年级期中）已知1 x −1 y =2， x−y+xy 2 xy−3 x+3 y =¿________． 【变式10-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知a、b、c为有理数，且ab a+b=1， bc b+c =1 2，ac a+c =1 3，那么 abc ab+bc+ca的值是多少？ 【变式10-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知a、b、c、d、e、f 都为正数， bcdef a =1 2，acdef b = 1 4 ，abdef c =1 8，abcef d =2，abcdf e =4，abcde f =8，则 a 2+b 2+c 2+d 2+e 2+f 2=¿________． 1