专题5.1 期中期末专项复习之有理数十六大必考点（原卷版）

专题51 有理数十六大必考点 【人版】 【考点1 相反意义的量】.........................................................................................................................................1 【考点2 有理数的概念及分类】.............................................................................................................................2 【考点3 相反数】..................................................................................................................................................... 2 【考点4 绝对值】..................................................................................................................................................... 3 【考点5 根据数轴化简绝对值】.............................................................................................................................3 【考点6 相反数、绝对值、倒数综合】................................................................................................................. 4 【考点7 有理数的混合运算】.................................................................................................................................4 【考点8 新定义中的有理数运算】.........................................................................................................................5 【考点9 科学记数法】............................................................................................................................................. 5 【考点10 有理数乘方的应用】................................................................................................................................6 【考点11 有理数的大小比较】................................................................................................................................7 【考点12 阅读材料中的有理数运算】....................................................................................................................7 【考点13 有理数的实际应用】................................................................................................................................9 【考点14 正负数的实际应用】..............................................................................................................................10 【考点15 有理数中的规律探究】..........................................................................................................................11 【考点16 数轴与绝对值、动点的综合探究】......................................................................................................12 【考点1 相反意义的量】 【例1】（河北省保定市新秀学校2022-2023 学年七年级上学期期中考试数学试题）在我国 古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100 元记作+100 元，则-50 元表示（ ） ．支出50 元 B．收入50 元 ．支出60 元 D．收入60 元 【变式1-1】（重庆市育才中学校2022-2023 学年七年级上学期期中数学试题）如果水库的 水位高于正常水位4m 时，记作+4m，那么低于正常水位5m 时，应记作( ) ．5m B．-5m ．+1 5m D．-1 5m 【变式1-2】（山西省吕梁市交城县2022-2023 学年七年级上学期期中数学试题）如果电梯 上升5米，记作+5 米，那么-3 米表示 _______________________________ ． 【变式1-3】（2022·全国·七年级上学期期中数学试题）文具店、书店和玩具店依次坐落在 一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店西边100米处，小明 从书店沿街向东走了40米，接着又向西走了60米，此时小明的位置在（ ） ．