专题26.2 反比例函数的应用【六大题型】（原卷版）

专题262 反比例函数的应用【六大题型】 【人版】 【题型1 图形问题】................................................................................................................................................. 1 【题型2 表格问题】................................................................................................................................................. 2 【题型3 工程问题】................................................................................................................................................. 4 【题型4 行程问题】................................................................................................................................................. 5 【题型5 销售问题】................................................................................................................................................. 6 【题型6 物理问题】................................................................................................................................................. 8 【知识点1 反比例函数的应用】 求函数解析式的方法： （1）待定系数法 （2）根据实际意义求函数解析式 【题型1 图形问题】 【例1】（2022 秋•岳阳月考）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科 技BD，其中一边B 靠墙，墙长为12m，设D 的长为xm，D 的长为ym． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）根据实际情况，对于（1）式中的函数自变量x 能否取值为4m，若能，求出y 的值， 若不能，请说明理由； （3）若围成矩形科技BD 的三边材料总长不超过26m，材料D 和D 的长都是整米数， 求出满足条件的所有围建方． 【变式1-1】（2022 秋•曲阳县期末）一菱形的面积为12m2，它的两条对角线长分别m， bm，则与b 之间的函数关系为＝ ；这个函数的图象位于第 象限． 【变式1-2】（2022•滨江区二模）用若根火柴首尾相接摆成一个矩形，设每一根火柴的长 度为1，矩形两条邻边的长分别别为x，y，要求摆成的矩形的面积为8． （1）求y 关于x 的函数表达式； （2）能否摆成正方形？请说明理由． 1 【变式1-3】（2022 春•江干区期末）在面积都相等的所有三角形中，当其中一个三角形的 一边长x 为1 时，这条边上的高y 为6． （1）①求y 关于x 的函数表达式； ②当x≥3 时，求y 的取值范围； （2）小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4，小赵说有一个三角形的一 边与这边上的高之和为6．你认为小李和小赵的说法对吗？为什么？ 【题型2 表格问题】 【例2】（2022•新华区校级一模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软 件在24 周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x 周该软件的周销售量为T（单位： 千套），当0＜x≤8 时，T 与x+4 成反比；当8＜x≤24 时，T 2 ﹣与x 成正比，并预测得到 了如表中对应的数据．设第x 周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K 与x 满足如图中的函数关系图象： x/周 8 24 T/千套 10 26 （1）求T 与x 的函数关系式； （2）观察图象，当12≤x≤24 时，K 与x 的函数关系式为 ． （3）设第x 周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则： ①在这24 周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个 不变的值；若不存在，请说明理由． ②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销 售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T 的最小值和最大 值． 【变式2-1】（2022 春•郑州期末）小涂在课余时间找到了几副度数不同的老花镜，让镜片 正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小（可以认为是焦点），此时他测 了镜片与光斑的距离（可以当做焦距），得到如下数据： 老花镜的度数 100 120 200 250 300 1 D/度 焦距f/m 1 08 05 04 03 （1）老花镜镜片是 （凸的、凹的、平的），度数越高镜片的中心 （越薄、 越厚、没有变化）； （2）观察表中的数据，可以找出老花镜的度数D 与镜片焦距f 的关系，用关系式表示 为： ； （3）如果按上述方法测得一副老花镜的焦距为07m，可求出这幅老花镜的度数为 ． 【变式2-2】（2022 春•社旗县期中）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验： 在一个自制问题似天平的仪器的左边固定托盘中放置一个重物，在右边活动托盘B（可 左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B 与点的距离x （m），观察活动托盘B 中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如下表： x（m） 10 15 20 25 30 y（g） 30 20 15 12 10 （1）猜测y 与x 之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证； （2）当砝码的质量为24g 时，活动托盘B 与点的距离是多少？ （3）将活动托盘B 往左移动时，应往活动托盘B 中添加还是减少砝码？ 【变式2-3】（2022 春•常州期末）某公司从2014 年开始投入技术改进资金，经技术改进 后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表： 年度 投入技改资金x/万元 产品成本y/（万元/件） 2014 25 144 2015 3 12 2016 4 9 2017 45 8 （1）分析下表中数据，请从一次函数和反比例函数中确定一个函数表示其变化规律， 直接写出y 与x 的函数关系式： （2）按照这种变化规律，若2018 年已投入资金6 万元． ①预计2018 年每件产品比2017 年降低多少万元？ ②若计划在2018 年把每件产品成本降低到5 万元，则还需要投入技改资金多少万元？ 1 【题型3 工程问题】 【例3】（2022•市南区校级二模）新冠肺炎疫情发生后，社会各界积极行动，以各种方式 倾情支援湖北疫区，某车队需要将一批生活物资运送至湖北疫区．已知该车队计划每天 运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间满足如图所示的反比例函数关系． （1）求该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式； （不需要写出自变量x 的取值范围） （2）根据计划，要想在5 天之内完成该运送任务，则该车队每天至少要运送多少吨物 资？ （3）为保证该批生活物资的尽快到位，该车队实际每天运送的货物吨数比原计划多了 25%，最终提前了1 天完成任务，求实际完成运送任务的天数． 【变式3-1】（2022•市南区模拟）某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务 的时间y（）是参加植树人数x（人）的反比例函数，且当x＝20 人时，y＝3． （1）若平均每人每小时植树4 棵，则这次共计要植树 240 棵； （2）当x＝80 时，求y 的值； （3）为了能在15 内完成任务，至少需要多少人参加植树？ 【变式3-2】（2022•仙居县一模）县政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方 总量为6×105（单位：m3），某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）运输公司平均运送速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天） 之间具有怎样的函数关系？ （2）这个运输公司共有80 辆卡车，每天可运送土石方104（单位：m3），公司完成全 部运输任务需要多长时间？ （3）当公司以问题（2）中的速度工作了30 天后，由于工程进度的需要，剩下的运输 任务必须在20 天内完 成，则运输公司至少要增加多少辆卡车？ 【变式3-3】（2022 秋•商州区校级期末）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天 装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图 所示． 1 （1）求这个反比例函数的表达式； （2）由于紧急情况，要求船上的货物不超过5 天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货 多少吨？ （3）若码头原有工人10 名，且每名工人每天的装卸量相同，装载完毕恰好用了8 天时 间，在（2）的条件下，至少需要增加多少名工人才能完成任务？ 【题型4 行程问题】 【例4】（2022 春•宜兴市校级期末）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80 千米/小时的平 均速度用6 小时到达目的地． （1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）之间的函数 关系式； （2）如果该司机匀速返回时，用了48 小时，求返回时的速度； （3）若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每 小时120 公里，最低车速不得低于每小时60 公里，试问返程时间的范围是多少？ 【变式4-1】（2022 春•相城区期末）一列货车从北京开往乌鲁木齐，以58km/的平均速度 行驶需要65．为了实施西部大开发，京乌线决定全线提速． （1）如果提速后平均速度为vkm/，全程运营时间为t 小时，试写出t 与v 之间的函数表 达式； （2）如果提速后平均速度为78km/，求提速后全程运营时间； （3）如果全程运营的时间控制在40 内，那么提速后，平均速度至少应为多少？ 【变式4-2】（2022•丽水）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售， 记汽车行驶时间为t 小时，平均速度为v 千米/小时（汽车行驶速度不超过100 千米/小 时）．根据经验，v，t 的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 400 375 353 333 316 （1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表 达式； 1 （2）汽车上午7：30 从丽水出发，能否在上午10：00 之前到达杭州市场？请说明理由； （3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t 满足35≤t≤4，求平均速度v 的取值范围． 【变式4-3】（2022•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台B 距x 轴（水平）18 米， 与y 轴交于点B，与滑道y¿ k x （x≥1）交于点，且B＝1 米．运动员（看成点）在B 方向 获得速度v 米/秒后，从处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力 实验表明：M，的竖直距离（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t＝1 时＝5， M，的水平距离是vt 米． （1）求k，并用t 表示； （2）设v＝5．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y，并求y 与x 的关系式（不写x 的取 值范围），及y＝13 时运动员与正下方滑道的竖直距离； （3）若运动员甲、乙同时从处飞出，速度分别是5 米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴18 米， 且乙位于甲右侧超过45 米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围． 【题型5 销售问题】 【例5】（2022 秋•新都区期末）2020 年9 月，中国在联合国大会上向世界宣布了2030 年 前实现碳达峰、2060 年前实现碳中和的目标．