专题22.5 二次函数的应用【九大题型】（解析版）

专题225 二次函数的应用【九大题型】 【人版】 【题型1 图形面积或周长问题】.............................................................................................................................1 【题型2 图形运动问题】.........................................................................................................................................6 【题型3 拱桥问题】............................................................................................................................................... 10 【题型4 销售问题】............................................................................................................................................... 14 【题型5 投球问题】............................................................................................................................................... 18 【题型6 喷水问题】............................................................................................................................................... 24 【题型7 增长率问题】...........................................................................................................................................30 【题型8 车过隧道问题】.......................................................................................................................................33 【题型9 行程问题】............................................................................................................................................... 38 【知识点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】 审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什 么，找出等量关系（即函数关系）； 设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确； 列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就 是二次函数； 解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题； 检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答； 答：写出答 【题型1 图形面积或周长问题】 【例1】（2022 秋•越城区期末）为优化迪荡湖公的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够 长）为一边，用总长为80m 的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形 区域，且要求这三块矩形区域的面积相等．设B 的长度为xm，矩形区域BD 的面积为 ym2． （1）求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； （2）x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 1 【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形EFD 面积是矩形BFE 面积的2 倍，可 得出E＝2BE，设BE＝，则有E＝2，表示出与2，进而表示出y 与x 的关系式，并求出 x 的范围即可； （2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，以及此时x 的值即可． 