专题4.4 角【十大题型】（原卷版）

专题44 角【十大题型】 【人版】 【题型1 角的概念及角的度量】.............................................................................................................................2 【题型2 角的单位及其换算】.................................................................................................................................2 【题型3 角的计数问题】.........................................................................................................................................3 【题型4 钟面上角的特征】.....................................................................................................................................4 【题型5 方向角】..................................................................................................................................................... 5 【题型6 与角平分线相关的角的运算】................................................................................................................. 7 【题型7 与角等分线相关的角的运算】................................................................................................................. 8 【题型8 在三角板中的角的运算】.......................................................................................................................11 【题型9 余角和补角的计算】...............................................................................................................................13 【题型10 同（等）角的余角和补角相等的运用】..............................................................................................14 【知识点1 角的概念】 定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射 线是角的两条边． 定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内 部． 【知识点2 角的表示方法】 表示方法 图例 记法 适用范围 用三个大写字母 表示 B 或B 任何情况下都适应表示端点的字 母必须写在中间 用一个大写字母 表示  以这个点为顶点的角只有一个 用数字表示 1 任何情况下都适用但必须在靠近 顶点处加上弧线表示角的范围， 并注上数字或希腊字母 用希腊字母表示  【题型1 角的概念及角的度量】 【例1】（2022·甘肃兰州·七年级期末）下列说法中正确的是（ ） ．由两条射线组成的图形叫做角 B 1  1 B．角的大小与角的两边长度有关 ．角的两边是两条射线 D．用放大镜看一个角，角的度数变大了 【变式1-1】（2022·山东淄博·期中）∠ACB的两边分别是（ ） ．射线、B B．射线，B ．线段，B D．直线，B 【变式1-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，用量角器度量∠B，可以读出∠B 的度数 为______°． 【变式1-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图，下列说法错误的是（ ） ．∠AOB也可用∠O来表示 B．∠β与∠BOC是同一个角 ．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC D．∠1与∠AOB是同一个角 【题型2 角的单位及其换算】 【例2】（2022·山东烟台·期中）若∠1=25°15 '，∠2=25°13 '30 ″，∠3=25.35°，则 （ ） ．∠3>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠3 ．∠1>∠3>∠2 D．∠1>∠2>∠3 【变式2-1】（2022·全国·七年级单元测试）下面等式成立的是（ ） ．83.5 °=83 °50 ' B．90 °−57 °23 ＇27 ＂=32 °37 ＇33 ＂ ．15 ° 48 '36 ' '+37 °27 ＇59 ＂=52 °16 ＇35 ＂ D．41.25 °=41 °15 ＇ 【变式2-2】（2022·江苏·江阴市敔山湾实验学校七年级阶段练习）计算： (1)45°10 21°35 20 ′﹣ ′ ′′； (2)48°39 +67°31 21°17 ′ ′﹣ ′； 1 (3)42°16 +18°23 ×2 ′ ′ ． 【变式2-3】（2022·天津南开·七年级期末）如图1 是一个1 4 的圆（∠B=90°），芳芳第一次 在图1 中画了一条线，将图1 等分成2 份，第二次又加了两条线，将图1 等分成4 份，第三 次由加了四条线，将图1 等分成8 份，第四次又加了八条线，将图1 等分成16 份，如图2 所示，则第（＞1）次可将图1 等分成_____份，当=5 时，图1 中的每份的角度是_____（用 度，分，秒表示） 【题型3 角的计数问题】 【例3】（2022·福建龙岩·七年级期末）在锐角∠B 内部，画出1 条射线，可以画出3 个锐角； 画出2 条不同的射线，可以画出6 个锐角；画出3 条不同的射线，可以画出10 个锐角．照 此规律，画19 条不同的射线，可以画出锐角的个数为（ ） ．165 B．186 ．199 D．210 【变式3-1】（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校期中）如图所示，∠AOB=90°， 则图中锐角有（ ） ．