专题16.7 期末专项复习之分式十六大必考点（原卷版）

专题167 分式十六大必考点 【人版】 【考点1 分式有意义的条件】.................................................................................................................................1 【考点2 分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】......................................................................................2 【考点3 分式的值为整数】.....................................................................................................................................2 【考点4 分式的值为正数或负数】.........................................................................................................................3 【考点5 分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】..................................................................3 【考点6 分式的化简求值综合运算（不等式组）】..............................................................................................3 【考点7 分式的混合运算（作差法比较大小）】..................................................................................................4 【考点8 分式的化简求值（裂项相消）】............................................................................................................. 5 【考点9 分式的化简求值综合运算（通分代入）】..............................................................................................6 【考点10 分式的化简求值（倒数法）】................................................................................................................ 6 【考点11 解分式方程的运用（增根问题）】.........................................................................................................8 【考点12 解分式方程的运用（无解问题）】........................................................................................................8 【考点13 分式的混合运算（规律问题）】............................................................................................................ 9 【考点14 解分式方程与不等式组】......................................................................................................................10 【考点15 解分式方程的运用（新定义问题）】..................................................................................................10 【考点16 分式方程的应用】..................................................................................................................................11 【考点1 分式有意义的条件】 【例1】（2022·湖南邵阳·八年级期末）下列各式中，无论x 为何实数，分式都有意义的是： （ ） ． 1 2 x+1 B．x+1 x 2+1 ．3 x+1 x 2 D．x 2−1 x−1 【变式1-1】（2022·山东临沂·八年级期末）已知对任意实数x，式子 x−2 x 2−4 x+m都有意义， 则实数m的取值范围是（ ） ．m>4 B．m<4 ．m⩾4 D．m⩽4 【变式1-2】（2022·浙江温州·七年级期末）当x=3时，分式x−b x+2b没有意义，则b 的值为 （ ） ．−3 B．−3 2 ．3 2 D．3 【变式1-3】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知分式2 x+n x−m （m，n为常数）满足表格中 1 的信息，则下列结论中错误的是（ ） x的取值 －2 2 p q 分式的值 无意义 0 1 2 ．n=2 B．m=−2 ．p=6 D．q的值不存在 【考点2 分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】 【例2】（2022·浙江宁波·七年级期末）将分式x+ y x 2+ y 2中x 与y 的值同时扩大为原来的3 倍， 分式的值（ ） ．扩大3 倍 B．缩小3 倍 ．不变 D．