专题04 二次函数实际应用的四种考法（解析版）

专题04 二次函数实际应用的四种考法 类型一、销售利润问题 例．某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量 （件）是售价 （元/件）的一次函数， 该玩具的月销售总利润 售价－成本 月销量，三者有如下数据： 售价 （元/件） 月销量 （件） 月销售总利润 （元） (1)试求 关于 的函数关系式 的取值范围不必写出）； (2)玩具的成本为______元，当玩具售价 ______元时，月销售总利润有最大值______元； (3)由于原材料下降，从本月起，该玩具成本下降 元/件 ，且物价局规定该玩具售价最高不得 超过 元/件．若月销量 与售价 仍满足（1）中的关系，预计本月总利润 最高为 元，请你求出 的值． 【答】(1) (2) ， (3) 【分析】（1）设y 关于x 的函数解析式为 ，用待定系数法求解即可； （2）根据销售利润的关系式求解即可； （3）根据题意列出二次函数，在根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）设y 关于 的函数解析式为 ，则， ，解得 ， ∴ 关于 的函数解析式为 ； （2）设成本为 元， 由题意可得: ，解得 （元）， 则 ∵ ，则 有最大值， 当 时， ， 故答为： ， ； （3）由题意得 ，函数图象的对称轴为 由题意得 且 ， ∴当 时，最大利润 ， 解得 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【变式训练1】某水果批发商销售每箱进价为40 元的苹果，市场调查发现，若每箱以50 元的价格调查， 平均每天销售90 箱，价格每提高1 元，平均每天少销售3 箱． (1)求平均每天销售量 （箱）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润 （元）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ (4)若物价部门规定每箱售价不得高于55 元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？ 【答】(1) (2) (3)当每箱苹果销售价为 元时，可获得最大利润，为 元 (4)每箱苹果销售价为 元时，可获最大利润 【分析】（1）销售价 （元/箱）时，则每天减小 箱，根据平均每天销售量等于原平均每天销售 数量减去每天减小的箱数，列出平均每天销售量 （箱）与销售价 （元/箱）之间的函数关系式； （2）根据销售利润 销售量（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润 （元）与销售价 （元/箱）之 间的函数关系式； （3）根据二次函数的最值求得最大利润； （4）根据自变量 取值范围和函数增减性可得出答． 【详解】（1）解：根据题意得，售价为 元/箱，则提高了 元，销售量减少了 箱， ． （2）由（1）得销售量为 箱， ． （3）由（2）知 ， 当 时， 有最大值 ． 答：当每箱苹果销售价为 元时，可获得最大利润，为 元． （4）由（3）可知， ， 则抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∴当 时， 随 增大而增大， ∵ ， ∴当 时， 有最大值． 答：每箱苹果销售价为 元时，可获最大利润． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答， 我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方．其中要注意应该在自变量的 取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在 时取得． 【变式训练2】某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比 去年每瓶洗衣液的进价上涨4 元，今年用1440 元购进这款洗衣液的数量与去年用1200 元购进这款洗衣液 的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36 元时，每周可卖出600 瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销 售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1 元，每周的销量可增加100 瓶，规定这种消毒洗衣液每 瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答】(1)今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24 元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33 元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100 元． 【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x 元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是 元，根据 题意列出分式方程，解方程即可； （2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m 元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，根据题意得出： ，根据二次函数的性质可得出答． 【详解】（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x 元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是 元， 根据题意可得： ， 解得： ， 经检验： 是方程的解， 元， 答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24 元 （2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m 元时，这款洗衣液每周的销售利润最大， 根据题意得出： ， 整理得： ， 根据二次函数的性质得出：当 时，利润最大， 最大利润为： ， 答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33 元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100 元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键． 【变式训练3】某超市经销、B 两种商品．商品每千克成本为10 元，经试销发现，该种商品每天销售量y （千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 1 5 20 25 30 销售量y（千克） 3 0 25 20 15 商品B 的成本为3 元/千克，销售单价为6 元/千克，但是每天供货总量只有40 千克，且当天都能销售完． 为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动．