专题16.3 期中期末专项复习之轴对称十六大必考点（原卷版）

专题163 轴对称十六大必考点 【人版】 【考点1 轴对称中坐标与图形变化】.....................................................................................................................1 【考点2 格点中的轴对称】.....................................................................................................................................2 【考点3 设计轴对轴图】.........................................................................................................................................3 【考点4 镜面对称】................................................................................................................................................. 5 【考点5 利用轴对称求最值】.................................................................................................................................5 【考点6 寻找构成等腰三角形的点的个数】.........................................................................................................6 【考点7 利用三线合一求值】.................................................................................................................................7 【考点8 利用三线合一证明】.................................................................................................................................8 【考点9 利用等角对等边证明边长相等】............................................................................................................. 9 【考点10 利用等角对等边证明】..........................................................................................................................10 【考点11 作等腰三角形】......................................................................................................................................12 【考点12 等边三角形的判定与性质】..................................................................................................................13 【考点13 含30 度的直角三角形】.........................................................................................................................15 【考点14 尺规作垂直平分线或垂线】..................................................................................................................16 【考点15 垂直平分线的判定与性质】..................................................................................................................17 【考点16 等腰三角形中的新定义问题】.............................................................................................................. 19 【考点1 轴对称中坐标与图形变化】 【例1】（2022·贵州省遵义市第一初级中学八年级阶段练习）已知点P1(2a−b,2)和 P2(−7,4 a+2b)关于x轴对称，则a b=¿__． 【变式1-1】（2022·内蒙古·霍林郭勒市第五中学七年级期中）将点先向下平移3 个单位， 再向右平移2 个单位后得B（﹣2，5），则点关于y 轴的对称点坐标为__________． 【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）已知点P（2+b，-3）与点P′（8，b+2）． (1)若点p 与点p′关于x 轴对称，求、b 的值． (2)若点p 与点p′关于y 轴对称，求、b 的值． 【变式1-3】（2022·吉林白山·八年级期末）在坐标平面上有一个轴对称图形，其中（3， ﹣5 2）和B（3，﹣11 2 ）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点（﹣2，﹣9），则点 对称点的坐标是（ ） ．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣3 2） ．（﹣3 2，﹣9） D．（﹣2，﹣1） 1 【考点2 格点中的轴对称】 【例2】（2022·湖北·武汉市光谷实验中学八年级开学考试）如图，是一个8×10 正方形格 纸，△B 中点坐标为( 2 ﹣，1)，B 点的坐标为( 1 ﹣，2)． (1)请在图中建立平面直角坐标系，指出△B 和△A ' B 'C '关于哪条直线对称？