12 个 B．14 个 ．15 个 D．16 个 【变式3-2】（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）如图，线段条数为m，小于平角的角的个 数为n，则n−m的值为（ ） 1 ．4 B．3 ．2 D．1 【变式3-3】（2022·湖南娄底·七年级期末）在一幅七巧板中，有我们学过的（ ） ．8 个锐角，6 个直角，2 个钝角 B．12 个锐角，9 个直角，2 个钝角 ．8 个锐角，10 个直角，2 个钝角 D．6 个锐角，8 个直角，2 个钝角 【知识点3 钟表上有关夹角问题】 钟表中共有12 个大格，把周角12 等分、每个大格对应30°的角，分针1 分钟转6°，时针每 小时转30°，时针1 分钟转05°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【题型4 钟面上角的特征】 【例4】（2022·贵州·仁怀市周林学校七年级阶段练习）下列说法中正确的是（ ） ．3 时30 分，时针与分针的夹角是90° B．6 时30 分，时针与分针重合 ．8 时45 分，时针与分针的夹角是30° D．9 时整，时针与分针的夹角是90° 【变式4-1】（2022·河南洛阳·七年级期末）时钟的分针从8 点整转到8 点20 分，分针旋转 了（ ）度． ．20 B．120 ．90 D．150 【变式4-2】（2022·山东烟台·期中）当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，此 时的时刻是 ______． 【变式4-3】（2022·全国·七年级单元测试）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．一天 24 小时中，当钟面角为0°时，时针与分针重合_____次． 【知识点4 方向角】 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线的方向是北偏东 60°；射线B 的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就 叫做方向角． 【题型5 方向角】 【例5】（2022·山东烟台·期末）如图，某海域中有，B 两个小岛，其中B 在的北偏东40° 方向，那么小岛相对于小岛B 的方向是（ ） 1 ．南偏东40° B．北偏东50° ．南偏西40° D．北偏西50° 【变式5-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图，甲从点出发向北偏东70°方向走到点B， 乙从点出发向南偏西15°方向走到点，则∠B 的度数是（ ） ．85° B．105° ．125° D．160° 【变式5-2】（2022·全国·八年级课时练习）如图，渔船的方向可以由距小岛20 km 和在小 岛的西南方向这两个数据来确定．问： (1)渔船B 相对小岛的位置应怎样表述？ (2)小岛的北偏东30°方向，距离小岛30 km 处是哪艘渔船？ 【变式5-3】（2022·重庆綦江·七年级期中）某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队 司令部把部队分为“蓝军”、“红军”两方．蓝军的指挥所在地，红军的指挥所地B 地， 地在B 地的正西边（如图）．部队司令部在地．在的北偏东60°方向上、在B 的北偏东 30°方向上． 1 (1)∠BAC=¿______°； (2)演习前，司令部要蓝军、红军派人到地汇报各自的准备情况．红军一辆吉普车从B地出 发、蓝军一部越野车在吉普车出发3 分钟后从地出发，它们同时到达地．已知吉普车行驶 了18 分钟．到的距离是B 到的距离的17 倍．越野车速度比吉普车速度的2 倍多4 千米． 求越野车、吉普车的速度及B 地到地的距离（速度单位用：千米/时）． 【知识点5 角的比较与运算】 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠B 和∠′′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠B＜∠′′B′；由图(2)可得∠B＝∠′′B′； 由图(3)可得∠B＞∠′′B′． 【知识点6 角的和、差关系】 如图所示，∠B 是∠1 与∠2 的和，记作：∠B＝∠1+ 2 ∠；∠1 是∠B 与∠2 的差，记作：∠1＝ ∠B- 2 ∠． 【知识点7 角平分线】 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所 示，是∠B 的角平分线，∠B＝2∠＝2 B ∠， ∠＝∠B =1 2 B ∠． 【题型6 与角平分线相关的角的运算】 【例6】（2022·江西省遂川县育局学研究室七年级期末）如图，∠AOB=90°， ∠BOC =α \(0°<α <180°\)，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线． 1 (1)如图1，当OC在OB左侧，且α =80 ∘时，∠DOE的度数是_________； (2)当OC的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究∠DOE的大小与α的数量 关系； (3)当∠DOE的度数为36°时，请直接写出α的度数． 【变式6-1】（2022·山东烟台·期末）有公共顶点的两个角，∠AOB=∠COD，且OE为 ∠BOC的角平分线． (1)如图1，请探索∠AOE和∠DOE的大小关系，并说明理由； (2)如图2，∠AOE和∠DOE是否仍然满足（1）中关系？请说明理由； (3)若∠AOB=90°，∠AOC=64°，求出∠BOE的度数． 【变式6-2】（2022·山东济南·七年级期末）如图1，已知∠B＝60°，M 平分∠B． (1)∠BM＝________； (2)若在图1 中画射线，使得∠B＝20°，平分∠B，求∠M 的大小； (3)如图2，若线段与B 分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠B＝60°，在时针与分针 1 转动过程中，M 始终平分∠B，则经过多少分钟后，∠BM 的度数第一次等于50°． 【变式6-3】（2022·内蒙古·察哈尔右翼前旗学研究室七年级期末）已知∠AOB内部有三 条射线，其中，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC． （1）如图1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数； （2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）； （3）若将题中的“平分”条件改为“3∠EOB=∠COB，3∠COF=2∠COA”，且 ∠AOB=α，用含α的式子表示∠EOF的度数为 ． 