无法确定 【变式2-1】（2022·四川凉山·八年级期末）若把分式3ab 2a+b中的、b 都缩小为原来的1 3 ， 则分式的值（ ） ．缩小为原来的1 3 B．扩大为原来的6 倍 ．缩小为原来的1 9 D．不变 【变式2-2】（2022·贵州毕节·八年级期末）若把分式10 x x+ y 中的x 和y 同时扩大为原来的10 倍，则分式的值（ ） ．扩大到原来的10 倍 B．扩大到原来的100 倍 ．缩小为原来的1 10 D．不变 【变式2-3】（2022·山东滨州·八年级期末）关于分式2m−6n 3m−4 n，下列说法正确的是（ ） ．分子、分母中的m、均扩大2 倍，分式的值也扩大2 倍 B．分子、分母的中m 扩大2 倍，不变，分式的值扩大2 倍 ．分子、分母的中扩大2 倍，m 不变，分式的值不变 D．分子、分母中的m、均扩大2 倍，分式的值不变 【考点3 分式的值为整数】 【例3】（2022·山东省日照第二中学八年级期末）使分式4 x+1 2 x−1的值为整数的所有整数x 的和是（ ） ．3 B．2 ．0 D．-2 【变式3-1】（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级阶段练习）若x (x−1) (x+2) x+1 的值为 1 0，则x的值一定不是（ ） ．−1 B．−2 ．0 D．1 【变式3-2】（2022·江苏无锡·七年级期末）若3 a−1表示一个整数，则整数可取的值共有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【变式3-3】（2022·河南漯河·八年级期末）对于非负整数x，使得x 2+3 x+3 是一个正整数，则 符合条件x的个数有（ ） ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【考点4 分式的值为正数或负数】 【例4】（2022·辽宁·丹东市第五中学八年级期末）若分式 x+2 x 2−2 x+1的值为正数，则x 的 取值范围是（ ） ．x>-2 B．x<1 ．x>-2 且x≠1 D．x>1 【变式4-1】（2022·新疆·克拉玛依市白碱滩区育局八年级期末）分式2 3-4 x 的值为负数， 则实数x的取值范围是______ 【变式4-2】（2022·上海·七年级期末）若分式 a 2a−1的值总是正数，则a的取值范围是 （ ） ．a>0 B．a> 1 2 ．0<a< 1 2 D．a<0或a> 1 2 【变式4-3】（2022·广东·金道中学八年级期末）如果x 2+1 6−x 的值为负数，则 x 的取值范围 是_____________． 【考点5 分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】 【例5】（2022·广西·柳州二十五中八年级期末）已知x 2−10 x+25与|y−3|互为相反数， 求( y 2 x−y) 2 ⋅x 2+ y 2−2 xy y 3 ÷ x 2−y 2 x+ y 的值． 【变式5-1】（2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）已知实数x、y 满足 |x−3|+ y 2−4 y+4=0，求代数式x 2−y 2 xy · 1 x 2−2 xy+ y 2 ÷ x x 2 y−x y 2的值． 【变式5-2】（2022·四川·九年级专题练习）已知实数x、y 满足❑ √x−3+ y 2−4 y+4=0， 1 求代数式x 2−y 2 xy ⋅ 1 x 2−2 xy+ y 2 ÷ x x 2 y−x y 2的值． 【变式5-3】（2022·江西赣州·八年级期末）先化简，再求值： x 2−2 xy+ y 2 x 2−y 2 ÷ x 2−xy x − 2 x+ y ，其中实数x、y 满足y=❑ √x−2−❑ √2−x−1． 【考点6 分式的化简求值综合运算（不等式组）】 【例6】（2022·山东菏泽·八年级期末）先化简( x x−5− x 5−x)÷ 2 x x 2−25 ，然后再从不等组 ¿的解集中取x 的最小值代入求值． 【变式6-1】（2022·四川达州·八年级期末）先化简再求值：a 3−2a 2 a 2−4 a+4 ÷(a+3+ 9 a−3)， 其中1<a<5，且是整数． 【变式6-2】（2022·全国·八年级课时练习）先化简，再求值：( 1 2−x −1)÷ x 2−2 x+1 x 2−4 ， 其中x 是不等式2 x−1<6的正整数解． 【变式6-3】（2022·河南·辉县市太行中学八年级期末）已知 A=(x−3)÷ (x+2)(x 2−6 x+9) x 2−4 −1． (1)化简． (2)若x 满足不等式组¿，且x 为整数，求的值． 【考点7 分式的混合运算（作差法比较大小）】 【例7】（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）根据不等式的性质：若 x−y ＞0，则x＞y；若x−y ＜0，则x＜y．利用上述方法证明：若n＜0，则 n−1 n > n−2 n−1． 【变式7-1】（2022·浙江杭州·模拟预测）已知m＝2b，＝32 2 ﹣b（≠0，≠b）． （1）当＝3，b＝﹣2 时，分别求m，的值． （2）比较+mb a 2 与22的大小． （3）当m＝12，＝18 时，求1 b﹣2 3a的值． 【变式7-2】（2022·安徽合肥·二模）观察下列不等式：①1 2 2 < 1 1×2；②1 3 2 < 1 2×3；③ 1 4 2 < 1 3×4 ···； 1 根据上述规律，解决下列问题： （1）完成第5个不等式：___________； （2）写出你猜想的第n个不等式：_____________(用含n的不等式表示)； （3）利用上面的猜想，比较n+2 (n+1) 2和1 n的大小． 【变式7-3】（2022·江西景德镇·八年级期末）阅读理解：已知 x≠y , p=x 2−y 2,q=2 xy−2 y 2．试比较p 与q 的大小． 想法：求p−q．当p−q>0，则p>q；当p−q<0，则p<q；当p−q=0，则p=q． 解：∵p−q=(x 2−y 2)−(2 xy−2 y 2)=x 2−2 xy+ y 2=( x−y) 2>0，∴p>q． 用你学到的方法解决下列问题： (1)已知−1<x<1且x≠0,m= x 1+x ,n= x 1−x ．