专题26.2 反比例函数的应用【六大题型】（解析版）

专题262 反比例函数的应用【六大题型】 【人版】 【题型1 图形问题】................................................................................................................................................. 1 【题型2 表格问题】................................................................................................................................................. 4 【题型3 工程问题】................................................................................................................................................. 9 【题型4 行程问题】............................................................................................................................................... 13 【题型5 销售问题】............................................................................................................................................... 17 【题型6 物理问题】............................................................................................................................................... 23 【知识点1 反比例函数的应用】 求函数解析式的方法： （1）待定系数法 （2）根据实际意义求函数解析式 【题型1 图形问题】 【例1】（2022 秋•岳阳月考）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科 技BD，其中一边B 靠墙，墙长为12m，设D 的长为xm，D 的长为ym． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）根据实际情况，对于（1）式中的函数自变量x 能否取值为4m，若能，求出y 的值， 若不能，请说明理由； （3）若围成矩形科技BD 的三边材料总长不超过26m，材料D 和D 的长都是整米数， 求出满足条件的所有围建方． 【分析】（1）根据面积为60m2，可得出y 与x 之间的函数关系式； （2）直接把x＝4 代入得出y 的值进而比较即可； （3）由（1）的关系式，结合x、y 都是正整数，可得出x 的可能值，再由三边材料总长 不超过26m，D 的长＜12，可得出x、y 的值，继而得出可行的方． 【解答】解：（1）由题意得，S 矩形BD＝D×D＝xy， 1 故y¿ 60 x ．（5≤x） （2）不能．当x＝4 时，y＝15＞12，不合题意； （3）由y¿ 60 x ，且x、y 都是正整数， 可得x 可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60， 2 ∵x+y≤26，0＜y≤12， ∴符合条件的围建方为：D＝5m，D＝12m 或D＝6m，D＝10m 或D＝10m，D＝6m． 【变式1-1】（2022 秋•曲阳县期末）一菱形的面积为12m2，它的两条对角线长分别m， bm，则与b 之间的函数关系为＝ 24 b ；这个函数的图象位于第 一 象限． 【分析】菱形的面积＝对角线乘积的一半，列出关系式，写出与b 的函数关系式，根据 变量的取值，确定函数所在的象限． 【解答】解：由菱形的面积公式得b＝24，则¿ 24 b ， ∵＞0，b＞0， ∴这个函数的图象位于第一象限． 【变式1-2】（2022•滨江区二模）用若根火柴首尾相接摆成一个矩形，设每一根火柴的长 度为1，矩形两条邻边的长分别别为x，y，要求摆成的矩形的面积为8． （1）求y 关于x 的函数表达式； （2）能否摆成正方形？请说明理由． 【分析】（1）根据长方形的长＝面积÷宽列出函数解析式即可； （2）正方形的边长相等，说明x、y 相等，进一步开方，是整数即可，否则不成立． 【解答】解：（1）y¿ 8 x （x＝1，2，4，8）； （2）不能摆成正方形． 理由如下： 因为x2＝8， 解得：x＝2❑ √2，不是整数， 所以不能摆成正方形． 