即买1 千克商品，免费送1 千克商品B． (1)求销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式； (2)设两种商品的每天销售总利润为元，求出（元）与x 的函数表达式； (3)当商品销售单价定为多少元时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（总利润 两种商品 的销售总额 两种商品的成本） 【答】(1) (2) (3)当商品的定价为305 元时，总利润最大，最大利润是33025 元 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出销售量y（千克）与销售单价x （元/千克） 之间的函数表达式； （2）利用总利润 两种商品的销售总额 两种商品的成本，即可找出与x 之间的函数表达； （3）利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设销售量y（千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数表达式为 ， 将 ， 代入得： ， 解得： ， ∴销售量y（千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数表达式为 ； （2）解：根据题意得： ， 即 ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴当 时，取得最大值，最大值为33025， ∴当商品销售单价定为305 元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是33025 元． 【点睛】本题考查了一次函数以及二次函数的应用，求一次函数解析式等知识点，解题的关键是熟练掌握 一次函数和二次函数的相关性质． 类型二、几何图形运动问题 例．如右图，直线l 的解析式为 ，它与x 轴和y 轴分别相交于、B 两点，点为线段 上一动点， 过点作直线l 的平行线m，交y 轴于点D．点从原点出发，沿 以每秒1 个单位长度的速度向终点运动， 运动时间为t 秒，以 为斜边作等腰直角三角形 （E，两点分别在D 两侧）．若 和 的重 合部分的面积为S，则S 与t 之间的函数关系图象大致是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】分类讨论 时，S 与t 之间的函数关系式式即可求解． 【详解】解：①当 时，如图所示： 可知： ②当 时，如图所示： 此时， ， ， ，综上： 显然只有选项符合题意，故选： 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意找到S 与t 之间的函数关系式是解题关键． 【变式训练1】如图，矩形 中， ， ，动点P 从点出发，以 的速度沿线段 向点B 运动，动点Q 同时从点出发，以 的速度沿折线 向点B 运动，当一个点停 止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是 时， 的面积是 ，则能够表示y 与x 之间 函数关系的图象大致是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】分别讨论点 在 上运动的情况即可求解． 【详解】解：①当点 在 上运动时，即 ： ； ②当点 在 上运动时，即 ： ； ③当点 在 上运动时，即 ： ； 综上分析可知，选项中的函数图象符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查函数图象与面积问题．分类讨论是解决本题的思路． 【变式训练2】如图1，在矩形 （ ）中，动点Q 从点D 出发，沿 以每秒1 个单位长 度的速度做匀速运动，到达点后停止运动，动点P 从点B 出发，沿 以与点Q 同样的速度做匀速运动， 到达点后也停止运动．已知点P，Q 同时开始运动，设点Q 的运动时间为x 秒， 的面积是y，其中y 关于x 的函数图像如图2 所示，则 的值是（ ） ．1 B．15 ．2 D．25 【答】 【分析】设 ，分 和 ，结合矩形的性质，表示三角形的面积，构造函数，结合 图像，确定m，的值计算即可． 【详解】解：设 ， 当 时， ， 根据图像，得当 时，y 取得最大值5，此时 ， 当 时， ，此时 ； 当 时，P 停止运动， ， 根据图像，当 时，此时 ， 故 ， 故选：． 【点睛】本题考查了数形结合思想，二次函数的最值，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的最值，一次 函数的性质是解题的关键． 【变式训练3】如图，在 中， ．动点 从点 出发，沿线段 以1 单位 长度/秒的速度运动，当点 与点 重合时，整个运动停止．以 为一边向上作正方形 ，若设运动 时间为 秒 ，正方形 与 重合部分的面积为 ，则下列能大致反映 与 的函数关系 的图象是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据题目所给条件，分当 时和当 时，建立函数关系式，利用二次函数的性质， 即可得到答． 【详解】解；当 时，正方形 与 重合部分的面积为正方形 的面积， ∴ ， ∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线； 当 时，设 与 相交于 ， 与 相交于 ， ， 此时正方形 与 重合部分的面积为正方形 的面积减去三角形 的面积，∵ 是等 腰直角三角形， ， ， ， ∴ ， ∵ ，∴二次函数的图象为开口向下的抛物线， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式与图象的关系，正确列出函数关系式和判断二次函数的开口方向 是解题的关键． 类型三、拱桥问题 例．一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为 米时，桥洞顶部离水面 米．已知桥洞的拱桥是抛物线， 请尝试解决以下问题： (1)【问题1】建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)【问题2】由于暴雨导致水位上涨了米，求此时水面的宽度． (3)【问题3】已知一艘货船的高为 米，宽为 米，其截面如图所示．为保证这艘货船可以安全通过拱 桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 【答】(1) (2) 米 (3) 米 【分析】（1）以 的中点为平面直角坐标系的原点 ， 所在线为 轴，过点 作 的垂线为 轴建 立平面直角坐标系；因此，抛物线的顶点坐标为 ，可设抛物线的函数表达式为 ，再将 点 的坐标 代入即可求解； （2）根据题（1）的结果，令 求出 的两个值，从而可得水面上升 后的水面宽度； （3）将 代入，得出 的值，进而减去货船的高度，即可求解． 【详解】（1）以 的中点为平面直角坐标系的原点 ， 所在线为 轴，过点 作 的垂线为 轴， 建立的平面直角坐标系如下： 根据所建立的平面直角坐标系可知， 点的坐标为 ，抛物线的顶点坐标为 因此设抛物线的函数表达式为 ， 将 代入得： ， 解得： ， 则所求的抛物线的函数表达式为 ； （2）由题意，令 得 ， 解得： ， 则水面上升1m 后的水面宽度为： （米）， （3）由题意，当 时， ， ∵一艘货船的高为 米， ∴水面在正常水位的基础上最多能上升 （米）． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键． 