【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形EFD 面积是矩形BFE 面积的2 倍， ∴E＝2BE， 设BE＝F＝m，则E＝G＝DF＝2m， ∴DF+F+G+E+EB+EF+B＝80，即8+2x＝80， ∴¿−1 4 x+10，3¿−3 4 x+30， ∴y＝（−3 4 x+30）x¿−3 4 x2+30x， ∵¿−1 4 x+10＞0， ∴x＜40， 则y¿−1 4 x2+30x（0＜x＜40）； （2）∵y¿−3 4 x2+30x¿−3 4 （x 20 ﹣ ）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为−3 4 ＜0， ∴当x＝20 时，y 有最大值，最大值为300 平方米． 【变式1-1】（2022•永春县校级自主招生）在美化校的活动中，某兴趣小组想借助如图所 示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花BD（篱笆只围B，B 两边），设B＝xm． （1）若花的面积为252m2，求x 的值； （2）若在P 处有一棵树与墙D，D 的距离分别是17m 和6m，要将这棵树围在花内 （含边界，不考虑树的粗细），求花面积S 的最大值． 1 【分析】（1）根据B＝x 米可知B＝（32﹣x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论； （2）根据P 处有一棵树与墙D、D 的距离分别是18 米和8 米求出x 的取值范围，再根 据（1）中的函数关系式即可得出结论． 【解答】解：（1）设B＝x 米，可知B＝（32﹣x）米，根据题意得：x（32﹣x）＝ 252． 解这个方程得：x1＝18，x2＝14， 答：x 的长度18m 或14m． （2）设周围的矩形面积为S， 则S＝x（32﹣x）＝﹣（x 16 ﹣ ）2+256． ∵在P 处有一棵树与墙D，D 的距离是17m 和6 米， 6≤ ∴ x≤15． ∴当x＝15 时，S 最大＝﹣（15 16 ﹣ ）2+256＝255（平方米）． 答：花面积的最大值是255 平方米． 【变式1-2】（2022 秋•清江浦区校级月考）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方 程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2 6 ﹣x+10＝（x2﹣ 6x+9 9 ﹣）+10＝（x 3 ﹣）2 9+10 ﹣ ＝（x 3 ﹣）2+1≥1；因此x2 6 ﹣x+10 有最小值是1，只有 当x＝3 时，才能得到这个式子的最小值1．同样﹣3x2 6 ﹣x+5＝﹣3（x2+2x+1 1 ﹣）+5＝ ﹣3（x+1）2+8，因此﹣3x2 6 ﹣x+5 有最大值是8，只有当x＝﹣1 时，才能得到这个式子 的最小值8． （1）当x＝ 3 时，代数式﹣2（x 3 ﹣）2+5 有最大值为 5 ． （2）当x＝ ﹣ 1 时，代数式2x2+4x+3 有最小值为 1 ． （3）矩形自行车场地BD 一边靠墙（墙长10m），在B 和B 边各开一个1 米宽的小门 （不用木板），现有能围成14m 长的木板，当D 长为多少时，自行车场地的面积最大？ 最大面积是多少？ 【分析】（1）类比例子得出答即可； 1 （2）根据题意利用配方法配成（1）中的类型，进一步确定最值即可； （3）根据题意利用长方形的面积列出式子，利用（1）（2）的方法解决问题． 【解答】解：（1）在代数式﹣2（x 3 ﹣）2+5 中，当x＝3 时，有最大值5， 故答为：3、5； （2）∵2x2+4x+3＝2（x2+2x+1 1 ﹣）+3＝2（x+1）2+1， ∴当x＝﹣1 时，代数式2x2+4x+3 有最小值为1， 故答为：﹣1、1； （3）设D＝x，则B＝14﹣（x+x 1 ﹣）+1＝16 2 ﹣x， ∵S＝x（16 2 ﹣x）＝﹣2（x 4 ﹣）2+32， ∴当D＝4m 时，面积最大值为32m2． 【变式1-3】（2022•市南区一模）小明准备给长16 米，宽12 米的长方形空地栽种花卉和 草坪，图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四 边形BD 和EFG 均为正方形，且各有两边与长方形边重合：矩形MF（区域Ⅱ）是这两 个正方形的重叠部分，如图所示． （1）若花卉均价为300 元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为200 元/米2， 且花卉和草坪栽种总价不超过43600 元，求S 的最大值． （2）若矩形MF 满足MF：F＝1：2． ①求MF，F 的长． ②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为为180 元/米2，90 元/米2，180 元/米2，且边B 的 长不小于边ME 长的5 4 倍．