专题16.3 期中期末专项复习之轴对称十六大必考点（解析版）

专题163 轴对称十六大必考点 【人版】 【考点1 轴对称中坐标与图形变化】.....................................................................................................................1 【考点2 格点中的轴对称】.....................................................................................................................................3 【考点3 设计轴对轴图】.........................................................................................................................................8 【考点4 镜面对称】............................................................................................................................................... 11 【考点5 利用轴对称求最值】...............................................................................................................................12 【考点6 寻找构成等腰三角形的点的个数】.......................................................................................................17 【考点7 利用三线合一求值】...............................................................................................................................19 【考点8 利用三线合一证明】...............................................................................................................................23 【考点9 利用等角对等边证明边长相等】........................................................................................................... 28 【考点10 利用等角对等边证明】..........................................................................................................................32 【考点11 作等腰三角形】......................................................................................................................................38 【考点12 等边三角形的判定与性质】..................................................................................................................43 【考点13 含30 度的直角三角形】.........................................................................................................................52 【考点14 尺规作垂直平分线或垂线】..................................................................................................................61 【考点15 垂直平分线的判定与性质】..................................................................................................................65 【考点16 等腰三角形中的新定义问题】.............................................................................................................. 74 【考点1 轴对称中坐标与图形变化】 【例1】（2022·贵州省遵义市第一初级中学八年级阶段练习）已知点P1(2a−b,2)和 P2(−7,4 a+2b)关于x轴对称，则a b=¿__． 【答】−8 【分析】根据题意，列关于、b 的二元一次方程组，求解并计算即可； 【详解】∵点P1(2a−b,2)和P2(−7,4 a+2b)关于x轴对称， ∴¿ 解得¿， ∴a b=(−2) 3=−8． 故答为：−8 【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解二元一次方程组，掌握相关知识并熟练 使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 【变式1-1】（2022·内蒙古·霍林郭勒市第五中学七年级期中）将点先向下平移3 个单位， 再向右平移2 个单位后得B（﹣2，5），则点关于y 轴的对称点坐标为__________． 1 【答】（4，8） 【分析】设（x，y），根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加列方程求解，再根据 “关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：设（x，y）， ∵点向下平移3 个单位，再向右平移2 个单位后得B（−2，5）， ∴x＋2＝−2，y−3＝5， 解得x＝−4，y＝8， ∴点的坐标为（−4，8）， ∴点关于y 轴的对称点坐标为（4，8）． 故答为：（4，8）． 