专题21.1 期中期末专项复习之二次根式十六大必考点（原卷版）

专题211 二次根式十六大必考点 【人版】 【考点1 二次根式的概念】......................................................................................................................................1 【考点2 二次根式有意义的条件】..........................................................................................................................2 【考点3 利用二次根式的性质化简】......................................................................................................................2 【考点4 同类二次根式的概念】..............................................................................................................................2 【考点5 最简二次根式】.........................................................................................................................................3 【考点6 比较二次根式的大小】.............................................................................................................................3 【考点7 求二次根式中的参数值】.........................................................................................................................4 【考点8 化简并估算二次根式的值】.....................................................................................................................4 【考点9 二次根式中的规律探究】.........................................................................................................................4 【考点10 复合二次根式的化简】............................................................................................................................6 【考点11 二次根式的混合运算】............................................................................................................................ 7 【考点12 二次根式的化简求值】............................................................................................................................8 【考点13 二次根式的应用】....................................................................................................................................8 【考点14 二次根式中的新定义问题】....................................................................................................................9 【考点15 利用分母有理化求值】..........................................................................................................................10 【考点16 二次根式中的阅读理解类问题】.......................................................................................................... 12 【考点1 二次根式的概念】 【例1】（2022·北京·人大附中八年级期末）下列式子中，是二次根式的是( ) ．❑ √2 B．3 √2 ．❑ √x D．x 【变式1-1】（2022·河北沧州·八年级期中）下列式子一定是二次根式的是 ( ) ．❑ √a 2 B．－❑ √a ．3 √a D．❑ √a 【变式1-2】（2022·全国·八年级课时练习）若=5，则下列各式是二次根式的是( ) ．❑ √3−a B．❑ √5−a ．a−5 2 D．( a−3 2 ) 2 【变式1-3】（2022·内蒙古·北京师范大学乌海附属学校八年级期中）是任意实数，下列各 式中：①❑ √a+2；②❑ √(−2a) 4；③❑ √a 2+3；④❑ √a 2+6a+9；⑤❑ √a 2−3，一定是二次根式 的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【考点2 二次根式有意义的条件】 【例2】（2022·山东·日照山海天旅游度假区青岛路中学七年级期中）若，b 为实数，且 1 b= ❑ √a 2−1+ ❑ √1−a 2 a+7 +4，则+b 的值为（ ） ．±1 B．4 ．3 或5 D．5 【变式2-1】（2022·广东惠州·八年级期末）若式子❑ √x+6在实数范围内有意义，则x 的取 值范围是（ ） ．