求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价元的最大值． 【分析】（1）先求出长方形空地的面积，从而可得栽种草坪的面积，再根据“总价不 超过43600 元”建立一元一次不等式，然后求解即可得； （2）①设B＝，EF＝b，根据正方形的性质、线段的和差可得MF、F 的长，再根据 MF：F＝1：2 可得、b 的关系等式，由此即可得出答；②先在①的基础上，求出关于的 函数表达式，再根据题意求出的取值范围，然后利用二次函数的性质即可得． 【解答】解：（1）长方形空地的面积为16×12＝192（米2）， 由题意得：300S+200（192﹣S）≤43600， 1 解得：S≤52， 故S 的最大值为52 米2； （2）①设B＝，EF＝b， ∵四边形BD 和EFG 均为正方形， ∴D＝B＝，FG＝EF＝b， ∴MF＝D+EF 16 ﹣ ＝+b 16 ﹣ ， F＝B+FG 12 ﹣ ＝+b 12 ﹣ ， 又∵MF FN =1 2， ∴a+b−16 a+b−12=1 2， 解得：+b＝20， ∴MF＝20 16 ﹣ ＝4（米），F＝20 12 ﹣ ＝8（米）， 答：MF 的长为4 米，F 的长为8 米； ②由①可知，+b＝20，即b＝20﹣， ∴ME＝16﹣D＝16﹣， DM＝12﹣FG＝12﹣b＝12﹣（20﹣）＝﹣8， B＝16﹣EF＝16﹣b＝16﹣（20﹣）＝﹣4G＝12﹣B＝12﹣， 则由题意得： ＝180（16﹣）（﹣8）+90×4×8+180（12﹣）（﹣4）＝﹣360（﹣10）2+7200， 又∵B≥5 4 ME 且B＜12， 4 ∴﹣≤5 4 （16﹣）且＜12， 解得：32 3 ＜＜12， 由二次函数的性质可知，当32 3 ＜＜12 时，随的增大而减小， 则当¿ 32 3 时，取得最大值，最大值为﹣360×（32 3 −¿10）2+7200＝7040（元）． 答：图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价的最大值为7040 元． 【题型2 图形运动问题】 【例2】（2022 秋•利川市校级期中）如图，在矩形BD 中，B＝12m，B＝9m．P、Q 两点 同时从点B、D 出发，分别沿B、D 方向匀速运动（当P 运动到时，P、Q 同时停止运 动），已知P 点的速度比Q 点大1m/s，设P 点的运动时间为x 秒，△PQ 的面积为ym2， 1 （1）经过3 秒△PQ 的面积是矩形BD 面积的1 3时，求P、Q 两点的运动速度分别是多少？ （2）以（1）中求出的结论为条件，写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值 范围． 【分析】（1）设Q 点的运动速度为vm/s，则P 的运动速度为（v+1）m/s，得出DQ＝ 3v，BP＝3（v+1），根据3 秒△PQ 的面积是矩形BD 面积的1 3列出方程求解可得； （2）根据题意知BP＝（4−❑ √2）x，DQ＝（3−❑ √2）x，由矩形面积公式可得函数解析 式，根据P≥0 得出x 的范围． 【解答】解：（1）设Q 点的运动速度为vm/s，则P 的运动速度为（v+1）m/s， 则DQ＝3v，BP＝3（v+1）， 由题意得：1 2•[12 3 ﹣（v+1）]•（9 3 ﹣v）¿ 1 3 ×9×12， 解得：v＝3+❑ √2或v＝3−❑ √2， 又3（v+1）≤12， ∴v≤3， 3 ∵+❑ √2＞3，舍去， 故点Q 的运动速度为3−❑ √2m/s，点P 的运动速度为4−❑ √2m/s； （2）当点Q 的运动速度为3−❑ √2m/s，点P 的运动速度为4−❑ √2m/s 时， BP＝（4−❑ √2）x，DQ＝（3−❑ √2）x， ∴y¿ 1 2[12﹣（4−❑ √2）x]•[9﹣（3−❑ √2）x] ¿ 14−7 ❑ √2 2 x2−72−21❑ √2 2 x+54， 9 ∵﹣（3−❑ √2）x≥0， 0≤ ∴ x≤27+9 ❑ √2 7 ． 【变式2-1】（2022•巨野县期末）如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝12，B＝24，动点P 从点 开始沿边B 向终点B 以每秒2 个单位长度的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边B 以每秒 4 个单位长度的速度向终点移动，如果点P、Q 分别从点、B 同时出发，那么△PBQ 的面 1 积S 随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围． 【分析】根据题意表示出BP，BQ 的长进而得出△PBQ 的面积S 随出发时间t（s）的函 数关系式． 