为推进实现这一目标，某工厂投入资金进 行了为期6 个月的升级改造和节能减排改造，导致月利润明显下降，改造期间的月利润 与时间成反比例函数关系；到6 月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个 月增加30 万元．设2021 年1 月为第1 个月，第x 个月的利润为y 万元，其图象如图所 示，试解决下列问题： （1）分别写出该工厂对生产线进行升级改造前后y 与x 的函数表达式； （2）当月利润少于90 万元时，为该工厂的资金紧张期，则该工厂资金紧张期共有几个 月． 1 【变式5-1】（2022•定海区模拟）某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行40 场产品 促销会，已知该产品每台成本为10 万元，设第x 场产品的销售量为y（台），第一场销 售产品49 台，然后每增加一场，产品就少卖出1 台． （1）第5 场销售多少台产品？并求出y 与x 之间的函数关系式． （2）产品的每场销售单价P（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价为10 万元，第1 场～第20 场浮动价与销售场次x 成正比，第21 场～第40 场浮动价与销售场 次x 成反比，经过统计，得到如表数据： x（场） 3 10 36 P（万元） 106 12 13 ①求P 与x 之间满足的函数关系式． ②当产品销售单价为136 万元时，求销售场次是第几场？ ③在这40 场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 【变式5-2】（2022•河北模拟）小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区 提供的免费摊点卖玩具，已知小米所有玩具的进价均2 元/个，在销售过程中发现：每天 玩具销售量y 件与销售价格x 元/件的关系如图所示，其中B 段为反比例函数图象的一部 分，B 段为一次函数图象的一部分，设小米销售这种玩具的日利润为元． （1）根据图象，求出y 与x 之间的函数关系式； （2）求出每天销售这种玩具的利润（元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求每天 利润的最大值； （3）若小米某天将价格定为超过4 元（x＞4），那么要使得小米在该天的销售利润不 低于54 元，求该天玩具销售价格的取值范围． 【变式5-3】（2022•青羊区模拟）某学校小组利用暑假中前40 天参加社会实践活动，参与 了一家上书店的经营，了解到一种成本为20 元/本的书在x 天销售量p＝50﹣x，在第x 天的售价为y（元/本），y 与x 的关系如图所示．已知当社会实践活动时间超过一半后． y＝20+315 x 1 （1）请求出当1≤x≤20 时，y 与x 的函数关系式，请问第几天此书的销售单价为35 元/本？ （2）这40 天中该点销售此书第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？ 【题型6 物理问题】 【例6】（2022•青秀区校级一模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热 到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（m）成反比例关 系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y 与通 电时间x 之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） ．水温从20℃加热到100℃，需要7m B．水温下降过程中，y 与x 的函数关系式是y¿ 400 x ．上午8 点接通电源，可以保证当天9：30 能喝到不超过40℃的水 D．水温不低于30℃的时间为77 3 m 【变式6-1】（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测， 结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的10mg/L． 环保局要求该企业立即整改，在15 天内（含15 天）排污达标．整改过程中，所排污水 中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3 天的 变化规律，第3 天时硫化物的浓度降为45mg/L．从第3 天起，所排污水中硫化物的浓度 y 与时间x 满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度 45 27 225 15 …… 1 y（mg/L） （1）在整改过程中，当0≤x＜3 时，硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式； （2）在整改过程中，当x≥3 时，硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式； （3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15 天以内不超过最高允许的10mg/L？为什 么？ 【变式6-2】（2022 秋•温州期末）项目化成果展示了一款简易电子秤：可变电阻上装有托 盘（质量忽略不计），测得物品质量x（kg）与可变电阻y（Ω）的多组对应值，画出函 数图象（如图1）．图2 是三种测量方，电源电压恒为8V，定值电阻为30Ω，与可变电 阻串联． 【链接】串联电路中，通过两个电阻的电流相等，¿ U R ．可变电阻、定值电阻两端的电 压之和为8V，则有（y+30）＝8． （1）求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围． （2）三个托盘放置不同物品后，电表，V0，V1的读数分别为01，6V，4V．请从以下方 中选择一个，求出对应物品的质量是多少kg？ （3）小明家买了某散装大米65kg，为了检验商家是否存在缺斤少两的情况，请你将大 1 米分批称重，用方一、二、三来进行检验，设大米为（60＜≤65）kg，前两次称合适的 千克数，第3 次用含的代数式表示，请填写如表． 第1 次（方一） 第2 次（方二） 第3 次（方三） 大米（kg） 读数 ＝ V0＝ V V1≥ V 【变式6-3】（2022 春•盱眙县期末）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品， 如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（）变化的 函数图象，其中B 段是恒温阶段，B 段是双曲线y¿ k x 的一部分，请根据图中信息解答下 列问题： （1）求k 的值； （2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？ 1