文具店 B．玩具店 ．文具店西边40米 D．玩具店西边60米 1 【考点2 有理数的概念及分类】 【例2】（2022·湖北·公安县学研究中心七年级上学期期中数学试题）把下列有理数填入它 所属于的集合圈内． −3 4 ，1，35，0，−2，4 【变式2-1】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级上学期期中数学试题）在2 3，−4.3， 025，0，123，101001000100001…，π 2 中，非负有理数的数有___________________． 【变式2-2】（2022·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校期中）在下列数中：−¿−3∨¿， 023，(−2) 2，0，(−3) 3，−(−2006 2)，−1 5 ，−( −1 0.2)，该正整数的个数为m，非负数的 个数为n，则m−n的值为________． 【变式2-3】（2022·陕西·白水县田家炳实验中学七年级上学期期中数学试题）把下列各数 填入它所属的集合内： 15，−1 9 ，﹣5，2 15，0，﹣532，2.3 · ，π，80%，5． (1)分数集合{ …}； (2)自然数集合{ …}； (3)非正整数集合{ …}； (4)非负有理数集合{ …}． 【考点3 相反数】 【例3】（2022·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ） ．2 与1 2 B．（﹣1）2与1 ．﹣1 与（﹣1）2 D．2 与| 2| ﹣ 【变式3-1】（2022·河北保定·七年级期中）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是 _____． 【变式3-2】（2022·宁夏·银川市第三中学七年级期中）下列各组数中：①﹣32与32；② （﹣3）2与32；③﹣（﹣2）与﹣（+2）；④（﹣3）3与﹣33；⑤﹣23与32，其中互为相反 1 数的共有（ ） ．4 对 B．3 对 ．2 对 D．1 对 【变式3-3】（2022·山东威海·期中）若m，互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数 的是（ ） ．﹣m 和﹣ B．m+1 和+1 ．m+1 和﹣1 D．5m 和5 【考点4 绝对值】 【例4】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）若¿a∨¿ 1 2，且a<0，则a+1=¿__ _____． 【变式4-1】（2022·黑龙江·兰西县红星乡第一中学校期中）已知|x|＝8，|y|＝5，且xy＜ 0，则x+y 的值等于 _____． 【变式4-2】（2022·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）绝对值小于3 的正整数有________． 【变式4-3】（2022·辽宁本溪·七年级期中）化简：|3−π|−|4−π|=¿____________． 【考点5 根据数轴化简绝对值】 【例5】（2022·四川广安·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： −|b|−|c+b|+|b−a|=¿________． 【变式5-1】（2022·广东·广州市真光中学七年级期中）如图，点和B 表示的数分别为和 b，若是绝对值最小的数，d 是最大的负整数． （1）在数轴上表示＝ ，d＝ ． （2）若|x+3|＝2，则x 的值是多少？ （3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+|+|﹣x|． 【变式5-2】（2022·山东德州·七年级期中）有理数，b，在数轴上的位置如图，解答下列 问题： （1）若＝2，将表示的点沿数轴方向平移5 个单位，得到的点表示的数为 ； （2）数b 与其相反数相距10 个单位长度，则b 表示的数是 ； （3）化简：|b |+|+ ﹣ b|+| | ﹣． 【变式5-3】（2022·湖南·李达中学七年级期中）如图，数轴上有点，b，三点． 1 (1)c−b 0；c−a 0(填“<”，“>”，“=”)； (2)化简¿c−b∨−¿c−a∨+¿a−1∨¿ (3)求 a ¿a∨¿+ b ¿b∨¿+ c ¿c∨¿+ abc ¿abc∨¿¿ ¿ ¿ ¿的值 【考点6 相反数、绝对值、倒数综合】 【例6】（2022·全国·七年级课时练习）若m、n互为相反数，则¿m−5+n∨¿ ______ ． 【变式6-1】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校七年级期中）−3的绝对值加上−3的倒数等 于______． 【变式6-2】（2022·湖南·李达中学七年级期中）−1 2 的倒数的绝对值是 ________ 【变式6-3】（2022·湖北十堰·七年级期中）已知，b 互为相反数，，d 互为倒数，e 的绝对 值为1，求3+3b+d+e2的值． 【考点7 有理数的混合运算】 【例7】（2022·黑龙江·兰西县崇文实验学校期中）计算： (1)（-7）-（-10）+（-8）-（+2）； (2)3×（-1）-4÷（-2）； (3)( 2 3 + 3 4 −5 6)× (−12)； (4)−1 4−(1−0.5)× 1 3 ×[2−(−3) 2] 【变式7-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）计算，有简便方法的用简便方 法． (1)( −1 3 )−15+( −2 3 ) (2)(−2)×31×(−0.5) (3)−9+2×(−4)+(−6)÷( −1 2 ) (4)(−1) 2021×2+(−2) 2÷ 4 【变式7-2】（2022·天津市红桥区师发展中心七年级期中）计算: (1)(−3)×(−4)−15÷ 3 2 1 (2)( 3 4 −7 18 + 4 9 )×36 (3)−1 4−|−7|+3−2×(−1 1 2) (4)−2 2÷ 4 3 −[2 2−(1−1 2 × 1 3)]×12 【变式7-3】（2022·安徽·七年级期中）计算: (1)( 1 2 + 5 6 - 7 12)×(-24); (2)(-81)÷9 4 × 4 9 ÷(-8) 【考点8 新定义中的有理数运算】 【例8】（2022·河南驻马店·七年级期中）对于有理数，b，定义一种新运算”⊙”，规定 ⊙b＝|＋b|＋|﹣b|． （1）计算：2⊙（﹣3）的值； （2）当，b 在数轴上的位置如图所示时，化简：⊙b． 