x≥－6 B．x≤－6 ．x>－6 D．x＜－6 【变式2-2】（2022·新疆·乌鲁木齐市第三中学八年级期末）下列二次根式一定有意义的是 （ ） ．❑ √2 B．❑ √−2 ．❑ √a D．❑ √−a 【变式2-3】（2022·上海外国语大学附属双语学校七年级期中）若 |1999−x|+❑ √x−2006=x，则x−1999 2=¿______． 【考点3 利用二次根式的性质化简】 【例3】（2022·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）若＜0，b＞0，则化简2 ❑ √ 1 4 a 2−ab+b 2的结果为（ ） ．﹣2b B．2﹣b ．2b﹣ D．b 2 ﹣ 【变式3-1】（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校八年级阶段练习）化简下列二次根式（字 母表示正数） (1)2 ❑ √4 a 3b 2c； (2)❑ √16a 3+32a 2 【变式3-2】（2022·云南·会泽县以礼中学校八年级阶段练习）已知实数，b 在数轴上的位 置如图所示，化简：❑ √a 2+❑ √b 2+ ❑ √(a−b) 2− ❑ √(a−1) 2． 【变式3-3】（2022·安徽·芜湖市第二十九中学八年级期中）化简：❑ √(x−3) 2−(❑ √2−x ) 2． 【考点4 同类二次根式的概念】 【例4】（2022·全国·八年级单元测试）下列二次根式中，化简后可以合并的是 （ ） ．❑ √a 2b与❑ √a B．❑ √xy与❑ √ x y ．❑ √50与❑ √5 D．❑ √a+b与❑ √a 2+b 2 【变式4-2】（2022·甘肃·民勤县第六中学八年级期中）若最简二次根式 ❑ √2 x+ y−5 ❑ 3 x−10 和 ❑ √x−3 y+11能合并，则❑ √x 2+ y 2＝__． 1 【变式4-3】（2022·安徽·安庆九一六学校八年级阶段练习）如果最简二次根式❑ √4 a−5与 ❑ √13−2a是同类二次根式． (1)求出的值； (2)若≤x≤2，化简：❑ √x 2−4 x+4+ ❑ √x 2−12 x+36 【考点5 最简二次根式】 【例5】（2022 春·山东淄博·九年级校考期中）下列各式①❑ √8；②❑ √0.3；③❑ √30；④ ❑ √x 2+ y 2；⑤❑ √a 2+1；其中一定是最简二次根式的有（ ）． ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【变式5-1】下列各根式是最简二次根式的是（ ） ．❑ √56 B．❑ √ x y ．❑ √m 2+n 2 D．❑ √18 x 【变式5-2】（2022 秋·河北邯郸·八年级统考期末）若a−1 √2a+5与❑ √3b+a是被开方数相同 的最简二次根式，求❑ √ab的值． 【变式5-3】（2022 春·浙江杭州·八年级校考期中）我们把形如❑ √x+b（，b 为有理数，❑ √x 为最简二次根式）的数叫做❑ √x型无理数，如3❑ √x+1 是❑ √x型无理数，则(❑ √2+❑ √10) 2是（ ） ．❑ √2型无理数 B．❑ √5型无理数 ．❑ √10型无理数 D．❑ √20型无理数 【考点6 比较二次根式的大小】 【例6】（2022 秋·福建福州·八年级校考期末）若a=2019×2021−2019×2020， b= ❑ √2022 2−4×2021，c= ❑ √2020 2+20，则，b，的大小关系是（ ） ．a<b<c B．a<c<b ．b<a<c D．b<c<a 【变式6-1】（2022·福建泉州·九年级统考期末）设M=❑ √2017 2−2016×2018，= ❑ √2017 2−4034×2018+2018 2，则M 与的关系为（ ） ．M＞ B．M＜ ．M= D．M=± 【变式6-2】（2022 秋·河北石家庄·八年级统考期末）5−❑ √2、2+ ❑ √5 2 、2+❑ √2的大小关系 是（ ） ．2+❑ √2>2+ ❑ √5 2 >5−❑ √2 B．5−❑ √2>2+ ❑ √5 2 >2+❑ √2 ．2+ ❑ √5 2 >5−❑ √2>2+❑ √2 D．5−❑ √2>2+❑ √2>2+ ❑ √5 2 【变式6-3】（2022 秋·江西萍乡·八年级统考期末）若a=❑ √1003+❑ √997， b=❑ √1001+❑ √999，c=2❑ √1001，则a，b，c的大小关系用“＜”号排列为 _________． 1 【考点7 求二次根式中的参数值】 【例7】（2022 春·北京·八年级北京八中校考期中）已知是正整数， ❑ √18−2n是整数，则 满足条件的所有的值为__________． 【变式7-1】（2022 秋·四川资阳·九年级校考阶段练习）如果❑ √17+4 a是一个正整数，则整 数a的最小值是（ ） ．-4 B．-2 ．2 D．8 【变式7-2】（2022 春·四川凉山·七年级统考期末）已知❑ √12−n是正偶数，则实数n的最大 值为（ ） ．12 B．11 ．8 D．3 【变式7-3】（2022 秋·四川达州·八年级校考期中）已知有理数满足 5−❑ √3a=2b+2❑ √3−a，则a+b的值是______ 【考点8 化简并估算二次根式的值】 【例8】（2022 秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）估计(❑ √2+❑ √3)×2❑ √2的值 应在（ ） ．8 到9 之间 B．9 到10 之间 ．10 到11 之间 D．11 到12 之间 【变式8-1】（2022 秋·重庆大渡口·九年级校考期末）估计(❑ √42+❑ √3)÷ ❑ √3的值应在 （ ） ．2 到3 之间 B．3 到4 之间 ．4 到5 之间 D．5 到6 之间 【变式8-2】（2022 秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，若以❑ √3米为单位长度建立数轴， 线段B=17 米，点在原点，点B 在数轴的正半轴，估计点B 位于两个相邻整数之间，这两个 整数分别是______． 【变式8-3】（2022 春·八年级单元测试）观察下列各式子，并回答下面问题． 第一个：❑ √1 2−1 第二个：❑ √2 2−2 第三个：❑ √3 2−3 第四个：❑ √4 2−4… （1）试写出第n个式子（用含n的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16 个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由． 