【变式训练1】如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型， 它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 处，对称轴 与水平线 垂直， ，点 在抛物线上，且点 到对称轴的距离 ，点 在抛物线上，点 到对称轴的距离是1． (1)求抛物线的表达式； (2)如图②，为更加稳固，小星想在 上找一点 ，加装拉杆 ，同时使拉杆的长度之和最短，请你 帮小星找到点 的位置并求出坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 ，当 时，函数 的值总大于等于9．求 的取值范围． 【答】(1) (2)点 的坐标为 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，将 ， 代入即可求解； （2）点B 关于y 轴的对称点 ，则 ，求出直线 与y 轴的交点坐标即可； （3）分 和 两种情况，根据最小值大于等于9 列不等式，即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线的对称轴与y 轴重合， 设抛物线的解析式为 ， ， ， ， ， 将 ， 代入 ，得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为 ； （2）解： 抛物线的解析式为 ，点 到对称轴的距离是1， 当 时， ， ， 作点B 关于y 轴的对称点 ， 则 ， ， ， 当 ， ，共线时，拉杆 长度之和最短， 设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入，得 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ， 当 时， ， 点 的坐标为 ，位置如下图所示： （3）解： 中 ， 抛物线开口向下， 当 时， 在 范围内，当 时，y 取最小值，最小值为： 则 ， 解得 ， ； 当 时， 在 范围内，当 时，y 取最小值，最小值为： 则 ， 解得 ， ； 综上可知， 或 ， 的取值范围为 ． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段 的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3 问注意分情况讨 论． 【变式训练2】．某公司生产型活动板房的成本是每个3500 元．图1 表示型活动板房的一面墙，它由长方 形和抛物线构成，长方形的长 ，宽 ，抛物线的最高点E 到 的距离为 ． (1)按图1 中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)现将型活动板房改造成为B 型活动板房．如图2，在抛物线与 之间的区域内加装一扇长方形窗户 ，点G、M 在 上，点F、在抛物线上，窗户的成本为150 元/ ．已知 ，求每个B 型 活动板房的成本．（每个B 型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本＋一扇窗户 的成本） 【答】(1) (2)每个B 型活动板房的成本为3725 元 【分析】（1）根据题意得出 ，设该抛物线的函数表达式为 ，利用待定系数法求 解即可； （2）根据题意得出 ，继而求出矩形 的面积，列式求解即可． 【详解】（1）∵长方形的长 ，宽 ，抛物线的最高点E 到 的距离为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设该抛物线的函数表达式为 ， 把 代入，得 ， 解得 ， ∴该抛物线的函数表达式为 ； （2）∵ ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ （元）， 所以，每个B 型活动板房的成本为3725 元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式训练3】随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上 搭建一蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1 米的墙体处，另一端固定在离 地面高2 米的墙体B 处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y （米）与其离墙体的水平距离x（米）之间的关系满足 ，现测得，B 两墙体之间的水平距 离为6 米． (1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)该农户计划在大棚内搭建高为3 米的竹竿支架，已在抛物线对称轴左侧搭建了一根竹竿 ，需在对称 轴右侧处再搭建一根同样高的竹竿 （点D、F 均在x 轴上，点、E 均在抛物线上， 轴），求 这两根竹竿之间的水平距离 ． 【答】(1) ；(2)1 米 【分析】（1）用待定系数法求出和式关系式即可； （2）结合（1）令 ，求出x 的值，可得D，E 的横坐标，即可得到答． 【详解】（1）解：由题意知，点的坐标为 ，点B 的坐标为 ， 把 ， 代入 得： ， 解得 ， ∴y 与x 之间的函数关系式为 ； （2）解：由题意知，点、D 的纵坐标均为3， ∴ 解得 或 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴这两根竹竿之间的水平距离 为1 米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出函数关系式． 类型四、投掷铅球问题 例．小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某 种特定的角度和初速度从坐标为 的点 处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，其最高点的坐标为 ．弹跳球落到倾斜角为 的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线 ，且开口大小和方向均不 变，但最大高度只是抛物线的 ． (1)求抛物线的解析式； (2)若斜面被坐标平面截得的截图与 轴的交点 的坐标为 ，求抛物线 的对称轴． 【答】(1) (2) 【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，由题意得，该抛物线的顶点坐标是 ， 抛物线经过点 ，待定系数法求解析式即可求解． （2）由题意，设 解析式为 ，将点 代入，得出解析式为 ，联立抛物线的解析式 得出反弹点的坐标为 ，依题意，设抛物线 的解析式为 ，将 代入抛物线 的解 析式，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ． 由题意得，该抛物线的顶点坐标是 ， ． 该抛物线经过点 ， 解之，得 ． （2）由题意，设 解析式为 ，将点 代入， ， 解得： , ∴ 令 ， 解之，得 舍去， 反弹点的坐标为 ． 由题意，设抛物线 的解析式为 将 代入抛物线 的解析式，得 舍去或 即抛物线 的对称轴为直线 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【变式训练1】2022 北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条 抛物线，跳台高度 为4 米，以起跳点正下方跳台底端 为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴， 建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点 的坐标