专题11.2 期中期末专项复习之实数十六大必考点（原卷版）

专题112 实数十六大考点 【人版】 【考点1 求算术平方根、平方根、立方根】.........................................................................................................1 【考点2 利用算术平方根的非负性求值】............................................................................................................. 2 【考点3 估算算术平方根的取值范围】................................................................................................................. 2 【考点4 求算术平方根的整数部分或小数部分】..................................................................................................2 【考点5 与算术平方根有关的规律探究】............................................................................................................. 3 【考点6 已知平方根、算术平方根或立方根，求该数】......................................................................................4 【考点7 利用平方根、立方根解方程】................................................................................................................. 4 【考点8 已知平方根、算术平方根、立方根求参数】..........................................................................................4 【考点9 平方根、算术平方根、立方根的实际应用】..........................................................................................5 【考点9 实数、无理数的概念】.............................................................................................................................6 【考点10 实数的大小比较】....................................................................................................................................6 【考点11 实数与数轴】............................................................................................................................................7 【考点12 程序框图中的实数运算】........................................................................................................................7 【考点13 新定义中的实数运算】............................................................................................................................9 【考点14 实数的运算】.......................................................................................................................................... 10 【考点15 实数运算的规律探究】..........................................................................................................................10 【考点16 实数运算的应用】..................................................................................................................................11 【考点1 求算术平方根、平方根、立方根】 【例1】（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）016 的算术平方根是______，❑ √25的平 方根是______． 【变式1-1】（2022·云南·景洪市第三中学七年级期中）计算正确的是（ ） ．3 √1=±1 B．−❑ √0.81=0.9 ．❑ √9=±3 D．❑ √(−3) 2=3 【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）若m 是169 的正的平方根，是121 的负的平方 根，求： (1)m＋的值； (2)（m＋n） 2的平方根． 【变式1-3】（2022·湖南·八年级单元测试）－27 的立方根与9 的平方根之和为（ ） ．0 B．6 ．0 或－6 D．0 或6 【考点2 利用算术平方根的非负性求值】 【例2】（2022·全国·八年级专题练习）已知实数，b，满足( 2) ﹣ 2+|2b+6|+❑ √5−c＝0． (1)求实数，b，的值； 1 (2)求❑ √a−3b+c的平方根． 