【变式1-3】（2022 春•江干区期末）在面积都相等的所有三角形中，当其中一个三角形的 一边长x 为1 时，这条边上的高y 为6． （1）①求y 关于x 的函数表达式； ②当x≥3 时，求y 的取值范围； （2）小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4，小赵说有一个三角形的一 1 边与这边上的高之和为6．你认为小李和小赵的说法对吗？为什么？ 【分析】（1）①直接利用三角形面积求法进而得出y 与x 之间的关系；②直接利用x≥3 得出y 的取值范围； （2）直接利用x+y 的值结合根的判别式得出答． 【解答】解：（1）①S△¿ 1 2 ×1×6＝3， ∵x 为底，y 为高， ∴1 2xy＝3， ∴y¿ 6 x ； ②当x＝3 时，y＝2， ∴当x≥3 时，y 的取值范围为：0＜y≤2； （2）小赵的说法正确， 理由：小李：∵小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4， ∴x+6 x =¿4， 整理得，x2 4 ﹣x+6＝0， ∵△＝42 4×6 ﹣ ＜0， ∴一个三角形的一边与这边上的高之和不可能是4； 小赵：∵小赵说有一个三角形的一边与这边上的高之和为6． ∴x+6 x =¿6， 整理得，x2 6 ﹣x+6＝0， ∵△＝62 4×6 ﹣ ＝12＞0， ∴x¿ 6±2❑ √3 2 =¿3± ❑ √3， ∴小赵的说法正确． 【题型2 表格问题】 【例2】（2022•新华区校级一模）某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软 件在24 周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x 周该软件的周销售量为T（单位： 千套），当0＜x≤8 时，T 与x+4 成反比；当8＜x≤24 时，T 2 ﹣与x 成正比，并预测得到 了如表中对应的数据．设第x 周销售该软件每千套的利润为K（单位：千元），K 与x 满足如图中的函数关系图象： x/周 8 24 1 T/千套 10 26 （1）求T 与x 的函数关系式； （2）观察图象，当12≤x≤24 时，K 与x 的函数关系式为 K ＝﹣ x +44 ． （3）设第x 周销售该学习软件所获的周利润总额为y（单位：千元），则： ①在这24 周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个 不变的值；若不存在，请说明理由． ②该公司销售部门通过大数据模拟分析后认为，最有利于该学习软件提供售后服务和销 售的周利润总额的范围是286≤y≤504，求在此范围内对应的周销售量T 的最小值和最大 值． 【分析】（1）通过待定系数法求函数关系式． （2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解． （3）分析并理解题意，列出一元二次方程解出答． 【解答】解：（1）当0＜x≤8 时，设T¿ m x+4 （m≠0）， 根据表格中的数据，当x＝8 时，T＝10， 10 ∴ ¿ m 8+4 ， 解得：m＝120， ∴当8＜x≤24 时，设T 2 ﹣＝x（≠0）， 根据表格中的数据，当x＝24 时，T＝26， 26 2 ∴ ﹣＝24， 解得：＝1， ∴T 2 ﹣＝x， ∴T＝x+2， 综上所述T 与x 的函数关系式为： ∴{ 120 x+4 (0＜x ≤8) x+2(8＜x ≤24) ； 1 （2）当12≤x≤24 时，设K 与x 的函数关系式为K＝kx+b， 将x＝12，K＝32；x＝24，K＝20 代入得： { 12k+b=32 24+b=20 ， 解得：{ k=−1 b=44 ， ∴当12≤x≤24 时，K 与x 的函数关系式为K＝﹣x+44， 故答为：K＝﹣x+44； （3）①存在，不变的值为240， 由函数图像得：当0＜x≤12 时，设K 与x 的函数关系式为K＝k1x+b1， 将x＝0，K＝8；x＝12，K＝32 代入得： { b1=8 12k1+b1=32， 解得：{ k1=2 b1=8， ∴当0＜x≤12 时，K 与x 的函数关系式为K＝2x+8， ∴当0＜x≤8 时，y＝KT＝（2x+8）120 x+4 =¿240； 当8＜x≤12 时，y＝KT＝（2x+8）（x+2）＝2x2+12x+16； 当12＜x≤24 时，y＝KT＝（x+2）（﹣x+44）＝﹣x2+42x+88， 综上所述，在这24 周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变值为 240． ②当8＜x≤12 时，y＝2x2+12x+16＝2（x+3）2 2 ﹣，抛物线的对称轴为x＝﹣3， ∴（Ⅰ）当8＜x≤12 时，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大， 当2（x+3）2 2 ﹣＝286 