【点睛】本题考查了坐标的平移规律，以及关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关 键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关 于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）已知点P（2+b，-3）与点P′（8，b+2）． (1)若点p 与点p′关于x 轴对称，求、b 的值． (2)若点p 与点p′关于y 轴对称，求、b 的值． 【答】(1)=2，b=4 (2)=6，b=-20 【分析】（1）根据关于x 轴对称的点，横坐标相等、纵坐标互为相反数方程组求解即可； （2）根据关于y 轴对称的点，纵坐标相等、横坐标互为相反数方程组求解即可． （1） 解：∵点P 与点P'关于x 轴对称， 2+ ∴ b=8，3= b+2,解得=2， b=4． （2） 解：∵点P 与点P'关于y 轴对称， 2+ ∴ b=-8，-3= b+2 解得=6， b=-20． 【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点坐标特征，关于x 轴对称的点，横坐标相等， 纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相等、横坐标互为相反数． 【变式1-3】（2022·吉林白山·八年级期末）在坐标平面上有一个轴对称图形，其中（3， ﹣5 2）和B（3，﹣11 2 ）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点（﹣2，﹣9），则点 对称点的坐标是（ ） 1 ．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣3 2） ．（﹣3 2，﹣9） D．（﹣2，﹣1） 【答】 【分析】先利用点和点B 的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点关于直 线y=-4 的对称点即可． 【详解】解：∵（3，﹣5 2）和B（3，﹣11 2 ）是图形上的一对对称点， ∴点与点B 关于直线y＝﹣4 对称， ∴点（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4 的对称点的坐标为（﹣2，1）． 故选：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m 对称，则 两点的纵坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和 为2． 【考点2 格点中的轴对称】 【例2】（2022·湖北·武汉市光谷实验中学八年级开学考试）如图，是一个8×10 正方形格 纸，△B 中点坐标为( 2 ﹣，1)，B 点的坐标为( 1 ﹣，2)． (1)请在图中建立平面直角坐标系，指出△B 和△A ' B 'C '关于哪条直线对称？（直接写答） (2)作出△B 关于x 轴对称图形△A1B1C1；请直接写出A '、B '、C '三点坐标． (3)在x 轴上求作一点M，使△A B ' M的周长最小，请直接写出M 点的坐标． 【答】(1)见解析，△B 与△A ' B 'C '关于y 轴对称 (2)见解析，A '(2,1),B '(1,2),C '(3,3) (3)见解析，M( 1 ﹣，0) 【分析】（1）根据，B 两点坐标，确定平面直角坐标系即可； （2）利用轴对称的性质分别作出，B，的对应点A1,B1,C1即可； 1 （3）作点B '关于x 轴的对称点B ″，连接A B ″交x 轴于点M，连接M B '，点M 即为所求． （1） 解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示：△B 与△A ' B 'C '关于y 轴对称； （2） 如图，△A1B1C1即为所求，A '(2,1),B '(1,2),C '(3,3)； （3） 如图，点M 即为所求．M（﹣1，0）． 此时：C △A B ' M=A B '+ AM +B ' M=A B '+ AM +B ″ M=A B '+ A B ″ , 此时满足周长最短． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴 对称的性质解决最短问题，属于中考常考题型． 【变式2-1】（2022·山东济南·八年级期中）如图，平面直角坐标系中，（﹣2，1），B （﹣3，4），（﹣1，3），过点（1，0）作x 轴的垂线l． (1)作出△B 关于直线l 的轴对称图形△A1B1C1； (2)直接写出A1（ ， ），B1（ ， ），C1（ ， ）； (3)在△B 内有一点P（m，），则点P 关于直线l 的对称点P1的坐标为（ ， ）（结 果用含m，的式子表示）． 【答】(1)见解析 1 (2)4，1；5，4；3，3 (3)2−m， 【分析】（1）根据轴对称的性质画出△B 关于直线l 的轴对称图形△A1B1C1； （2）根据坐标系写出点的坐标； （3）根据△B 与△A1B1C1关于直线l 的轴对称，则P与P1关于x=1对称，据此即可求解． （1） 解：如图，△A1B1C1为所作； （2） 由图形可知：1（4，1），B1（5，4），1（3，3）； 故答为：4，1；5，4；3，3； （3） 点P 关于直线l 的对称点P1的坐标为（2﹣m，）． 故答为：2﹣m，． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解 题的关键． 【变式2-2】（2022·全国·八年级专题练习）如图，在正方形格中，点A，B，C，M，N 都在格点上． 1 (1)作△ABC关于直线MN对称的图形△A1B1C1； (2)若格中最小正方形边长为1，求△ABC的面积； (3)在直线MN上找一点P，使得PC−P A1的值最大，并画出点P的位置． 【答】(1)详见解析 (2)7 2 (3)详见解析 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出、B、的对应点A1，B1，C1即可． （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． （3）连接A1C1交直线M 于点P，此时PC−P A1的值最大． （1） 如图，△A1B1C1即为所求． （2） △ABC的面积为3×3−1 2 ×1×3−1 2 ×3×2−1 2 ×1×2=7 2 . （3） 点P 即为所求 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称一最短路径问题，三角形的面积，解决本题 的关键是掌握轴对称的性质准确作出点P． 【变式2-3】（2022·天津市红桥区师发展中心八年级期中）如图，已知三点（-2，3），B （3，-3），（-3，1），△B 与△1B11关于x 轴对称，其中1，B1，1分别是点，B，的对应点． 