（直接写答） (2)作出△B 关于x 轴对称图形△A1B1C1；请直接写出A '、B '、C '三点坐标． (3)在x 轴上求作一点M，使△A B ' M的周长最小，请直接写出M 点的坐标． 【变式2-1】（2022·山东济南·八年级期中）如图，平面直角坐标系中，（﹣2，1），B （﹣3，4），（﹣1，3），过点（1，0）作x 轴的垂线l． (1)作出△B 关于直线l 的轴对称图形△A1B1C1； (2)直接写出A1（ ， ），B1（ ， ），C1（ ， ）； (3)在△B 内有一点P（m，），则点P 关于直线l 的对称点P1的坐标为（ ， ）（结 果用含m，的式子表示）． 【变式2-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在正方形格中，点A，B，C，M，N 都在格点上． 1 (1)作△ABC关于直线MN对称的图形△A1B1C1； (2)若格中最小正方形边长为1，求△ABC的面积； (3)在直线MN上找一点P，使得PC−P A1的值最大，并画出点P的位置． 【变式2-3】（2022·天津市红桥区师发展中心八年级期中）如图，已知三点（-2，3），B （3，-3），（-3，1），△B 与△1B11关于x 轴对称，其中1，B1，1分别是点，B，的对应点． (1)画出△1B11，并写出三个顶点1，B1，1的坐标； (2)若点M (m+2，n−1)是△ABC上一点，其关于x轴的对称点为M '(−m−4，n−3)， 求m，n的值． 【考点3 设计轴对轴图】 【例3】（2022·江苏·八年级课时练习）如图所示的“钻石”型格（由边长都为1 个单位长 度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3 个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑 一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种 涂法． 1 ．1 B．2 ．3 D．4 【变式3-1】（2022·河北·九年级专题练习）如图为5×5 的方格，其中有、B、三点，现有 一点P 在其它格点上，且、B、、P 为轴对称图形，问共有几个这样的点P（ ） ．5 B．4 ．3 D．2 【变式3-2】（2022·全国·七年级专题练习）在3×3 的正方形格中，有三个小方格涂上阴影， 请再在余下的6 个空白的小方格中，选两个小方格并涂成阴影，使得图中的阴影部分组成 一个轴对称图形，共有 ( )种不同的填涂方法． ．3 种 B．4 种 ．5 种 D．6 种 【变式3-3】（2022·江苏·八年级专题练习）现有如图1 所示的两种瓷砖，请你从两种瓷砖 中各选两块，拼成一个新的正方形，使拼成的图为轴对称图形，如图2，要求：在图3，图 4 中各设计一种与示例拼法不同的轴对称图形． 【考点4 镜面对称】 【例4】（2022·江苏·宜兴外国语学校八年级阶段练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟如 下，你认为实际时间最接近9：00（ ） 1 ． B． ． D． 【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜 子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为____． 【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）从镜子中看到背后墙上电子 钟的示意数为10：05,这时的实际时间为______ 【变式4-3】（2022·甘肃平凉·八年级期中）小明从平面镜子中看到镜中电子钟示数的像如 图所示，这时的时刻应是________． 【考点5 利用轴对称求最值】 【例5】（2022·湖南·李达中学八年级阶段练习）如图，在Rt△B 中，∠ACB=90°，＝ 6，B＝8，B＝10，D 是∠BAC的平分线，若P，Q 分别是D 何上的动点，则P＋PQ 的最 小值是（ ） ．24 B．4 ．48 D．5 【变式5-1】（2022·河南驻马店·七年级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=α， ∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、，当△AMN周长最小时，则∠MAN 的度数为（ ） 1 ．1 2 α B．2α−180° ．180°−α D．α−90° 【变式5-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在长方形BD 中，D＝B＝3，B＝D＝4， ＝5，动点M 在线段上运动(不与端点重合)，点M 关于边D，D 的对称点分别为M1，M2， 连接M1M2，点D 在M1M2上，则在点M 的运动过程中，线段M1M2长度的最小值是_______． 【变式5-3】（2022·福建龙岩·八年级期中）如图，在Rt△B 中，∠＝90°，B＝8，＝6，B＝ 10，M、、P 分别是边B、、B 上的动点，连接PM、P 和M，则PM+P+M 的最小值是 ____ ___． 【考点6 寻找构成等腰三角形的点的个数】 【例6】（2022·广东·丰顺县潘田中学九年级开学考试）如图，已知每个小方格的边长为1， A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这 样的顶点C有（ ） 1 ．8个 B．7个 ．6个 D．5个 【变式6-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中学八年级阶段练习）Rt△B 中，∠B＝90°，∠＝ 60°，在直线B 上取一点P 使得△PB 是等腰三角形，则符合条件的点P 有___个． 【变式6-2】（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校八年级期末）如图，△ABC的点A 、C 在直线l上，∠B=120° , ∠ACB=40°，若点P 在直线l上运动，当△ABP成为等腰三 角形时，则∠ABP度数是_______． 【变式6-3】（2022·天津市武清区杨村第五中学八年级期中）在平面直角坐标系中，点，B 的坐标分别是（3，0），B（0，4），若点P 在坐标轴上，且△PB 是等腰三角形，则满足 条件的点P 有_____个． 【考点7 利用三线合一求值】 【例7】（2022·河北保定·八年级期末）如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺， 即等腰直角△MK，等腰直角△B 做了一个探究活动：将△MK 的直角顶点M 放在△B 的斜 边B 的中点处，设＝B＝，猜想此时重叠部分四边形EMF 的面积为（ ） ．1 2 2 B．1 3 2 ．1 4 2 D．