【考点9 二次根式中的规律探究】 【例9】（2022 秋·河北邯郸·八年级统考期末）观察下列等式：第1 个等式： 1 a1= 1 1+❑ √2=❑ √2−1；第2 个等式：a2= 1 ❑ √2+❑ √3=❑ √3−❑ √2；第3 个等式： a3= 1 ❑ √3+2=2−❑ √3；第4 个等式：a4= 1 2+❑ √5=❑ √5−2，……，按照上述规律，计算： a1+a2+a3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a99=¿（ ） ．3 ❑ √11−1 B．10−3 ❑ √11 ．9 D．8 【变式9-1】（2022 春·河北石家庄·八年级统考期末）观察下列各式： ❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2=1+ 1 1−1 2=1 1 2 ❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2=1+ 1 2−1 3=1 1 6 ❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2=1+ 1 3−1 4 =1 1 12 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)❑ √ 1+ 1 4 2 + 1 5 2=________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； (3)利用上述规律计算：❑ √ 50 49 + 1 64 （仿照上式写出过程）． 【变式9-2】（2022 秋·辽宁抚顺·八年级校考期末）阅读材料：像(❑ √6+❑ √5) (❑ √6−❑ √5)=1， ❑ √a×❑ √a=a（a≥0），这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这 两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的 根号．解答下列问题： (1)❑ √7的有理化因式是___________；❑ √7+2的有理化因式是___________； (2)观察下面的变形规律，请你猜想： 1 ❑ √2+1=❑ √2−1， 1 ❑ √3+❑ √2=❑ √3−❑ √2， 1 ❑ √4+❑ √3=❑ √4−❑ √3，……， 1 ❑ √n+1+❑ √n=¿___________． (3)利用上面的方法，请化简： 1 ❑ √2+1 + 1 ❑ √3+❑ √2 + 1 ❑ √4+❑ √3 +⋯+ 1 ❑ √100+❑ √99=¿_________ __． 【变式9-3】（2022 秋·北京顺义·八年级统考期末）一些数按某种规律排列如下： 第一行 1 ❑ √2 第二行 ❑ √3 2 ❑ √5 ❑ √6 1 第三行 ❑ √7 2❑ √2 3 ❑ √10 ❑ √11 2❑ √3 第四行 ❑ √13 ❑ √14 ❑ √15 4 ❑ √17 3 ❑ √2 ❑ √19 2❑ √5 …… (1)根据排列的规律，写出第5 行从左数第4 个数； (2)写出第n（n是正整数）行，从左数第n+1个数（用含n的代数式表示）． 【考点10 复合二次根式的化简】 【例10】（2022 春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）像❑ √4−2❑ √3，❑ √ ❑ √48−❑ √45…这样 的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ❑ √4−2❑ √3＝❑ √3−2❑ √3+1＝❑ √(❑ √3) 2−2×❑ √3×1+1 2＝❑ √(❑ √3−1) 2＝❑ √3−1． 再如：❑ √5+2❑ √6=❑ √3+2❑ √6+2= ❑ √(❑ √3) 2+2❑ √3×❑ √2+(❑ √2) 2 ¿ ❑ √(❑ √3+❑ √2) 2=¿ ❑ √3 +❑ √2 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：❑ √12+2❑ √35； (2)化简：❑ √17−4 ❑ √15； (3)若a+6 ❑ √5=(m+❑ √5n) 2，且，m，为正整数，求的值． 【变式10-1】（2022 春·北京海淀·八年级人大附中校考期中）在二次根式的计算和比较大 小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较＝2❑ √3和b＝3❑ √2的大小，我 们可以把和b 分别平方，∵2＝12，b2＝18，则2＜b2，∴＜b． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较＝4❑ √2，d＝2❑ √7大小， d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想m＝2❑ √5+❑ √6，＝2❑ √3+❑ √14之间的大小，并证明． (3)化简：❑ √4 p−8 ❑ √p−1+❑ √4 p+8 ❑ √p−1＝ （直接写出答）． 【变式10-2】（2022 秋·四川成都·八年级校考期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答， 形如❑ √m±2❑ √n的化简，我们只要找到两个数，b，使a+b=m，ab=n，即 (❑ √a) 2+(❑ √b) 2=m，❑ √a⋅❑ √b=❑ √n，那么便有： ❑ √m±2❑ √n= ❑ √(❑ √a± ❑ √b) 2=❑ √a± ❑ √b(a>b>0) 例如化简：❑ √7+4 ❑ √3 解：首先把❑ √7+4 ❑ √3化为❑ √7+2❑ √12， 这里m=7，n=12， 由于4+3=7，4×3=12， 1 所以(❑ √4) 2+(❑ √3) 2=7,❑ √4×❑ √3=❑ √12， 所以❑ √7+4 ❑ √3=❑ √7+2❑ √12= ❑ √(❑ √4+❑ √3) 2=2+❑ √3 （1）根据上述方法化简：❑ √4+2❑ √3 （2）根据上述方法化简：❑ √13−2❑ √42 （3）根据上述方法化简：❑ √4−❑ √15 【变式10-3】（2022 春·安徽芜湖·八年级统考期中）阅读理解 “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法：2+❑ √3 2−❑ √3= (2+❑ √3)(2+❑ √3) (2−❑ √3)(2+❑ √3)=7+4 ❑ √3，除 此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理