专题22.2 二次函数的图象【六大题型】（解析版）

专题222 二次函数的图象【六大题型】 【人版】 【题型1 二次函数的配方法】.................................................................................................................................1 【题型2 二次函数的五点绘图法】.........................................................................................................................5 【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】..................................................................................................9 【题型4 二次函数图象的平移变换】....................................................................................................................12 【题型5 二次函数图象的对称变换】..................................................................................................................14 【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】.......................................................................................................16 【知识点1 二次函数的配方法】 y=ax 2+bx+c (a≠0) ¿a(x 2+ b a x+ c a) ①提取二次项系数； ¿a[x 2+ b a x+( b 2a) 2 −( b 2a) 2 + c a] ②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方； ¿a[(x+ b 2a) 2 + 4 ac−b 2 4 a 2 ] ③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项; ¿a(x+ b 2a) 2 + 4 ac−b 2 4 a ④化简：去掉中括号 二次函数的一般形式y=ax 2+bx+c (a≠0)配方成顶点式y=a(x+ b 2a) 2 + 4 ac−b 2 4 a 2 ，由此 得到二次函数对称轴为 ，顶点坐标为 ． 【题型1 二次函数的配方法】 【例1】（2022 秋•饶平县校级期末）用配方法将下列函数化成y＝（x+）2+k 的形式，并指 出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1）y¿ 1 2x2 2 ﹣x+3； （2）y＝（1﹣x）（1+2x）． 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完 全平方式，把一般式转化为顶点式； （2）化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方 1 来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解：（1）y¿ 1 2x2 2 ﹣x+3 ¿ 1 2（x 2 ﹣）2+1， 开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标（2，1）； （2）y＝（1﹣x）（1+2x） ＝﹣2x2+x+1 ＝﹣2（x−1 4 ）2+9 8 ， 开口向下，对称轴是直线x¿ 1 4 ，顶点坐标（1 4 ，9 8）． 【变式1-1】（2022•西华县校级月考）用配方法确定下列二次函数图象的对称轴与顶点 坐标． （1）y＝2x2 8 ﹣x+7； （2）y＝﹣3x2 6 ﹣x+7； （3）y＝2x2 12 ﹣ x+8； （4）y＝﹣3（x+3）（x 5 ﹣）． 【分析】（1）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物 线的对称轴、顶点坐标； （2）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称 轴、顶点坐标； （3）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称 轴、顶点坐标； （4）利用配方法表示解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质写出抛物线的对称 轴、顶点坐标． 