1 (1)画出△1B11，并写出三个顶点1，B1，1的坐标； (2)若点M (m+2，n−1)是△ABC上一点，其关于x轴的对称点为M '(−m−4，n−3)， 求m，n的值． 【答】(1)图见解析，1（-2，-3），B1（3，3），1（-3，-1） (2)m=-3，=2 【分析】（1）首先确定、B、三点的对称点位置，再连接即可，然后再利用坐标系写出 1，B1，1的坐标； （2）利用关于x 轴的对称的对称点坐标特点可得m+2=-m-4，-1+-3=0，再解方程即可． （1） 如图所示，△1B11即为所求， 1（-2，-3），B1（3，3），1（-3，-1）； （2） ∵点M（m+2，-1）是△B 上一点，其关于x 轴的对称点为M′（-m-4，-3）， ∴m+2=-m-4，-1+-3=0， 解得：m=-3，=2． 【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点 位置． 1 【考点3 设计轴对轴图】 【例3】（2022·江苏·八年级课时练习）如图所示的“钻石”型格（由边长都为1 个单位长 度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3 个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑 一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（ ）种 涂法． ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】将一个图形沿着某条直线翻折,直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形, 根据轴对称图形的概念进行设计即可． 【详解】解：如图所示： 故选： 【点睛】本题主要考查轴对称图形的概念,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称图形的概念． 【变式3-1】（2022·河北·九年级专题练习）如图为5×5 的方格，其中有、B、三点，现有 一点P 在其它格点上，且、B、、P 为轴对称图形，问共有几个这样的点P（ ） ．5 B．4 ．3 D．2 【答】B 1 【分析】利用轴对称图形的性质得出符合题意的点即可． 【详解】解：如图所示：、B、、P 为轴对称图形，共有4 个这样的点P． 答：B． 【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图,正确把握轴对称图形的定义是解题关键． 【变式3-2】（2022·全国·七年级专题练习）在3×3 的正方形格中，有三个小方格涂上阴影， 请再在余下的6 个空白的小方格中，选两个小方格并涂成阴影，使得图中的阴影部分组成 一个轴对称图形，共有 ( )种不同的填涂方法． ．3 种 B．4 种 ．5 种 D．6 种 【答】D 【分析】如图，将图中的空白正方形标号，然后根据轴对称图形的定义对其不同的组合进 行判断即可． 【详解】解：如图所示： 当将①②、①⑤、②③、②⑥、④⑤、④⑥分别组合，都可以得到轴对称图形，共有6 种 方法． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的设计，熟知概念、明确方法是解题的关键． 【变式3-3】（2022·江苏·八年级专题练习）现有如图1 所示的两种瓷砖，请你从两种瓷砖 1 中各选两块，拼成一个新的正方形，使拼成的图为轴对称图形，如图2，要求：在图3，图 4 中各设计一种与示例拼法不同的轴对称图形． 【答】见解析 【分析】利用轴对称的性质，以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同 的图即可． 【详解】解：依照轴对称图形的定义，设计出图形，如图所示． 【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图，利用轴对称定义得出是解题关键． 【考点4 镜面对称】 【例4】（2022·江苏·宜兴外国语学校八年级阶段练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟如 下，你认为实际时间最接近9：00（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过 12 时、6 时的直线成轴对称． 【详解】9 点的时钟，在镜子里看起来应该是3 点，所以最接近9 点的时间在镜子里看起来 就更接近3 点，所以应该是图B 所示，最接近9 点时间． 故选：B． 【点睛】主要考查镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序 颠倒，且关于镜面对称． 【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜 1 子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为____． 【答】E6395 【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰 好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成镜面对称， 则该车牌照的部分号码为E6395． 故答为：E6395． 【点睛】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨顺迈学校八年级阶段练习）从镜子中看到背后墙上电子 钟的示意数为10：05,这时的实际时间为______ 【答】20：01 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜 面对称． 【详解】解：由图分析可得题中所给的“10：05”与“20：01”成轴对称，这时的时间应是 20：01． 故答为：20：01． 【点睛】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【变式4-3】（2022·甘肃平凉·八年级期中）小明从平面镜子中看到镜中电子钟示数的像如 图所示，这时的时刻应是________． 【答】16:25:08 【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称 性可得实际数字． 【详解】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， 5 ∵的对称数字为2，2 的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是16:25:08 故答为16:25:08 【点睛】本题考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称 轴，数的顺序正好相反，注意2 的对称数字为5，5 的对称数字是2．