专题16.2 期中期末专项复习之全等三角形十六大必考点（原卷版）

专题162 全等三角形十六大必考点 【人版】 【考点1 利用全等图形求格中的角度和】............................................................................................................. 1 【考点2 将已知图形分割成几个全等的图形】.....................................................................................................2 【考点3 添加条件使三角形全等】.........................................................................................................................3 【考点4 灵活选用判定方法证明全等】................................................................................................................. 4 【考点5 尺规作图与全等的综合运用】................................................................................................................. 5 【考点6 证明全等的常见辅助线的作法】............................................................................................................. 7 【考点7 证一条线段等于两条线段的和（差）】..................................................................................................8 【考点8 全等中的倍长中线模型】.......................................................................................................................10 【考点9 全等中的旋转模型】...............................................................................................................................12 【考点10 全等中的垂线模型】..............................................................................................................................13 【考点11 全等中的其他模型】..............................................................................................................................15 【考点12 全等三角形的动点问题】......................................................................................................................16 【考点13 尺规作图作角平分线】..........................................................................................................................18 【考点14 角平分线的判定与性质的综合求值】..................................................................................................19 【考点15 角平分线的判定与性质的综合证明】..................................................................................................21 【考点16 角平分线的实际应用】..........................................................................................................................22 【考点1 利用全等图形求格中的角度和】 【例1】（2022·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图为6 个边长相等的正方形 的组合图形，则∠1+ 3- 2= ∠ ∠ （ ） ．30° B．45° ．60° D．135° 【变式1-1】（2022·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4 个相同的 小正方形组成的格点图中，∠1+ 2+ 3=________ ∠ ∠ 度． 1 【变式1-2】（2022·江苏·八年级单元测试）如图所示的格是正方形格，图形的各个顶点均 为格点，则∠P＋∠Q＝__________度． 【变式1-3】（2022·山东·济南市槐荫区育学研究中心二模）如图，在4×4的正方形格中， 求α+β=¿______度． 【考点2 将已知图形分割成几个全等的图形】 【例2】（2022·全国·八年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等 的图形． 【变式2-1】（2022·江苏·八年级专题练习）方格纸上有2 个图形，你能沿着格线把每一个 图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线． 【变式2-2】（2022·江苏·八年级课时练习）试在下列两个图中，沿正方形的格线（虚线） 把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影． 1 【变式2-3】（2022·全国·八年级专题练习）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全 等形．” 理解应用：我们可以把4×4 格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2 是两种不同的划分方法，其中图3 与图1 视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． 