【解答】解：（1）y＝2（x2 4 ﹣x）+7＝2（x2 4 ﹣x+4 4 ﹣）+7＝2（x 2 ﹣）2 1 ﹣， 对称轴为x＝2， 顶点坐标为（2，﹣1）； （2）y＝﹣3（x2+2x）+7＝﹣3（x2+2x+1 1 ﹣）+7＝﹣3（x+1）2+10， 对称轴为x＝﹣1， 顶点坐标为（﹣1，10）； （3）y＝2x2 12 ﹣ x+8＝2（x2 6 ﹣x+9 9 ﹣）+8＝2（x 3 ﹣）2 10 ﹣ ， 对称轴为x＝3， 1 顶点坐标为（3，﹣10）； （4）y＝﹣3（x+3）（x 5 ﹣）＝﹣3（x2 2 ﹣x 15 ﹣ ）＝﹣3（x2 2 ﹣x+1 1 15 ﹣﹣ ）＝﹣3（x 1 ﹣）2+16 3 ， 对称轴为x＝1， 顶点坐标为（1，16 3 ）． 【变式1-2】（2021•邵阳县月考）把下列二次函数化成顶点式，即y＝（x+m）2+k 的形式， 并写出他们顶点坐标及最大值或最小值． （1）y＝﹣2x 3 ﹣+1 2 x2 （2）y＝﹣2x2 5 ﹣x+7 （3）y＝x2+bx+（≠0） 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方 式，可把一般式转化为顶点式，从而求出函数图象的顶点坐标及最值． 【解答】解：（1）y＝﹣2x 3 ﹣+1 2 x2 ¿ 1 2（x2 4 ﹣x+4）﹣2 3 ﹣ ¿ 1 2（x 2 ﹣）2 5 ﹣， 顶点坐标是（2，﹣5），最小值是﹣5； （2）y＝﹣2x2 5 ﹣x+7 ＝﹣2（x2+5 2 x+25 16 ）+25 8 +¿7 ＝﹣2（x+5 4 ）2+81 8 ， 顶点坐标是（−5 4 ，81 8 ），最大值是81 8 ； （3）y＝x2+bx+ ＝（x2+b a x+b 2 4 a 2）−b 2 4 a +¿ ＝（x+b 2a ）2+4 ac−b 2 4 a ， 顶点坐标是（−b 2a ，4 ac−b 2 4 a ）， 1 当＜0 时，最大值是4 ac−b 2 4 a ；当＞0 时，最小值是4 ac−b 2 4 a ． 【变式1-3】（2022•监利市期末）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多 问题 例如：因为52≥0，所以52+1≥1，即：当＝0 时，52+1 有最小值1．同样，因为﹣5 （2+1）≤0，所以﹣5（2+1）+6≤6 有最大值1，即当＝1 时，﹣5（2+1）+6 有最大值6． （1）当x＝ 2 时，代数式﹣3（x 2 ﹣）2+4 有最 大 （填写大或小）值为 4 ． （2）当x＝ 2 时，代数式﹣x2+4x+4 有最 大 （填写大或小）值为 8 ． （3）矩形花的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是14m，当花与墙相邻的边 长为多少时，花的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）由完全平方式的最小值为0，得到x＝2 时，代数式的最大值为4； （2）将代数式前两项提取﹣1，配方为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即 可得到代数式的最大值及此时x 的值； （3）设垂直于墙的一边长为xm，根据总长度为14m，表示出平行于墙的一边为（14﹣ 2x）m，表示出花的面积，整理后配方，利用完全平方式的最小值为0，即可得到面积 的最大值及此时x 的值． 【解答】解：（1）∵（x 2 ﹣）2≥0， ∴当x＝2 时，（x 2 ﹣）2的最小值为0， 则当x＝2 时，代数式﹣3（x 2 ﹣）2+4 的最小值为4； （2）代数式﹣x2+4x+4＝﹣（x 2 ﹣）2+8， 则当x＝2 时，代数式﹣x2+4x+4 的最大值为8； （3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（14 2 ﹣x）m， ∴花的面积为x（14 2 ﹣x）＝﹣2x2+14x＝﹣2（x2 7 ﹣x+49 4 ）+49 2 =−¿2（x−7 2 ）2+49 2 ， 则当边长为35 米时，花面积最大为49 2 m2． 故答为：（1）2，大，4； （2）2，大，8； 【知识点2 二次函数的五点绘图法】 利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对 称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点 与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， 1 （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点： 开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点 【题型2 二次函数的五点绘图法】 【例2】（2022•东莞市模拟）已知二次函数y＝x2+bx+中，函数y 与自变量x 的部分对应值 如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 2 1 2 5 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当x＝6 时，求y 的值； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象． 