专题22.11 二次函数章末题型过关卷（解析版）

第22 章 二次函数章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（3 分）（2022 秋•长汀县校级月考）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x 2 ﹣） 2+1，下列说法中错误的是（ ） ．y 的最小值为1 B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2 ．当x＜2 时，y 的值随x 值的增大而增大 D．当x≥2 时，y 的值随x 值的增大而增大 【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：二次函数y＝（x 2 ﹣）2+1，＝1＞0， ∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2 时，y 有最小 值1，当x≥2 时，y 的值随x 值的增大而增大，当x＜2 时，y 的值随x 值的增大而减小； 故选项、B、D 的说法正确，的说法错误； 故选：． 2．（3 分）（2022•黑龙江）若二次函数y＝x2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经 过点（ ） ．（2，4） B．（﹣2，﹣4） ．（﹣4，2） D．（4，﹣2） 【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y 轴，再根据二次函数的对称性解答． 【解答】解：∵二次函数y＝x2的对称轴为y 轴， ∴若图象经过点P（﹣2，4）， 则该图象必经过点（2，4）． 故选：． 3．（3 分）（2022•浦东新区二模）已知抛物线y＝﹣（x+1）2 上的两点（x1，y1）和B （x2，y2），如果x1＜x2＜﹣1，那么下列结论一定成立的是（ ） ．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 ．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2的开口向下，有最大值为0，对 称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，所以x1＜x2＜﹣1 时，y1＜ y2＜0． 【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2， ∴＝﹣1＜0，有最大值为0， ∴抛物线开口向下， 1 ∵抛物线y＝﹣（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1， 而x1＜x2＜﹣1， ∴y1＜y2＜0． 故选：． 4．（3 分）（2022 秋•环翠区期中）已知＞0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝x 与y＝ ﹣x2的图象有可能是（ ） ． B． ． D． 【分析】根据二次函数的性质、正比例函数的性质对各个选项中的图象进行判断即可． 【解答】解：、根据正比例函数图象y 随x 的增大而增大，则＞0，二次函数图象开口向 上，则﹣＞0，则＜0，故选项错误； B、根据正比例函数图象y 随x 的增大而减小，则＜0，与已知矛盾，故选项错误； 、根据正比例函数图象y 随x 的增大而减小，则＜0，二次函数图象开口向下，则﹣＜ 0，则＞0，故选项错误； D、根据正比例函数图象y 随x 的增大而增大，则＞0，二次函数图象开口向上，则﹣＜ 0，则＞0，故选项正确． 故选：D． 5．（3 分）（2022•铜仁市）已知抛物线y＝（x﹣）2+k 与x 轴有两个交点（﹣1，0），B （3，0），抛物线y＝（x﹣﹣m）2+k 与x 轴的一个交点是（4，0），则m 的值是（ ） ．5 B．﹣1 ．5 或1 D．﹣5 或﹣1 【分析】先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用点或B 点向右平移得 到点（4，0）得到m 的值． 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣）2+k 的对称轴为直线x＝，抛物线y＝（x﹣﹣m）2+k 的 对称轴为直线x＝+m， ∴当点（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5； 当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4 3 ﹣＝1， 即m 的值为5 或1． 故选：． 1 6．（3 分）（2022•黄石）以x 为自变量的二次函数y＝x2 2 ﹣（b 2 ﹣）x+b2 1 ﹣的图象不经 过第三象限，则实数b 的取值范围是（ ） ．b≥5 4 B．b≥1 或b≤ 1 ﹣ ．b≥2 D．