【考点3 添加条件使三角形全等】 【例3】（2022·全国·八年级专题练习）如图，∠＝∠D＝90°，添加下列条件：①＝D；② ∠B＝∠BD；③B＝BD，其中能判定Rt△B 与Rt△BD 全等的条件有（ ） ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 【变式3-1】（2022·重庆·中考真题）如图，点B，F，，E 共线，∠B=∠E，BF=E，添加一 个条件，不能判断△B≌△DEF 的是（ ） 1 ．B=DE B．∠=∠D ．=DF D．∥FD 【变式3-2】（2022·安徽淮南·八年级期末）如图，点P 是B 上任意一点，∠B=∠BD，还应 补充一个条件，才能推出△P≌△PD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△P≌△PD 的是( ) ．B=BD； B．=D； ．∠B=∠DB； D．∠B=∠DB 【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，B，D 相交于点E，且B=D，试添加一个 条件使得△DE BE ≌△ ．现给出如下五个条件：①∠= ;② B= D;③E=E;④BE=DE;⑤D=B ∠ ∠ ∠ ． 其中符合要求有( ) ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【考点4 灵活选用判定方法证明全等】 【例4】（2022·湖南·八年级单元测试）具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是 （ ）． ．有两个角对应相等的两个三角形 B．两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形 ．两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形 D．有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形 1 【变式4-1】（2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习）我国传统工艺中， 油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF， ¿=GF，则△AEG≌△AFG的依据是（ ） ．SS B．S ．S D．SSS 【变式4-2】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）如图，已知B∥D，D∥B，与BD 交于点，E⊥BD 于点E，F⊥BD 于点F，那么图中全等的三角形有（ ） ．5 对 B．6 对 ．7 对 D．8 对 【变式4-3】（2022·浙江·八年级单元测试）根据下列条件不能唯一画出△B 的是（ ） ．B＝5，B＝6，＝7 B．B＝5，B＝6，∠B＝45° ．B＝5，＝4，∠＝90° D．B＝3，＝4，∠＝45° 【考点5 尺规作图与全等的综合运用】 【例5】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC外找一个点A '（与点不重合）， 并以BC为一边作△A ' BC，使之与△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，则符合条件 的点A '有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式5-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，以△B 的顶点为圆心，以B 长为半径作弧； 1 再以顶点为圆心，以B 长为半径作弧，两弧交于点D；连结D，D．由作法可得： △ABC ≅△CDA的根据是（ ） ．SS B．S ．S D．SSS 【变式5-2】（2022·广东·普宁市红领巾实验学校八年级阶段练习）在课堂上，张老师布置 了一道画图题：画一个Rt △ABC，使∠B=90°，它的两条边分别等于两条已知线段． 小刘和小赵同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么 小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______ 【变式5-3】（2022·北京·101 中学九年级开学考试）李老师制作了如图1 所示的学具，用 来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q 在轨道槽M 上运 动，点P 既能在以为圆心、以8 为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽Q 上运动．图 2 是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ ②当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ ③当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ 其中所有正确结论的序号是______________． 【考点6 证明全等的常见辅助线的作法】 【例6】（2022·江苏·宿迁青华中学七年级阶段练习）（1）如图①，四边形BD 中，B=D， ∠B= D=90° ∠ ．E，F 分别是B，D 上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EF 与∠BD 之间的数量 1 关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD 到G，使DG=BE，连结G．先证明 ，再证明△AEF ≌△AGF，从而得出∠EF= GF ∠ ，最后得出∠EF 与∠BD 之间的数量关系是 ． （2）将（1）中的条件“∠B= D=90°” ∠ 改为“∠B+ D=180°” ∠ （如图②），其余条件不变，上 述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由 （3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（）北偏西 30°的处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B 处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行 动指令后，中国舰艇向正东方向以60 海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方 向以80 海里/小时的速度前进，2 小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F 处且相距 280 海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（处）形成的夹角∠EF 的大小． 【变式6-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知：AB=AC，BD=CD， ∠A=60°，∠D=140°，则∠B=¿（ ） ．50 ∘ B．40 ∘ ．40 ∘或70 ∘ D．