【变式2-1】（2022·全国·七年级）若y＝❑ √2 x−1﹣❑ √1−2 x+6x，则❑ √2 x+2 y−3的值为 _ ____． 【变式2-2】（2022·上海·九年级专题练习）若❑ √x−2+¿ y+7∨+( z−7) 2=0，则x−y+z 的平方根为（ ） ．±2 B．4 ．2 D．±4 【变式2-3】（2022·广东湛江·八年级期末）已知|2020﹣m|+❑ √m−2021＝m，求m 2020 ﹣ 2 的值． 【考点3 估算算术平方根的取值范围】 【例3】（2022·全国·八年级专题练习）如图，用边长为3 的两个小正方形拼成一个面积为 18 的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 【变式3-1】（2022·全国·七年级专题练习）数轴上表示下列各数的点，能落在，B 两个点 之间的是（ ） ．−❑ √3 B．❑ √7 ．❑ √11 D．❑ √13 【变式3-2】（2022·天津·九年级期末）估计❑ √7−2的值在（ ） ．0 到1 之间 B．1 到2 之间 ．2 到3 之间 D．3 至4 之间 【变式3-3】（2022·重庆·八年级期中）估计 ❑ √13+1 2 的值在（ ） ．1 到2 之间 B．2 到3 之间 ．3 到4 之间 D．4 到5 之间 【考点4 求算术平方根的整数部分或小数部分】 【例4】（2022·上海徐汇·七年级阶段练习）❑ √11的整数部分是______．小数部分是______ _． 【变式4-1】（2022·浙江·七年级阶段练习）6−❑ √11的小数部分为，7+❑ √11的小数部分为 b，则(a+b) 2018=¿__________ 【变式4-2】（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学七年级期中）已知❑ √2a−1＝3，3 1 ﹣b+1 的平方根是±4，是❑ √113的整数部分，求+b+2 的平方根． 【变式4-3】（2022·江苏·八年级）设2+❑ √6的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y 的值与x-1 的算术平方根． 【考点5 与算术平方根有关的规律探究】 【例5】（2022·山东菏泽·八年级期中）将一组数❑ √3，❑ √6，3，❑ √12，❑ √15，……，❑ √228 按下面的方法进行排列： ❑ √3 ❑ √6 3 ❑ √12 ❑ √15 ❑ √18 ❑ √21 ❑ √24 ❑ √27 ❑ √30 …… 若❑ √12的位置记为(1,4 )，❑ √24的位置记为(2,3)，则这组数中最大的有理数的位置记为（ ） ．(14,4 ) B．(14,5) ．(15,5) D．(16,1) 【变式5-1】（2022·全国·八年级专题练习）阅该下列材料： （1）求下列各数的算术平方根： ❑ √0.000004＝0002，❑ √0.0004＝002，❑ √0.04＝02，❑ √4＝2，❑ √400＝20， 根据以上材料填空：❑ √40000＝__，❑ √4000000＝__． （2）已知❑ √2≈1414，直接写出：❑ √0.02≈______，❑ √200≈_____，❑ √20000≈______． 【变式5-2】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学七年级期中）观察下列各式： (1) 3 √2 2 7 =2 3 √ 2 7 , (2) 3 √3 3 26=3 3 √ 3 26 , (3) 3 √4 4 63=4 3 √ 4 63 , (4) 3 √5 5 124 =5 3 √ 5 124 ⋯⋯ 用字母表示出一般规律是__________．（为不小于2 的整数） 【变式5-3】（2022·北京市十一学校二模）由10 2=100，100 2=10000，我们可以确定 ❑ √1225是两位数．根据类似的想法，由于1225 个位上的数是5，我们能确定❑ √1225个位上 的数是______，如果只看1225 的前两位12，而3 2=9，4 2=16，我们能确定❑ √1225十位上 的数是______． 【考点6 已知平方根、算术平方根或立方根，求该数】 【例6】（2022·山西临汾·七年级期中）若正数的两个平方根分别是x+2和2 x−5，则的值 为___________． 1 【变式6-1】（2022·福建·古田县玉田中学八年级阶段练习）若一个数的平方根和立方根都 是它的本身，则这个数是( ) ．0 B．1 ．0 或1 D．0 或±1 【变式6-2】（2022·江苏·八年级专题练习）若的算术平方根为1725，b 的立方根为−8.69； x 的平方根为±1.725，y 的立方根为869，则（ ） ．x= 1 100 a, y=−1000b B．x= 1 100 a, y=100b ．x=100a, y= 1 100 a D．x= 1 1000 a, y=−100b 【变式6-3】（2022·河南·平顶山市第三中学七年级期中）若4−2 与3+1 是同一个正数的两 个平方根． (1)求的值； (2)求这个正数． 【考点7 利用平方根、立方根解方程】 【例7】（2022·江苏·八年级专题练习）求下列等式中的x； （1）若x 2=196，则x=¿______；（2）若x 2=( 3 2) 2 ，则x=¿______； （3）若x 2=(−5) 2，则x=¿______；（4）若(−x) 2=1.21，则x=¿______． 【变式7-1】（2022·黑龙江·拜泉县第三中学七年级阶段练习）用学过的知识解方程 (1)8( x+1) 3=−125 (2)4( x−2) 2−121=0 【变式7-2】（2022·黑龙江鹤岗·七年级期末）5+3 √x+1＝3． 【变式7-3】（2022·湖北·监利市玉沙初级中学七年级阶段练习）解方程： (1)x 3+27＝0； (2)16 (x ﹣2) 2﹣9＝0． 【考点8 已知平方根、算术平方根、立方根求参数】 【例8】2022·吉林四平·七年级期中）已知2a−1的平方根是±3，a+3b−1的算术平方根 是4． (1)求、b 的值； (2)求ab+5的平方根． 【变式8-1】（2022·福建厦门·七年级期中）已知a 2=81，3 √b=−2，则❑ √b−a=¿______． 【变式8-2】（2022·四川·自贡市田家炳中学七年级期中）已知x+2 的平方根±3，2x+y+7 的 立方根是3，试求7 x−3 y的立方根． 【变式8-3】（2022·江西·上饶市广信区第七中学七年级期中）已知2a−1的算术平方根是 1 ❑ √17，3a+b−1的立方根是3． (1)求，b 的值； (2)求a+b的平方根． 