【变式8-1】（2022·山东·招远市学研究室期中）现定义运算“*”，对于任意有理数，b，都 有*b＝a 2−ab−b，例如：5*3＝5 2−5×3−3=25−15−3=7，由此算出2*（－4）＝ _________． 【变式8-2】（2022·吉林长春·七年级期中）完成下列各题． （1）定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a⊕b=a (a−b)+1．计算如下： 2⊕5=2×(2−5)+1=2×(−3)+1=−6+1=−5． 求(−2)⊕3的值． （2）对于有理数a、b，若定义运算：a⊗b=a−b a+b ，求(−4 )⊗3的值． 【变式8-3】（2022·辽宁沈阳·七年级期中）定义一种新运算：⊗m＝×|m|． 如5⊗（﹣3）＝5×| 3| ﹣ ＝15，﹣8 4 ⊗＝﹣8×|4|＝﹣32． （1）计算：65 0 ⊗＝ ，﹣43 | 2| ⊗﹣ ＝ ； （2）若＜0，化简48⊗（﹣3）； （3）若，m，为任意有理数，等式 （ ⊗ m+）＝⊗m+⊗一定成立吗？请说理由． 【考点9 科学记数法】 【例9】（2022·山东济南·七年级期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高 度大约是21500000 米．将数字21500000 用科学记数法表示为（ ） 1 ．2.15×10 7 B．0.215×10 8 ．2.15×10 6 D．21.5×10 6 【变式9-1】（2022·北京市陈经纶中学分校七年级期中）2020 年国庆档电影《我和我的家 乡》上映13 天票房收入达到2194 亿元，并连续10 天拿下票房单日冠军．其中2194 亿元 用科学记数法可表示为（ ） ．21.94×10 8元 B．2.194×10 8元 ．0.2194×10 10元 D．2.194×10 9元 【变式9-2】（2022·河北·廊坊市第四中学七年级期中）整数613550⋯0用科学记数法表示 为8.1555×10 10，则原数中“0”的个数为（ ） ．4 B．6 ．5 D．10 【变式9-3】（2022·广东·广州四十七中七年级期中）过度包装既浪费资源又污染环境，据 测算如果全国每年减少十分之一的包装纸用量那么能减少3.12×10 6吨二氧化碳的排放量， 把3.12×10 6写成原数是（ ） ．312000 B．3120000 ．31200000 D．312000000 【考点10 有理数乘方的应用】 【例10】（2022·全国·七年级期中）我们平常用的是十进制， 如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10 个数码：0，1，2，3，4，5，6， 7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1 相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1 相当于十进制中的27．那么二 进制中的1011 相当于十进制中的( ) ．9 B．10 ．11 D．12 【变式10-1】（2022·广东·东莞市光大新亚外国语学校七年级期中）将一根绳子对折一次 后从中间剪一刀，绳子变成3 段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成5 段：将这根绳子 对折次后从中间剪一刀，绳子变成_____段． 【变式10-2】（2022·河南郑州·七年级期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很 粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉 成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第____次后可拉出64 根细面条 【变式10-3】（2022·全国·七年级期中）一质点P 从距原点1 个单位的点处向原点方向跳动， 第一次跳动到的中点A1处，第二次从A1点跳动到A1的中点A2处，第三次从A2点跳动到 A2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5 次跳动后，该质点到原点的距离为__________ ___ 1 【考点11 有理数的大小比较】 【例11】（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）下列有理数的大小关系正确的 是（ ） ． B． ． D． 【变式11-1】（2022·浙江·七年级专题练习）已知 ，那么 的大小关 系是（ ） ．＞-b＞-＞b B．-b＞＞-＞b ．＞b＞-＞-b D．＞-b＞b＞- 【变式11-2】（2022·天津市红桥区师发展中心七年级期中）有理数，b 在数轴上的位置如 图所示，试比较，b， －， －b 四个数的大小关系： _____ _____ _____ _____． 【变式11-3】（2022·全国·七年级专题练习）探索研究： （1）比较下列各式的大小（用“＜”、“＞”、“＝”连接） ①|2|+|3| |2+3|； ②| 2|+| 3| ﹣ ﹣ | 2 3| ﹣﹣ ； ③|2|+| 3| ﹣ |2 3| ﹣ ； ④|2|+|0| |2+0|． （2）、b 为有理数，通过比较、分析，归纳||+|b|与|+b|的大小关系．（用“＜”、 “＞”、“＝”、“≥”、“≤”连接） 当、b 同号时，||+|b| |+b|； 当、b 异号时，||+|b| |+b|； 当＝0 或b＝0 时，||+|b| |+b|； 综上，||+|b| |+b|． （3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2015＝|x 2015| ﹣ 时，则x 的取值范围是 ． 【考点12 阅读材料中的有理数运算】 【例12】（2022·浙江·余姚市高风中学七年级期中）阅读下列材料：对于排好顺序的三个 数：x1，x2，x3称为数列x1，x2，x3．将这个数列如下式进行计算： x1，x1−x2，x1−x2+x3，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列x1，x2，x3的“理 想数值”．例如：对于数列1，-2，3，因为1，1-（-2）＝3，1-（-2）＋3＝6，所以数列 1 1，-2，3 的“理想数值为6，进一步发现：当改变这三个数的顺序时