30 ∘ 【变式6-2】（2022·全国·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰 的距离之和等于定长（提示：添加辅助线证明） （2）如图所示，在三角形B 中，点D 是三角形内一点，连接D、DB、D，若 AB=AC ,∠ADB=∠ADC，求证：D 平分∠BAC 1 【变式6-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知等腰△B 中，B=，点D 在直线B 上， DE B ∥，交直线与点E，且BD=B，⊥B，垂足为． （1）当点D 在线段B 上时，如图1，求证D=B+DE； （2）当点D 在线段B 延长线上时，如图2，当点D 在线段B 延长线上时，如图3，直接写 出D，B，DE 之间的数量关系，不需要证明． 【考点7 证一条线段等于两条线段的和（差）】 【例7】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△B 中，∠B＝45°，∠B＝30°，D 平分∠B， D⊥D，求证：D＝B＋D 【变式7-1】（2022·安徽淮北·八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中， AB/¿CD , AE是∠BAC的平分线，且AE⊥CE．若AC=a,BD=b，则四边形ABDC 的周长为（ ） 1 ．1.5(a+b) B．2a+b ．3a−b D．a+2b 【变式7-2】（2022·山东烟台·七年级期末）在△B 中，∠B＝90°，＝B，D 是直线B 上一点 （点D 不与点、B 重合），连接D 并延长到E，使得E＝D，过点E 作EF⊥直线B，交直 线B 于点F． (1)如图1，当点D 为线段B 上的任意一点时，用等式表示线段EF、F、的数量关系，并证 明； (2)如图2，当点D 为线段B 的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、F、的数 量关系是否发生改变，并证明． (3)如图3，当点D 在线段B 的延长线上时，直接写出线段EF、F、之间的数量关系． 【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）在△ABC中，E，D 为△ABC的角平分线， E，D 交于点F． （1）如图1，若∠B=60°． 1 ①直接写出∠AFC的大小； ②求证：AC=AD+CE． （2）若图2，若∠B=90°，求证：S△ACF=S△AFD+S△CEF+S△≝¿¿． 【考点8 全等中的倍长中线模型】 【例8】（2022·江西吉安·七年级期末）（1）基础应用：如图1，在△B 中，B＝5，＝7，D 是B 边上的中线，延长D 到点E 使DE＝D，连接E，把B，，2D 利用旋转全等的方式集中 在△E 中，利用三角形三边关系可得D 的取值范围是 ； （2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△B 中，D 是B 边上的中线，点 E，F 分别在B，上，且DE⊥DF，求证：BE+F＞EF； （3）综合应用：如图3，在四边形BD 中，B＝D，∠B+∠D＝180°且∠EF＝1 2∠BD，试问线 段EF、BE、FD 具有怎样的数量关系，并证明． 【变式8-1】（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现： 如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D 为B 边的中点，求B 边上的中线D 的取 值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长D 到点E 使DE=AD，再连接BE，可证 △ACD≌△EBD，从而把B、，2 AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判 断中线D 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在△ABC中，点D 是B 的中点，DE⊥DF于点D，DE 交B 于点E，DF 交于点 F，连接EF，判断BE+CF与EF 的大小关系并证明； 1 （3）问题拓展： 如图③，在四边形BD 中，AB // CD，F 与D 的延长线交于点F、点E 是B 的中点，若E 是∠BAF的角平分线．试探究线段B，F，F 之间的数量关系，并加以证明． 【变式8-2】（2022·山东·高唐县赵寨子中学八年级期中）已知：△B 和△DE 都是等腰直角三 角形，∠B= DE=90° ∠ ，点M 是BE 的中点，连接M、DM． （1）当点D 在B 上，点E 在上时（如图一），求证：DM=M，DM M ⊥ ； （2）当点D 在延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）； （3）当ED B ∥时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明． 【变式8-3】（2022·全国·八年级）如图1，在△B 中，若B＝10，B＝8，求边上的中线BD 的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD 至E，使DE＝BD，连接E，可证得△ED≌△BD． ①请证明△ED≌△BD； ②中线BD 的取值范围是 ． （2）问题拓展：如图2，在△B 中，点D 是的中点，分别以B，B 为直角边向△B 外作等腰 直角三角形BM 和等腰直角三角形B，其中，B＝BM，B＝B，∠BM＝∠B＝∠90°，连接M． 请写出BD 与M 的数量关系，并说明理由． 1 【考点9 全等中的旋转模型】 【例9】（2022·全国·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别 以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连 接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把Rt △ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与 BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【变式9-1】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在Rt △ABC中，AB=AC， ∠ABC=∠ACB=45°，D、E 是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，若BD=3， CE=4，S△ADE=15，则△ABD与△AEC的面积之和为（ ） ．36 B．21 ．30 D．22 【变式9-2】（2022·江苏·南京民办求真中学七年级阶段练习）如图直角三角形中的空白部 分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，D=3 厘米，阴影部 分的面积是6 平方厘米，DB长______厘米． 1 【变式9-3】（2022·全国·八年级课时练习）综合与实践 （1）如图1，在正方形BD 中，点M、分别在D、D 上，若∠MB＝45°，则M，M，的数量 关系为 ． （2）如图2，在四边形BD 中，B∥D，B＝B，∠+∠＝180°，点M、分别在D、D 上，若 ∠MB＝1 2∠B，试探索线段M、M、有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形BD