1≤b≤2 【分析】由于二次函数y＝x2 2 ﹣（b 2 ﹣）x+b2 1 ﹣的图象不经过第三象限，所以抛物线 的顶点在x 轴上或上方或在x 轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物 线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x 轴有无交点，抛物线与y 轴的交点的位置， 由此即可得出关于b 的不等式组，解不等式组即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝x2 2 ﹣（b 2 ﹣）x+b2 1 ﹣的图象不经过第三象限， ∵二次项系数＝1， ∴抛物线开口方向向上， 当抛物线的顶点在x 轴上或上方时， 则b2 1≥0 ﹣ ，△＝[2（b 2 ﹣）]2 4 ﹣（b2 1 ﹣）≤0， 解得b≥5 4 ； 当抛物线的顶点在x 轴的下方时， 设抛物线与x 轴的交点的横坐标分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2（b 2 ﹣）＞0，b2 1 ﹣＞0， ∴△＝[2（b 2 ﹣）]2 4 ﹣（b2 1 ﹣）＞0，① b 2 ﹣＞0，② b2 1≥0 ﹣ ，③ 由①得b＜5 4 ，由②得b＞2， ∴此种情况不存在， ∴b≥5 4 ， 故选：． 7．（3 分）（2022•北京一模）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单 位：s）之间近似满足函数关系y＝t2+bt（＜0）．如图记录了y 与t 的两组数据，根据上 述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（ ） 1 ．225s B．125s ．075s D．025s 【分析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得出对称轴即可得出答． 【解答】解：将（05，6），（1，9）代入y＝t2+bt（＜0）得： { 6= 1 4 a+ 1 2 b 9=a+b ， 解得：{ a=−6 b=15 ， 故抛物线解析式为：y＝﹣6t2+15t， 当t¿−b 2a=−15 −12= 5 4 =¿125（秒），此时y 取到最大值，故此时汽车停下， 则该汽车刹车后到停下来所用的时间为125 秒． 故选：B． 8．（3 分）（2022 秋•南召县期中）根据下面表格中的对应值： x 323 324 325 326 x2+bx+ 006 ﹣ 002 ﹣ 003 009 判断方程x2+bx+＝0（≠0，，b，为常数）的一个解x 的范围是（ ） ．322＜x＜323 B．323＜x＜324 ．324＜x＜325 D．325＜x＜326 【分析】根据表中数据得到x＝324 时，x2+bx+＝﹣002；x＝325 时，x2+bx+＝003，则x 取224 到225 之间的某一个数时，使x2+bx+＝0，于是可判断关于x 的方程x2+bx+＝0 （≠0）的一个解x 的范围是324＜x＜325． 【解答】解：∵x＝324 时，x2+bx+＝﹣002；x＝325 时，x2+bx+＝003， ∴关于x 的方程x2+bx+＝0（≠0）的一个解x 的范围是324＜x＜325． 故选：． 9．（3 分）（2022•洪山区校级自主招生）已知函数y＝x2+x 1 ﹣在m≤x≤1 上的最大值是1， 最小值是−5 4 ，则m 的取值范围是（ ） 1 ．m≥ 2 ﹣ B．0≤m≤1 2 ．﹣2≤m≤−1 2 D．m≤−1 2 【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小 值是−5 4 ，得出m≤−1 2；再求得当x＝1 时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大 值，根据二次函数的对称性可得m 的下限． 【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x 1 ﹣的对称轴为直线x¿−1 2， ∴当x¿−1 2时，y 有最小值，此时y¿ 1 4 −1 2−¿1¿−5 4 ， ∵函数y＝x2+x 1 ﹣在m≤x≤1 上的最小值是−5 4 ， ∴m≤−1 2； ∵当x＝1 时，y＝1+1 1 ﹣＝1，对称轴为直线x¿−1 2， ∴当x¿−1 2−¿[1﹣（−1 2 ）]＝﹣2 时，y＝1， ∵函数y＝x2+x 1 ﹣在m≤x≤1 上的最大值是1，且m≤−1 2； 2≤ ∴﹣ m≤−1 2． 解法二：画出函数图象，如图所示： y＝x2+x 1 ﹣ ＝（x+1 2 ）2−5 4 ， ∴当x＝1 时，y＝1； 1 当x¿−1 2，y¿−5 4 ，当x＝﹣2，y＝1， ∵函数y＝x2+x 1 ﹣在m≤x≤1 上的最大值是1，最小值是−5 4 ， 2≤ ∴﹣ m≤−1 2． 故选：． 10．（3 分）（2022 秋•江阴市期末）已知二次函数y＝x2+bx+（≠0）图象如图所示，对称 轴为过点（−1 2 ，0）且平行于y 轴的直线，则下列结论中正确的是（ ） ．b＞0 B．+b＝0 ．2b+＞0 D．4+＜2b 【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本 题． 【解答】解：由图象可得， ＞0，b＞0，＜0， 故b＜0，故选项错误； ∵对称轴为直线x¿−1 2， ∴−b 2a =−1 2 ，得＝b，﹣b＝0，故选项B 错误； ∵当x＝1 时，y＝+b+＜0， 2 ∴b+＜0，故选项错误； ∵对称轴为直线x¿−1 2，当x＝1 时，y＜0， ∴x＝﹣2 时的函数值与x＝1 时的函数值相等， ∴x＝﹣2 时，y＝4 2 ﹣b+＜0， 4+ ∴ ＜2b， 故选项D 正确； 1 故选：D． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．（3 分）（2022•兴安盟）若抛物线y＝﹣x2 6 ﹣x+m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围 是 m ＜﹣ 9 ． 【分析】根据抛物线y＝﹣x2 6 ﹣x+m 与x 轴没有交点，可知当y＝0 时，0＝﹣x2﹣ 6x+m，Δ＜0，从而可以求得m 的取值范围． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2 6 ﹣x+m 与x 轴没有交点， ∴当y＝0 时，0＝﹣x2 6 ﹣x+m， ∴△＝（﹣6）2 4× ﹣ （﹣1）×m＜0， 解得，m＜﹣9 故答为：m＜﹣9． 12．（3 分）（2022•牡丹江）抛物线y＝x2+bx+经过点（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣ 1，则+b+＝ 0 ． 【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y＝x2+bx+与x 轴的另一交点为（1，0）， 由此求出+b+的值． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+经过点（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1， ∴y＝x2+bx+与x 轴的另一交点为（1，0）， + ∴b+＝0． 故答为：0． 13．（3 分）（2022 秋•汉阳区校级月考）如图，函数y＝x2+与y＝mx+的图象交于（﹣1， p），B（3，q）两点，则关于x 的不等式x2﹣mx+＞的解集是 x ＜﹣ 1 或 x ＞ 3 ． 【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【解答】解：观察函数图象可知：当x＜﹣1 或x＞3 时，直线y＝mx+在抛物线y＝x2+的 下方， ∴关于x 的不等式x2﹣mx+＞的解集是x＜﹣1 或x＞3． 故答为：x＜﹣1 或x＞3． 1 14．（3 分）（2022•大连）如图，抛物线y＝x2+bx+与x 轴相交于点、B（m+2，0）与y 轴 相交于点，点D 在该抛物线上，坐标为（m，），则点的坐标是 （﹣ 2 ， 0 ） ． 【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据、B 关于对称轴对称， 可得点坐标． 【解答】解：令x＝0，得到x＝， ∴（0，）， ∵D（m，），得函数图象的对称轴是直线x¿ m 2 ， 设点坐标为（x，0），由、B 关于对称轴x¿ m 2 ，得 x+m+2 2 =m 2 ， 解得x＝﹣2， 即点坐标为（﹣2，0）， 故答为：（﹣2，0）． 15．（3 分）（2022•滕州市校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+的图象如图所示，它与x 轴 的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b 2 ﹣＝0；②b＜0；③﹣ 2b+4＜0；④8+＞0．其中正确的有 ③④ ． 【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得＞0，根据图象与y 轴交点可得＜0，再根 据二次函数的对称轴x¿−b 2a，结合图象与x 轴的交点可得对称轴为直线x＝1，结合对 称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合的取值可判定出b＜0，根据、b、的 正负即可判断出②的正误；利用﹣b+＝0，求出﹣2b+4＜0，即可判断出③的正误；利用 当x＝4 时，y＞0，则16+4b+＞0，由①知，b＝﹣2，得出8+＞0，即可判断出④的正误． 【解答】解：根据图象可得：抛物线开口向上，则＞0．抛物线与y 交与负半轴，则＜ 1 0， 对称轴：x¿−b 2a ＞0， ∵它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴对称轴是直线x＝1， ∴−b 2a =¿1， ∴b+2＝0， 故①错误； ∵＞0， ∴b＜0， ∵＜0， ∴b＞0，故②错误； ③∵﹣b+＝0， ∴＝b﹣， 2 ∴﹣b+4＝﹣2b+4（b﹣）＝2b 3 ﹣， 又由①得b＝﹣2， 2 ∴﹣b+4＝﹣7＜0， 故③正确； ④根据图示知，当x＝4 时，y＞0， 16+4 ∴ b+＞0， 由①知，b＝﹣2， 8+ ∴ ＞0； 故④正确； 综上所述，正确的结论是：③④， 故答为：③④ 16．（3 分）（2022 秋•任城区校级期中）已知抛物线y＝x2 2 ﹣x 的顶点为点，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为点B，若点M 为坐标轴上一点，且M＝MB，则点M 的坐标 是 （ 1 ， 0 ）或（ 0 ， 1 ） ． 【分析】先将抛物线顶点的坐标求出来，作⊥x 轴于点，取B 中点E，作直线E 交y 轴 于点，直线与E 与坐标轴交点坐标即为所求． 