时， 解得：x1＝9，x2＝﹣15（舍去）； 当x＝12 时，y 取最大值，最大值为448，满足286≤y≤504； 当x＝9 时，周销售量T 的最小值为11；当x＝12 时，T 取最大值14； （Ⅱ）当12＜x≤24 时，y＝﹣x2+42x+88＝﹣（x 21 ﹣ ）2+529，抛物线的对称轴为x＝ 21， 当x＝12 时，y 取最小值，最小值为448，满足286≤y≤504； 当﹣（x 21 ﹣ ）2+529＝504 时， 解得：x1＝16，x2＝26（舍去）； 当x＝12 时，周销售量T 取最小值为14；当x＝16 时，T 取最大值18； 1 综上所述，当周利润总额的范围是286≤y≤504 时，对应周销售量T 的最小值是11 千套， 最大值是18 千套． 【变式2-1】（2022 春•郑州期末）小涂在课余时间找到了几副度数不同的老花镜，让镜片 正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小（可以认为是焦点），此时他测 了镜片与光斑的距离（可以当做焦距），得到如下数据： 老花镜的度数 D/度 100 120 200 250 300 焦距f/m 1 08 05 04 03 （1）老花镜镜片是 凸的 （凸的、凹的、平的），度数越高镜片的中心 越厚 （越薄、越厚、没有变化）； （2）观察表中的数据，可以找出老花镜的度数D 与镜片焦距f 的关系，用关系式表示 为： f =100 D ； （3）如果按上述方法测得一副老花镜的焦距为07m，可求出这幅老花镜的度数为 143 度 ． 【分析】（1）根据题意及常识可求解； （2）利用表格中的数据可求解D 与f 的关系式； （3）将f 值代入计算可求解． 【解答】解：（1）老花镜镜片是凸的，度数越高镜片的中心越厚， 故答为：凸的；越厚； （2）根据表中数据可得：100×1＝100，120×08＝96，200×05＝100，250×04＝100， 300×03＝90， 则老花镜的度数D 与镜片焦距f 的关系可近似的看作f =100 D ， 故答为：f =100 D ； （3）当f＝07m 时，0.7=100 D ， 解得D≈143， 即这幅老花镜的度数是143 度． 故答为：143 度． 【变式2-2】（2022 春•社旗县期中）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验： 在一个自制问题似天平的仪器的左边固定托盘中放置一个重物，在右边活动托盘B（可 左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B 与点的距离x 1 （m），观察活动托盘B 中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如下表： x（m） 10 15 20 25 30 y（g） 30 20 15 12 10 （1）猜测y 与x 之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证； （2）当砝码的质量为24g 时，活动托盘B 与点的距离是多少？ （3）将活动托盘B 往左移动时，应往活动托盘B 中添加还是减少砝码？ 【分析】（1）观察可得：x，y 的乘积为定值300，故y 与x 之间的函数关系为反比例函 数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）把x＝24 代入解析式求解，可得答； （3）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘B 与点的距离不断增大，砝码的示数应 该不断减小． 【解答】解：（1）由图象猜测y 与x 之间的函数关系为反比例函数， ∴设y¿ k x （k≠0）， 把x＝10，y＝30 代入得：k＝300， ∴y¿ 300 x ， 将其余各点代入验证均适合， ∴y 与x 的函数关系式为：y¿ 300 x ； （2）把y＝24 代入y¿ 300 x 得：x＝125， ∴当砝码的质量为24g 时，活动托盘B 与点的距离是125m． （3）根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘B 与点的距离不断减小，砝 码的示数会不断增大； ∴应添加砝码． 【变式2-3】（2022 春•常州期末）某公司从2014 年开始投入技术改进资金，经技术改进 后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表： 年度 投入技改资金x/万元 产品成本y/（万元/件） 2014 25 144 2015 3 12 1 2016 4 9 2017 45 8 （1）分析下表中数据，请从一次函数和反比例函数中确定一个函数表示其变化规律， 直接写出y 与x 的函数关系式： （2）按照这种变化规律，若2018 年已投入资金6 万元． ①预计2018 年每件产品比2017 年降低多少万元？ ②若计划在2018 年把每件产品成本降低到5 万元，则还需要投入技改资金多少万元？ 【分析】（1）利用已知数据可得横纵坐标的积为定值，进而得出答； （2）①利用所求函数解析式进而利用x＝6 时求出y 的值即可得出答； ②利用y＝5 代入进而得出答． 【解答】解：（1）根据已知数据可得：能用反比例函数表示其变化规律， y 与x 的函数关系式是：y¿ 36 x ； （2）①当x＝6 时，y＝6， 则8 6 ﹣＝2（万元）， 答：预计2018 年每件产品成本比2017 年降低2 万元； ②当y＝5 时，x＝72， 72 6 ﹣＝12（万元）， 答：还需投入技改资金12 万元． 【题型3 工程问题】 【例3】（2022•市南区校级二模）新冠肺炎疫情发生后，社会各界积极行动，以各种方式 倾情支援湖北疫区，某车队需要将一批生活物资运送至湖北疫区．已知该车队计划每天 运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间满足如图所示的反比例函数关系． （1）求该车队计划每天运送的货物吨数y（吨）与运输时间x（天）之间的函数关系式； （不需要写出自变量x 的取值范围） （2）根据计划，要想在5 天之内完成该运送任务，则该车队每天至少要运送多少吨物 资？ （3）为保证该批生活物资的尽快到位，该车队实际每天运送的货物吨数比原计划多了 25%，最终提前了1 天完成任务，求实际完成运送任务的天数． 1 【分析】（1）设反比函数的解析式，代入（2，100）即可求解； （2）设该车队每天至少要运送m 吨物资，根据题意列不等式，解不等式即可； （3）设原计划每天运送货物吨，根据题意列分式方程，即可求出． 【解答】解：（1）∵y 与x 满足反比例函数关系， ∴设y= k x ，将点（2，100）代入， 解得k＝200， ∴y=200 x ． （2）设该车队每天至少要运送m 吨物资， 则5m≥200， 则m≥40， ∴该车队每天至少要运送40 吨物资． （3）设该车队原计划每天运送的货物吨， 则实际每天运送的货物为（1+25%）吨， 根据题意列方程得， 200 (1+25%)n +1=200 n ， 解得＝40， 经检验，＝40 是原方程的根， ∴原计划每天运送货物40 吨，实际每天运送货物50 吨， ∴实际完成运送任务的天数是200 50 =¿4（天）． 【变式3-1】（2022•市南区模拟）某校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务 的时间y（）是参加植树人数x（人）的反比例函数，且当x＝20 人时，y＝3． （1）若平均每人每小时植树4 棵，则这次共计要植树 240 棵； （2）当x＝80 时，求y 的值； （3）为了能在15 内完成任务，至少需要多少人参加植树？ 1 【分析】（1）直接利用当x＝20 人时，y＝3，平均每人每小时植树4 棵，即可得出这次 共计要植树的总棵数； （2）首先求出反比例函数解析式，进而利用当x＝80 时，得出y 的值，进而得出答； （3）利用y＝15 时，求出x 的值进而得出答． 【解答】解：（1）由题意可得：20×4×3＝240； 故答为：240； （2）设y 与x 的函数表达式为：y¿ k x （k≠0）， ∵当x＝20 时，y＝3． 3 ∴¿ k 20 ∴k＝60， ∴y¿ 60 x ， 当x＝80 时，y¿ 60 80= 3 4 ； （3）把y＝15 代入y¿ 60 x ，得 15¿ 60 x ， 解得：x＝40， 根据反比例函数的性质，y 随x 的增大而减小，所以为了能在15 内完成任务，至少需要 40 人参加植树． 【变式3-2】（2022•仙居县一模）县政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方 总量为6×105（单位：m3），某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）运输公司平均运送速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天） 之间具有怎样的函数关系？ （2）这个运输公司共有80 辆卡车，每天可运送土石方104（单位：m3），公司完成全 部运输任务需要多长时间？ （3）当公司以问题（2）中的速度工作了30 天后，由于工程进度的需要，剩下的运输 任务必须在20 天内完 成，则运输公司至少要增加多少辆卡车？ 【分析】（1）由总量＝vt，求出v 即可； （2）把v 的值代入计算即可求出t 的值； 1 （3）设需要增加辆卡车，每辆卡车每天运输土石方为10 4 80 =¿125m3，求出前30 天与后 20 天的土石方确定出解析式，即可求出的最小值． 【解答】解（1）∵vt＝6×105， ∴v¿ 6×10 5 t ； （2）当v＝104时，t¿ 6×10 5 10 4 =¿60（天）， 答：公司完成全部运输任务需要60 天； （3）设需要增加辆卡车，每辆卡车每天运输土石方为10 4 80