1 5 2 【变式7-1】（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图，△B 和△DE 均为等腰直角三 角形，且∠B=∠DE=90°，点、D、E 中同一条直线上，M 平分∠DE，连接BE，以下结论： ①D=D；②M⊥E；③E-BE=2M；④∠BM=∠BE，正确的有（ ） 1 ．1个 B．2个 ．3个 D．4个 【变式7-2】（2022·浙江·平阳苏步青学校八年级阶段练习）如图，D 是等腰三角形△B 底 边上的中线，BE 平分∠B，交D 于点E，＝6，DE＝2，则△BE 的面积是( ) ．4 B．6 ．8 D．12 【变式7-3】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在△B 中，B＝，D⊥B 于点D，DE⊥于 点E，F⊥B 于点F，若DE＝4，则F 的长为_____ 【考点8 利用三线合一证明】 【例8】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）已知：如图△B 中，B=，D 和BE 是高， 它们交于点，且E=BE．求证： (1)△E≌△BE； (2)=2BD． 【变式8-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△B 中，D 是∠B 的平分线，DE⊥B， DF⊥，E、F 为垂足，连接EF 交D 于G，试判断D 与EF 垂直吗？并说明理由． 1 【变式8-2】（2022·北京·垂杨柳中学八年级期中）如图，在△B 中，B＝，其中D，BE 都是 △B 的高．求证：∠BD＝∠D＝∠EB． 【变式8-3】（2022·山东青岛·七年级期末）已知，在Δ ABC中，AC=BC， ∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是AB边上的一动点（不与点A 、B重 合），连接CE． (1)如图①，若E运动到BD上，过点A作CE的垂线交CD于点G，CE于点F，CB于点H， 求证：CG=BE； (2)如图②，若E运动到AD上，过点A作CE的垂线与CE延长线交于点F，延长AF交CD 延长线于点G，试猜想CG 、BE的数量关系并证明． 【考点9 利用等角对等边证明边长相等】 【例9】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，已知△B 中，B＝6，＝8，∠B 和∠B 的平分 线相交于点D，过点D 作B 的平行线，分别交B，于E，F，则△EF 的周长是_____ 1 【变式9-1】（2022·湖南长沙·八年级期中）如图，∠B 的平分线BF 与△B 中∠B 的相邻外角 ∠G 的平分线F 相交于点F，过F 作DF B ∥，交B 于D，交于E，若BD＝9m，DE＝4m，求 E 的长为__m． 【变式9-2】（2022·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图，在△B 中，∠B 的平分线 D 交B 于点D，E 为上一点，E＝B，连接DE (1)求证：△BD≌△ED； (2)已知∠B＝2∠且BD＝5，B＝9，求长． 【变式9-3】（2022·福建·厦门双十中学八年级期末）如图， 为 的角平分线． (1)如图1，若 于点 ，交 于点 ， ， ．则 _______； (2)如图2， 于点 ，连接 ，若 的面积是6，求 的面积； (3)如图3，若 ， ， ，则 的长为_______．（用含 的式子表 示） 【考点10 利用等角对等边证明】 【例10】（2022·天津·八年级期中）如图：E 在△B 的边的延长线上，B＝，D 点在B 边上， DE 交B 于点F，DF＝EF，求证：BD＝E． 1 【变式10-1】（2022·浙江·八年级单元测试）如图，在△ABC中，D 平分∠BAC，过点B 作D 的垂线，垂足为点D，DE∥AC，交B 于点E，CD∥AB． (1)求证：△BDE是等腰三角形； (2)求证：CD=BE． 【变式10-2】（2022·陕西西安·七年级期末）已知∠AOB=60°，小新在学习了角平分线 的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的角尺来作∠AOB的角平分线． 问题发现 (1)如图1，他先在边和B 上分别取OD=OE，再移动角尺使PD=PE，然后他就说射线P 是∠AOB的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？ 问题探究 (2)如图2，小新在确认射线P 是∠AOB的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P 旋转了一 定的角度，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，发现线段D 与E 有一定的数量关系．请你直 接写出线段D 与E 的数量关系，并说明理由． 【变式10-3】（2022·江西·吉安县文博国际学校八年级开学考试）如图①，Δ ABC中， AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥B 交AB、AC于E、F． 1 (1)图①中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系． (2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？ (3)如图③，若Δ ABC中∠B的平分线BO与∠ACG平分线CO交于O，过O点作E∥B，交 AB于E，交AC于F．EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由． 【考点11 作等腰三角形】 【例11】（2022·山东青岛·九年级专题练习）如图，已知：点P 和直线B． 求作：等腰直角三角形MPQ，是∠PMQ=45°，点M 落在B 上． 【变式11-1】（2022·福建省福州屏东中学八年级期中）我们知道，含有36°角的等腰三角 形是特殊的三角形，通常把一个顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．在 △ABC中，已知：AB=AC，且∠B=36°，请用两种不同的尺规作图在BC上找点D， 使得△ABD是黄金三角形，并说明其中一种做法的理由． 【变式11-2】（2022·福建龙岩·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，射线 CM ∥AB． (1)在线段AB上取一点E，使得CE=CB，在射线CM上确定一点D，使△CDE是以CE为 1 底边的等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接AD，求证：AD=BC． 【变式11-3】（2022·山东省青岛第六十三中学八年级期中）已知∠α，线段a，求作：等 腰△ABC，使得顶角∠A=∠α，BC上的高为a． 【考