【考点9 平方根、算术平方根、立方根的实际应用】 【例9】（2022·山西吕梁·七年级期末）如图，在数学活动课上，小颖制作了一个表面积为 30cm 2的无盖正方体纸盒，这个正方体纸盒的棱长是（ ） ．❑ √5cm B．❑ √6cm ．❑ √10cm D．❑ √30cm 【变式9-1】（2022·安徽·潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）交通警察通常根据刹车时 后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度．在某高速公路上，常用的计算公式是 v 2=256 (df +1)，其中v 表示车速（单位；km/），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位： m），f 表示摩擦系数，f =1.25．在调查这条高速公路的一次交通事故中，测得d=19.2m， 求肇事汽车的速度大约是多少． 【变式9-2】（2022·福建福州·七年级期末）某学校有一块长、宽分别为38m 和16m 的长方 形空地，计划沿边建造一个长宽之比为5:3且面积为540m 2的长方形标准篮球场，请判断 该学校能否用这块长方形空地建造符合要求的篮球场？并说明理由． 【变式9-3】（2022·新疆·乌鲁木齐市第九中学七年级阶段练习）如图，有一个长方体的水 池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000m3． (1)求长方体的水池长、宽、高为多少？ (2)当有一个半径为r 的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的1 60， 求该小球的半径为多少（π 取3，结果精确到001 m）？ 1 【考点9 实数、无理数的概念】 【例9】（2022·山东青岛·八年级期中）下列各数1414，❑ √36，20π，1 3，❑ √8， 8181181118…按规律排列），31415926 中是无理数的有（ ）个． ．3 B．4 ．5 D．6 【变式9-1】（2022·福建·晋江市南侨中学八年级阶段练习）关于“❑ √19”，下列说法不正 确的是（ ） ．它是一个无理数 B．它可以用数轴上的一个点表示 ．它可以表示面积为19 的正方形的边长 D．它不是实数 【变式9-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期中）设m 为大于1 且小于100 的整数，则m 的平方根中，属于无理数的个数有（ ） ．92 个 B．180 个 ．182 个 D．184 个 【变式9-3】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级）把下列各数分别填入相应的集合 里． −¿−5∨,| −3 2 |,0,−3.14 , 22 7 ,+1.99,−(−6),2π ,−12.101001⋯（每两个1 之间0 的个 数依次增加1） (1)负数集合：{ …}； (2)非负整数集合：{ …}； (3)分数集合：{ …}； (4)无理数集合：{ …}． 【考点10 实数的大小比较】 【例10】（2022·安徽合肥·七年级期末）下列四个数中最小的实数是（ ） ．0 B．−π ．−2 D．−3 【变式10-1】（2022·福建福州·七年级期中）比较大小：❑ √37__________6．（用“>”或 “<”连接） 【变式10-2】（2022·湖北·测试·编辑研五八年级阶段练习）四个实数−2，0，1，❑ √2中最 大的实数是（ ） ．−2 B．0 ．1 D．❑ √2 【变式10-3】（2022·辽宁阜新·八年级期末）比较大小： ❑ √5 2 ______5 4 （填“＞”“＜”或 “＝”）． 【考点11 实数与数轴】 【例11】（2022·广东韶关实验中学九年级期中）己知实数，b 在数轴上的位置如图所示， 1 下列结论中正确的是（ ） ．a>b B．|a|<|b| ．ab>0 D．−a>b 【变式11-1】（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，在数轴上表示-1，−❑ √2 的对应点为，B，若点是线段B 的中点，则点表示的数为______． 【变式11-2】（2022·安徽·芜湖市第二十九中学七年级期中）如图，已知直径为1 个单位长 度的圆形纸片上的点与数轴上表示-1 的点重合，若将该圆形纸片沿数轴滚动一周（无滑 动）后点与数轴上的点A '重合，则点A '表示的数为_____________ 【变式11-3】（2022·湖南·八年级单元测试）若实数的位置如图所示，则、−a、1 a、a 2， 的大小关系是______（用＜号连接） 【考点12 程序框图中的实数运算】 【例12】（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据 该流程图下面说法正确的是（ ） ．输入值x为16 时，输出y值为4 B．输入任意整数，都能输出一个无理数 ．输出值y为❑ √3时，输入值x为9 1 D．存在正整数x，输入x后该生成器一直运行，但始终不能输出y值 【变式12-1】（2022·福建厦门·七年级期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根 据该流程图，下面说法： ①当输出值y 为❑ √2时，输入值x 为2 或4； ②当输入值x 为9 时，输出值y 为❑ √3； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x 后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x 之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y 值． 其中正确的是________． 【变式12-2】（2022·河北邢台·七年级期末）按下面程序计算： （1）当输入x=5时，输出的结果为______ （2）若输入x的值为大于1 的实数，最后输出的结果为17，则符合条件的x的值是______ 【变式12-3】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期末）小王利用计算机设计了一个计算程序， 输入和输出的数据如下表： 那么，当输入数据是8 时，输出的数据是__