【解答】解：把x＝0 代入y＝x2 2 ﹣x 得x2 2 ﹣x＝0， 解得x＝0 或x＝2， ∴点B 坐标为（2，0）， 1 ∵y＝x2 2 ﹣x＝（x 1 ﹣）2 1 ﹣， ∴点坐标为（1，﹣1）， 连接B，作⊥x 轴于点，取B 中点E，作直线E 交y 轴于点， 则点坐标为（1，0），点E 坐标为（1+2 2 ，−1+0 2 ）即（3 2，−1 2 ）， ∴＝B＝1，点满足题意， 直线E 为线段B 的垂直平分线， 设直线E 解析式为y＝kx+b，把（1，0），（3 2，−1 2 ）代入解析式得： { 0=k+b −1 2 =3 2 k+b， 解得{ k=−1 b=1 ， ∴y＝﹣x+1， ∴点D 坐标为（0，1）， ∴点M 的坐标为（1，0）或（0，1）， 故答为：（1，0）或（0，1）． 三．解答题（共7 小题，满分52 分） 17．（6 分）（2022 秋•翔安区校级月考）抛物线y＝（x 2 ﹣）2经过点（1，﹣1） （1）确定的值； （2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标． 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，﹣1）代入y＝（x 2 ﹣） 2可求出＝﹣1； （2）根据坐标轴上点的坐标特征，分别计算出自变量为0 时的函数值和函数值为0 时 对应的自变量的值，即可得到该抛物线与坐标轴的交点坐标． 【解答】解：（1）把（1，﹣1）代入y＝（x 2 ﹣）2得•（1 2 ﹣）2＝﹣1 1 解得＝﹣1 （2）抛物线解析式为y＝﹣（x 2 ﹣）2， 当y＝0 时，﹣（x 2 ﹣）2＝0，解得x＝2， 所以抛物线与x 轴交点坐标为（2，0）； 当x＝0 时，y＝﹣（x 2 ﹣）2＝﹣4， 所以抛物线与y 轴交点坐标为（0，﹣4）． 18．（6 分）（2022•包河区校级模拟）已知：如图，二次函数y＝x2+bx+的图象与x 轴交于、 B 两点，其中点坐标为（﹣1，0），点（0，5），另抛物线经过点（1，8），M 为它的 顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△MB 的面积S△MB． 【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式． （2）可根据抛物线的解析式先求出M 和B 的坐标，由于三角形MB 的面积无法直接求 出，可将其化为其他图形面积的和差来解．过M 作ME⊥y 轴，三角形MB 的面积可通 过梯形MEB 的面积减去三角形ME 的面积减去三角形B 的面积求得． 【解答】解： （1）依题意：{ a−b+c=0 a+b+c=8 c=5 ， 解得{ a=−1 b=4 c=5 ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5 （2）令y＝0，得（x 5 ﹣）（x+1）＝0，x1＝5，x2＝﹣1， ∴B（5，0）． 由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x 2 ﹣）2+9，得M（2，9） 作ME⊥y 轴于点E， 1 可得S△MB＝S 梯形MEB﹣S△ME﹣S△B¿ 1 2（2+5）×9−1 2 ×4×2−1 2 ×5×5＝15． 19．（8 分）（2022•牧野区校级三模）已知抛物线y＝x2+bx+的顶点为（3，2），且过点 （0，11）． （Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）将抛物线先向左平移2 个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新 抛物线． ①若新抛物线与x 轴交于，B 两点（点在点B 的左侧），且B＝3，求m 的值； ②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当≤x1≤+1，x2≥4 时，均有y1≤y2， 求的取值范围． 【分析】（1）设抛物线解析式为顶点式y＝（x 3 ﹣）2+2，把点（0，11）代入求值即可； （2）①利用抛物线解析式求得点、B 的坐标，根据抛物线的对称性质和方程思想求得m 的值即可； ②根据抛物线的对称性质知：当x＝4 和x＝﹣2 时，函数值相等．结合图象，得≥﹣2 且+1≤4．解该不等式组得到：﹣2≤≤3． 【解答】解：（1）∵顶点为（3，2）， ∴y＝x2+bx+＝y＝（x 3 ﹣）2+2（≠0）． 又∵抛物线过点（0，11）， ∴（0 3 ﹣）2+2＝11， ∴＝1． ∴y＝（x 3 ﹣）2+2； （2）由平移的性质知，平移后的抛物线的表达式为y＝（x 3+2 ﹣ ）2+2﹣m＝x2 2 ﹣x+3﹣ m， ①分情况讨论： 若点，B 均在x 轴正半轴上，设（x，0），则B（3x，0）， 由对称性可知：1 2（x+3x）＝1，解得x¿ 1 2， 1 故点的坐标为（1 2，0）， 将点的坐标代入y＝x2 2 ﹣x+3﹣m 得：0¿ 1 4 −¿1+3﹣m， 解得m¿ 9 4 若点在x 轴负半轴上，点B 在x 轴正半轴上，设（x，0），则B（﹣3x，0）， 由对称性可知：1 2（x 3 ﹣x）＝1， 解得x＝﹣1， 故点的坐标为（﹣1，0）， 同理可得m＝6， 综上：m¿ 9 4 或m＝6； ②∵新抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＝4 和x＝﹣2 时，函数值相等． 又∵当≤x1≤+1，x2≥4 时，均有y1≤y2