【分析】（1）由表格可知抛物线顶点坐标（2，1），设抛物线解析式为y＝（x 2 ﹣） 2+1，利用待定系数法即可解决问题． （2）把x＝6 代入（1）中的解析式即可． （3）利用描点法画出图象即可． 【解答】解：（1）由表格可知抛物线顶点坐标（2，1），设抛物线解析式为y＝（x﹣ 2）2+1， ∵x＝0 时，y＝5， 5 ∴＝4+1， ∴＝1， ∴二次函数解析式为y＝（x 2 ﹣）2+1 即y＝x2 4 ﹣x+5． （2）当x＝6 时，y＝（6 2 ﹣）2+1＝17． （3）函数图象如图所示， 1 ． 【变式2-1】（2022•竞秀区一模）已知抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣ （1）求出该抛物线顶点坐标． （2）选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象． x … … y … … 【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可； （2）利用描点法画出二次函数的图象． 【解答】解：（1）y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣＝（x 1 ﹣）2 4 ﹣， 故该抛物线顶点坐标为：（1，﹣4）； （2）如图所示： x … 1 ﹣ 0 1 2 3 … y … 0 3 ﹣ 4 ﹣ 3 ﹣ 0 … 1 ． 【变式2-2】已知二次函数y＝x2 2 ﹣的图象经过（﹣1，1）． （1）求出这个函数的表达式； （2）画出该函数的图象； （3）写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【分析】（1）直接把（﹣1，1）代入y＝x2 2 ﹣中求出的值即可得到抛物线解析式； （2）利用描点法画函数图象； （2）根据二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）把（﹣1，1）代入y＝x2 2 ﹣得﹣2＝1，解得＝3， 所以抛物线解析式为y＝3x2 2 ﹣； （2）如图： （3）抛物线的开口向上，顶点坐标为（0，﹣2），对称轴为y 轴． 【变式2-3】（2022•越秀区模拟如图，已知二次函数y=−1 2 x 2+bx+c的图象经过（2， 0）、B（0，﹣6）两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x 轴的另一个交点； 1 （3）在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴． 【分析】（1）根据图象经过（2，0）、B（0，﹣6）两点，把两点代入即可求出b 和， （2）把二次函数写成顶点坐标式，据此写出顶点坐标，对称轴等， （3）在坐标轴中画出图象即可． 【解答】解：（1）∵的图象经过（2，0）、B（0，﹣6）两点， ∴{ −2+2b+c=0 c=−6 ，解得b＝4，＝﹣6， ∴这个二次函数的解析式为y=−1 2 x 2+4 x−6， （2）y=−1 2 x 2+4 x−6=−1 2 （x2 8 ﹣x+16）+8 6 ﹣¿−1 2（x 4 ﹣）2+2， ∴二次函数图象的顶点坐标为（4，2）、对称轴为x＝4、 二次函数图象与x 轴相交时：0¿−1 2（x 4 ﹣）2+2， 解得：x＝6 或2， ∴另一个交点为：（6，0）， （3）作图如下． 【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 ① 二次项系数 ：总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 1 的大小决定开口的大小． ②一次项系数 ：在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置，对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异” ③常数项 ：总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置． 【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】 【例3】（2022 春•玉山县月考）函数y＝x2﹣与y＝x+（≠0）在同一坐标系中的图象可能 是（ ） ． B． ． D． 【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论 的方法可以得到函数y＝x2﹣与y＝x+（≠0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中 的图象． 【解答】解：当＞0 时，函数y＝x2﹣的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣），y＝x+ （≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项、D 错误； 当＜0 时，函数y＝x2﹣的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣），y＝x+（≠0）的图象 经过第二、三、四象限，故选项B 错误，选项正确； 故选：． 