【题型7 与角等分线相关的角的运算】 【例7】（2022·贵州毕节·七年级阶段练习）如图，点、、B 三点在一直线上，从点引射线 D、E、F，∠DE＝1 3∠E，∠FE＝1 3∠EB． (1)求∠DF 的大小，并说明理由； (2)当∠DE＝1 n∠E，∠FE＝1 n∠EB 时，直接写出∠DF 的大小（用含的代数式表示）． 【变式7-1】（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，在∠B 的内部有3 条射线、D、E，若∠＝ 70°，∠BE＝1 n∠B，∠BD＝1 n∠B，则∠DE＝________°．（用含的代数式表示） 1 【变式7-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知:∠AOB和∠COD是直角． （1）如图，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系； （2）如图2，当射线OA ,射线OB都在∠COD外部时，过点О作射线OE，射线OF，满足 ∠BOE=1 3 ∠BOC，∠DOF=2 3 ∠AOD，求∠EOF的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得 ∠GOF :∠GOE=2:3，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOF的度数． 1 【变式7-3】（2022·江苏淮安·七年级期末） 【阅读理解】 射线是∠B 内部的一条射线，若∠＝1 2∠B，则称射线是射线在∠B 内的一条“友好线”．如 图1，若∠B＝75°，∠＝25°，则∠＝1 2∠B，所以射线是射线在∠B 内的一条“友好线”． 【解决问题】 (1)在图1 中，若作∠B 的平分线D，则射线D （填“是”或“不是”）射线B 在∠B 内的一条“友好线”； (2)如图2，∠B 的度数为，射线M 是射线B 在∠B 内的一条“友好线”，平分∠B，则∠M 的 度数为 （用含的代数式表示）； (3)如图3，射线B 先从与射线重合的位置出发，绕点以每秒1°的速度逆时针旋转；10 秒后 射线也从与射线重合的位置出发，绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，当射线与射线的延长 线重合时，运动停止．问：当射线运动时间为多少秒时，射线，B，中恰好有一条射线是 1 余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 【题型8 在三角板中的角的运算】 【例8】（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学七年级阶段练习）将一副三角板如图1摆放． ∠AOB=60°，∠COD=45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB． (1)∠MON=¿ ___________ ； (2)将图1中的三角板OCD绕点D旋转到图2的位置，求∠MON； (3)将图1中的三角板OCD绕点D旋转到图3的位置，求∠MON． 【变式8-1】（2022·山东枣庄·七年级期中）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进 行探究． (1)如图①，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若E 恰好是∠B 的平分线，请你猜 想此时B 是不是∠ED 的平分线，并简述理由； (2)如图②，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，若B 始终在∠DE 的内部，请猜想 ∠E 与∠DB 是否相等，并简述理由． 【变式8-2】（2022·福建福州·七年级期末）在一次数学活动课上，李磊同学将一副宜角三 角板ABC、ADE按如图1 放置，点、、D 在同一直线上，（∠EAD=30°、 ∠BAC=45°），并将三角板ABC绕点顺时针旋转一定角度，且始终保持 0°<∠CAD≤30°． 1 (1)在旋转过程中，如图2，当点、、E 在同一直线上时，则∠BAD=¿____； (2)在旋转过程中，如图3，当∠BAE=30°时．请说明AC平分∠DAE； (3)在旋转过程中，如图4，当∠BAE=4∠CAD时，求此时∠CAE的度数． 【变式8-3】（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）以直线AB上一点O为端点作射线 OC，使∠BOC=30°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE=90°． (1)如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD=¿______； (2)如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置， ①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD=¿______； ②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE的数量关系为______； (3)将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有 1 ∠COD=1 5 ∠AOE，求此时∠BOD的度数． 【知识点8 余角和补角】 （1）定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一 个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一 个角的补角． （2）性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 【题型9 余角和补角的计算】 【例9】（2022·河南平顶山·七年级期中）如图，点在直线B 上，CO⊥AB，∠1=28°， E 是∠AOD的平分线，OF ⊥OE． (1)求∠AOE的度数． (2)找出图中与∠BOF互补的角，并求出∠BOF补角的度数． 【变式9-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个角的余角比它的 补角的1 5还少2°，则这个角的度数是_______． 【变式9-2】（2022·新疆·乌鲁木齐市第136 中学七年级期末）如图，是直线B 上一点，为 任意一条射线，D 平分∠B，E 平分∠． (1)图中∠D 的补角是 和 ；∠BD 的余角是 和 ． (2)已知∠COD=40°，求∠E 的度数． 【变式9-3】（2022·全国·七年级）已知：如图所示，D 平分∠B，E 平分∠．若∠B=70°， ∠=50°． 1 （1）求出∠B 及其补角的度数； （2）求出∠