【解答】解：△PBQ 的面积S 随出发时间t（s）成二次函数关系变化， ∵在△B 中，∠B＝90°，B＝12，B＝24，动点P 从点开始沿边B 向终点B 以每秒2 个单 位长度的速度移动， 动点Q 从点B 开始沿边B 以每秒4 个单位长度的速度向终点移动， ∴BP＝12 2 ﹣t，BQ＝4t， ∴△PBQ 的面积S 随出发时间t（s）的解析式为：S¿ 1 2（12 2 ﹣t）×4t＝﹣4t2+24t，（0＜ t＜6）． 【变式2-2】（2022 秋•丹阳市校级月考）如图，在△B 中，B＝7m，＝24m，B＝25m，P 点 在B 上，从B 点到点运动（不包括点），点P 运动的速度为2m/s；Q 点在上从点运动到 点（不包括点），速度为5m/s．若点P、Q 分别从B、同时运动，请解答下面的问题， 并写出探索的主要过程： （1）经过多少时间后，P、Q 两点的距离为5❑ √2m2？ （2）经过多少时间后，S△PQ的面积为15m2？ （3）请用配方法说明，何时△PQ 的面积最大，最大面积是多少？ 【分析】（1）根据勾股定理P2+Q2＝PQ2，便可求出经过1s 后，P、Q 两点的距离为5 ❑ √2m2 （2）根据三角形的面积公式S△PQ¿ 1 2 ×P×Q 便可求出经过2 或15s 后，S△PQ 的面积为 15m2 1 （3）根据三角形的面积公式S△PQ¿ 1 2 ×P×Q 以及二次函数最值便可求出t＝175s 时△PQ 的面积最大． 【解答】解：（1）设经过ts 后，P、Q 两点的距离为5❑ √2m， ts 后，P＝7 2 ﹣tm，Q＝5tm， 根据勾股定理可知P2+Q2＝PQ2， 代入数据(7−2t ) 2+(5t ) 2=(5 ❑ √2) 2； 解得t＝1 或t¿−1 29（不合题意舍去）； （2）设经过ts 后，S△PQ的面积为15m2 ts 后，P＝7 2 ﹣tm，Q＝5tm， S△PQ¿ 1 2 × PC ×CQ=1 2 ×（7 2 ﹣t）×5t＝15 解得t1＝2，t2＝15， 经过2 或15s 后，S△PQ的面积为15m2 （3）设经过ts 后，△PQ 的面积最大， ts 后，P＝7 2 ﹣tm，Q＝5tm， S△PQ¿ 1 2 ×P×Q¿ 1 2 ×（7 2 ﹣t）×5t¿ 5 2 ×（﹣2t2+7t） 当t¿−b 2a时，即t¿ 7 2×2=¿175s 时，△PQ 的面积最大， 即S△PQ¿ 1 2 ×P×Q¿ 1 2 ×（7 2×175 ﹣ ）×5×1752＝245 16 当时间为175 秒时，最大面积为245 16 ． 【变式2-3】（2022 秋•杭州期末）如图（），点F、G、、E 分别从正方形BD 的顶点 B、、D、同时出发，以1m/s 的速度沿着正方形的边向、D、、B 运动．若设运动时间为 x（s），问： （1）四边形EFG 是什么图形？证明你的结论； （2）若正方形BD 的边长为2m，四边形EFG 的面积为y（m2），求y 关于x 的函数解 析式和自变量x 的取值范围； （3）若改变点的连接方式（如图（b）），其余不变．则当动点出发几秒时，图中空白 部分的面积为3m2． 1 【分析】（1）用全等或利用勾股定理计算都可得到E＝EF＝FG＝G，说明∠G＝90°， 得四边形EFG 是正方形； （2）设运动时间为x（s），则直角△E 中，＝x，E＝2﹣x．根据勾股定理即可求得E 的 长，再根据正方形的面积公式即可求解； （3）空白部分的面积¿4 x−4+ 4( x−2) 2 x 2+4 ，即可得到一个关于x 的方程，解方程即可 求解． 【解答】解：（1）∵正方形BD 中B＝B，而∠＝∠B＝90° 又∵＝BE ∴E＝BF ∴△E≌△BFE ∴E＝EF，∠E＝∠EFB 而∠E+∠E＝90° ∴∠E+∠FEB＝90° ∴∠EF＝90° 同理：E＝EF＝FG＝G ∴四边形EFG 是正方形． （2）y=2 2−4× 1 2 x(2−x) ＝2x2 4 ﹣x+4（0＜x＜2）， （3）空白部分的面积¿4 x−4+ 4( x−2) 2 x 2+4 ， 方程为：4 x−4+ 4( x−2) 2 x 2+4 =3， 化简得：4x3 3 ﹣x2 12 ﹣ ＝0， 由计算器估算得x≈174 所以当动点出发约174 秒时，图中空白部分的面积为3m2． 【题型3 拱桥问题】 【例3】（2022•海曙区校级开学）图1 是一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分 1 别为B＝50 米和D＝40 米（如图2 所示），x 轴表示桥面，B＝10 米．若两抛物线交y 轴于同一点，且它们的形状相同，则OB OC 的值为 5 6 ． 【分析】因为两个抛物线形状相同，可设：B 所在抛物线：y＝m（x﹣x）（x﹣xB）①D 所在抛物线：y＝m（x﹣x）（x﹣xD）②其中x，xB，x，xD分别为，B，D 的横坐标，令 x＝0，可以分别求出两条抛物线与y 轴的交点E，F 坐标，然后根据两抛物线交y 轴于同 一点，可以得出xxB＝xxD，然后根据已知条件B，横坐标，从而得出结论． 【解答】解：因为两个抛物线形状相同，可设：yB＝m（x﹣x）（x﹣xB）①，yD