【变式3-1】（2022•邵阳县模拟）二次函数y＝x2+b 的图象如图所示，则一次函数y＝x+b 的图象可能是（ ） ． B． ． D． 【分析】直接利用二次函数图象得出，b 的符号，进而利用一次函数的图象性质得出答． 1 【解答】解：如图所示：抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，则＜0，b＞0， 故一次函数y＝x+b 的图象经过第一、二、四象限． 故选：． 【变式3-2】（2022•凤翔县一模）一次函数y＝kx+k 与二次函数y＝x2的图象如图所示，那 么二次函数y＝x2﹣kx﹣k 的图象可能为（ ） ． B． ． D． 【分析】由二次函数y＝x2的图象知：开口向上，＞0，一次函数y＝kx+k 图象可知k＞ 0，然后根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：由二次函数y＝x2的图象知：开口向上，＞0，一次函数y＝kx+k 图象可知 k＞0， ∴二次函数y＝x2﹣kx﹣k 的图象开口向上，对称轴x¿−−k 2a 在y 轴的右侧，交y 轴的负 半轴， ∴B 选项正确， 故选：B． 【变式3-3】（2022•澄城县三模）已知m，是常数，且＜0，二次函数y＝mx2+x+m2 4 ﹣的 图象是如图中三个图象之一，则m 的值为（ ） ．2 B．±2 ．﹣3 D．﹣2 【分析】可根据函数的对称轴，以及当x＝0 时，y 的值来确定符合题意的函数式，进而 确定m 的值． 1 【解答】解：∵y＝mx2+x+m2 4 ﹣， ∴x¿−n 2m， 因为＜0，所以对称轴不可能是x＝0，所以第一个图不正确． 二，三两个图都过原点， ∴m2 4 ﹣＝0， m＝±2． 第二个图中m＞0，开口才能向上． 对称轴为：x¿−n 2m ＞0， 所以m 可以为2． 第三个图，m＜0，开口才能向下， x¿−n 2m ＜0，而从图上可看出对称轴大于0，从而m＝﹣2 不符合题意． 故选：． 【知识点4 二次函数图象的平移变换】 （1）平移步骤： ①将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； ②保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移 |k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2 y=ax 2+k y=ax2 （2）平移规律：在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概 括成八个字“左加右减，上加下减”． 【题型4 二次函数图象的平移变换】 【例4】（2022•绍兴县模拟）把抛物线y＝x2+bx+的图象先向右平移2 个单位，再向上平移 1 2 个单位，所得的图象的解析式是y＝（x 3 ﹣）2+5，则+b+＝ 3 ． 【分析】先得到抛物线y＝（x 3 ﹣）2+5 的顶点坐标为（3，5），通过点（3，5）先向左 平移2 个单位再向下平移2 个单位得到点的坐标为（1，3），然后利用顶点式写出平移 后的抛物线解析式，再把解析式化为一般式即可得到、b 和的值． 【解答】解：∵y＝（x 3 ﹣）2+5， ∴顶点坐标为（3，5）， 把点（3，5）先向左平移2 个单位再向下平移2 个单位得到点的坐标为（1，3）， ∴原抛物线解析式为y＝（x 1 ﹣）2+3＝x2 2 ﹣x+4， ∴＝1，b＝﹣2，＝4． + ∴b+＝3， 故答为3． 【变式4-1】（2022•澄城县二模）要得到函数y＝﹣（x 2 ﹣）2+3 的图象，可以将函数y＝ ﹣（x 3 ﹣）2的图象（ ） ．向右平移1 个单位，再向上平移3 个单位 B．向右平移1 个单位，再向下平移3 个单位 ．向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位 D．向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位 【分析】根据抛物线顶点的变换规律得到正确的选项． 【解答】解：抛物线y＝﹣（x 3 ﹣）2的顶点坐标是（3，0），抛物线y＝﹣（x 2 ﹣）2+3 的顶点坐标是（2，3）， 所以将顶点（3，0）向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位得到顶点（2，3）， 即将函数y＝﹣（x 3 ﹣）2的图象向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位得到函数y＝ ﹣（x 2 ﹣）2+3 的图象． 故选：． 【变式4-2】（2022 秋•滨江区期末）将抛物线y＝x2+bx 1 ﹣向上平移3 个单位长度后，经 过点（﹣2，5），则4 2 ﹣b 1 ﹣的值是 2 ． 【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点（﹣2，5）代入，得到4﹣ 2b＝3，最后整体代入求值即可． 【解答】解：将抛物线y＝x2+bx 1 ﹣向上平移3 个单位长度后， 表达式为：y＝x2+bx+2， ∵经过点（﹣2，5），代入得：4 2 ﹣b＝3， 则4 2 ﹣b 1 ﹣＝3 1 ﹣＝2． 故答为：2． 1 【变式4-3】（2022•澄城县二模）二次函数y＝（x 1 ﹣）（x﹣）（为常数）