试比较m 与的大小． (2)甲、乙两地相距s(km)，小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分 别是a(km/h)、b(km/h)，a≠b；小宇去时和返回时的速度都是a+b 2 (km/h)．请问二者 一个来回中，谁用时更短？ 【考点8 分式的化简求值（裂项相消）】 【例8】（2022·安徽宣城·七年级期末）我们把分子是1 的分数叫做分数单位，有些单位分 数可以拆成两个不同的分数的差，如1 6=1 2−1 3 , 1 12=1 3−1 4 , 1 20= 1 4 −1 5 , 1 6=1 2−1 3 ,…， 请用观察到的规律解方程 2 x (x+1) + 2 (x+1) (x+2) +⋅⋅⋅+ 2 (x+9) (x+10)= 5 x+10，该方程的 解是____ 【变式8-1】（2022·广西南宁·八年级期末）观察下面的变形规律：1 1×2=1−1 2， 1 2×3=1 2−1 3， 1 3×4 =1 3−1 4 ， 1 4×5= 1 4 −1 5，…回答问题：若 1 ( x+1)×( x+2)+ 1 ( x+2)×( x+3)+ 1 ( x+3)×( x+4)+⋯+ 1 ( x+99)×( x+100)= 1 x+100， 则x的值为（ ） ．100 B．98 ．1 D．1 2 【变式8-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）观察下列各式： ①1 1×2=1−1 2； 1 ② 1 2×3=1 2−1 3； ③ 1 3×4 =1 3−1 4 ； ④ 1 4×5= 1 4 −1 5… （1）请用以上规律计算：1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 +⋯+ 1 90=¿__________； （2）若 1 (m+1)(m+2)+ 1 (m+2)(m+3)+ 1 (m+3)(m+4)+⋯+ 1 (m+2020)(m+2021)= 1 m+2021， 求m的值． 【变式8-3】（2022·江苏常州·八年级期末）（1）读读做做：材中有这样的问题，观察下 面的式子，探索它们的规律，1 1×2=1-1 2，1 2×3=1 2−1 3， 1 3×4 =1 3−1 4 ……用正整数表示这 个规律是______； （2）问题解决：一容器装有1L 水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出1 2L 水，第二次倒 出的水量是1 2L 水的1 3，第三次倒出的水量是1 3L 水的1 4 ，第四次倒出的水量是1 4 L 水的1 5， ……，第次倒出的水量是1 nL 水的1 n+1，……，按照这种倒水方式，这1L 水能否倒完？ （3）拓展探究：①解方程：1 3 x + 1 15 x + 1 35 x + 1 63 x = 1 x+1； ②化简： 1 1×2×3+ 1 2×3×4 + 1 3×4×5…+ 1 n(n+1)(n+2)． 【考点9 分式的化简求值综合运算（通分代入）】 【例9】（2022·山东滨州·八年级期末）已知1 x −1 y ＝3，求分式2 x+3 xy−2 y x−2 xy−y 的值． 【变式9-1】（2022·湖南邵阳·八年级期末）已知1 2a + 1 b=2，那么分式4 a−5ab+2b ab−2a−b 的值 是______． 【变式9-2】（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）已知x+1 x =3，那 么分式 x 2 x 4-2 x 2+1 的值为__． 1 【变式9-3】（2022·湖南·武冈市第二中学八年级阶段练习）若 1 2 y 2+3 y+7 的值为1 8，则 1 4 y 2+6 y−9的值为（ ） ．1 2 B．−1 2 ．1 7 D．−1 7 ． 【考点10 分式的化简求值（倒数法）】 【例10】（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）阅读下面的解题过程：已知： x x 2+1 =1 3 ，求x 2 x 4+1 的值． 解： x x 2+1 =1 3 知x ≠0，所以x 2+1 x =3，即x+1 x =3． 所以x 4+1 x 2 = x 2+1 x 2 =(x+1 x) 2 -2=3 2-2=7． 故x 2 x 4+1 的值为1 7 ． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知： a a 2-5a+1 =1 4 ，求 a 2 a 4+3a 2+1 的值． 【变式10-1】（2022·江苏徐州·八年级阶段练习）在解决数学问题时，我们常常借助“转 化”的思想化繁为简，化难为易．如在某些分式问题中，根据分式的结构特征，通过取倒 数的方法可将复杂问题转化为简单问题，使问题迎刃而解． 例：已知 a a 2+1 =1 3，求a 2+ 1 a 2的值． 解：∵ a a 2+1 =1 3，∴a 2+1 a =3．∴a 2 a + 1 a=3，∴a+ 1 a=3，…… (1)请继续完成上面的问题； (2)请仿照上述思想方法解决问题：已知 x x 2−2 x+1 =4，求 x 2 x 4−x 2+1 的值． 【变式10-2】（2022·湖北鄂州·八年级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些 变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子 变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若 x x 2+1 = 1 4 ，求代数式x2+ 1 x 2的值． 1 解：∵ x x 2+1 = 1 4 ，∴x 2+1 x ＝4 即x 2 x + 1 x ＝4，∴x +1 x ＝4，∴x2+ 1 x 2＝（x+1 x ）2 2 ﹣＝16 2 ﹣＝14 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k 的 等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求x y+z 的值． 解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0） 则x＝k 2，y＝k 3 ，z＝k 4 ，∴x y+z = 1 2 k 1 3 k+ 1