专题22.1 二次函数的定义【七大题型】（解析版）

专题221 二次函数的定义【七大题型】 【人版】 【题型1 二次函数的识别】................................................................................................................................................1 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】........................................................................................................................3 【题型3 二次函数的一般形式】........................................................................................................................................4 【题型4 判断二次函数的关系式】....................................................................................................................................5 【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】............................................................................................................8 【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】................................................................................................................9 【题型7 列二次函数的关系式（几何问题）】..............................................................................................................11 【知识点1 二次函数的概念】 一般地，形如y=a x 2+bx+（、b、是常数，≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y 是变 量，、b、 是常量，是二次项系数，b 是一次项系数，是常数项．y=a x 2+bx+（、b、是常数，≠0） 也叫做二 次函数的一般形式． 【题型1 二次函数的识别】 【例1】（2022 秋•香坊区校级月考）下列函数是二次函数的有（ ） ①y＝（x+1）2﹣x2； ②y＝﹣3x2+5； ③y＝x3 2 ﹣x； ④y＝x2−1 x +¿3． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【解答】解：①该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意； ②该函数是二次函数，故本选项符合题意； ③该函数不是二次函数，故本选项不符合题意． ④该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：． 1 【变式1-1】（2022•新城区校级模拟）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝ 200x2+400x；④y＝x3 2 ﹣x；⑤y＝x2−1 x +¿3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二 次函数有（ ）个 ．2 B．3 ．4 D．5 【分析】根据二次函数的定义，判断即可． 【解答】解：观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x；④y＝x3 2 ﹣x； ⑤y＝x2−1 x +¿3；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中二次函数有：①y＝6x2；②y＝ ﹣3x2+5；③y＝200x2+400x， 所以，共有3 个， 故选：B． 【变式1-2】（2022 春•西湖区校级月考）下列各式中，一定是二次函数的有（ ） ①y2＝2x2 4 ﹣x+3；②y＝4 3 ﹣x+7x2；③y¿ 1 x 2−¿3x+5；④y＝（2x 3 ﹣）（3x 2 ﹣）； ⑤y＝x2+bx+；⑥y＝（2+1）x2 2 ﹣x 3 ﹣；⑦y＝m2x2+4x 3 ﹣． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可． 【解答】解：①y2＝2x2 4 ﹣x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数； ②y＝4 3 ﹣x+7x2，是二次函数； ③y¿ 1 x 2−¿3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数； ④y＝（2x 3 ﹣）（3x 2 ﹣）＝6x2 13 ﹣ x+6，是二次函数； ⑤y＝x2+bx+，含有四个自变量，这里可能等于0，不是二次函数； ⑥y＝（2+1）x2 2 ﹣x 3 ﹣，是二次函数； ⑦y＝m2x2+4x 3 ﹣，m 可能等于0，不一定是二次函数． ∴只有②④⑥一定是二次函数． 故选：． 【变式1-3】（2022 秋•葫芦岛月考）下列函数中，是二次函数的有（ ） ①y¿ ❑ √x 2+2；②y＝﹣x2 3 ﹣x；③y＝x（x2+x+1）；④y¿ 1 1+x 2；⑤y＝﹣x+x2． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【解答】解：②y＝﹣x2 3 ﹣x；⑤y＝﹣x+x2是二次函数， 故选：B． 1 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 【例2】（2022 秋•天津期末）若y＝（+1）x|+3|﹣x+3 是关于x 的二次函数，则的值是（ ） ．1 B．﹣5 ．﹣1 D．﹣5 或﹣1 【分析】根据二次函数定义可得|+3|＝2 且+1≠0，求解即可． 【解答】解：∵函数y＝（+1）x|+3|﹣x+3 是关于x 的二次函数， |+3| ∴ ＝2 且+1≠0， 解得＝﹣5， 故选：B． 【变式2-1】（2022•武山县校级一模）若函数y＝（m2+m）x m 2−2m−1是二次函数，那么m 的值是（ ） ．2 B．﹣1 或3 ．3 D．−1± ❑ √2 【分析】让x 的次数为2，系数不为0 即可． 【解答】解：根据题意得：{ m 2−2m−1=2 m 2+m≠0 ， 解得：{ m=3 或−1 m≠0 且m≠−1， ∴m＝3， 故选：． 【变式2-2】（2022 秋•莱芜区期中）若抛物线y=(m−3)x m 2−5m+8+2 x−3是关于x 的二 次函数，那么m 的值是（ ） ．3 B．﹣2 ．2 D．2 或3 【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0 列出方程求解即可． 【解答】解：由题意得，m2 5 ﹣m+8＝2 且m 3≠0 ﹣ ， 解得m1＝2，m2＝3，且m≠3， 所以，m＝2． 故选：． 【变式2-3】函数y＝（﹣5）x a 2+4 a+5+¿2x 1 ﹣，当＝ 时，它是一次函数；当＝ 时， 它是二次函数． 【分析】根据一次函数和二次函数的定义解答． 【解答】解：当y＝（﹣5）x a 2+4 a+5+¿2x 1 ﹣是一次函数时，2+4+5＝1 或﹣5＝0， 解得＝﹣2 或＝5， 即当＝﹣2 或5 时，它是一次函数； 1 当y＝（﹣5）x a 2+4 a+5+¿2x 1 ﹣是二次函数时，2+4+5＝2 且﹣5≠0． 解得＝﹣1 或＝﹣3． 即当＝﹣1 或﹣3 时，它是二次函数． 故答是：﹣2 或5；﹣1 或﹣3． 【题型3 二次函数的一般形式】 【例3】（2022 秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500 10 ﹣ x）（40+x），下列说法不正 确的是（ ） ．y 是x 的二次函数 B．二次项系数是﹣10 ．一次项是100 D．常数项是20000 【分析】根据形如y＝x2+bx+是二次函数，可得答． 【解答】解：y＝﹣10x2+100x+20000， 、y 是x 的二次函数，故正确； B、二次项系数是﹣10，故B 正确； 、一次项是100x，故错误； D、常数项是20000，故D 正确； 故选：． 【变式3-1】（2022 秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x 1 ﹣）2+1 的二次项系数为，一次 项系数为b，常数项为，则b2 4 ﹣ 0（填写“＞”或“＜”或“＝”） 【分析】根据二次函数的解析式得出，b，的值，再代入b2 4 ﹣计算，判断与0 的大小即 可． 【解答】解：∵y＝（2x 1 ﹣）2+1， ∴＝4，b＝﹣4，＝2， ∴b2 4 ﹣＝16 4×4×2 ﹣ ＝﹣16＜0， 故答为＜． 【变式3-2】已知y＝（m2﹣m）x❑ m 2−2m−1+¿（m 3 ﹣）x+m2是关于x 的二次函数，求出它 的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 【分析】根据二次函数定义可得{ m 2−2m−1=2 m 2−m≠0 ，解之可得m 的值，从而可得函数解 析式及各项系数、常数项． 【解答】解：根据题意可得{ m 2−2m−1=2 m 2−m≠0 ， 解得：m＝﹣1 或m＝3， 当m＝﹣1 时，二次函数为y＝2x2 4 ﹣x+1，其二次项系数为2，一次项系数为﹣4，常数 1 项为1； 当m＝3 时，二次函数为y＝6x2+9，其二次项系数为6，一次项系数为0，常数项为9． 【变式3-3】指出下列函数中哪些是二次函数，如果是二次函数，写出它的二次项系数、一 次项系数和常数项： （1）y＝2x+1； （2）y＝2x2+1； （3）y＝x（2﹣x） （4）y¿ 1 2（x 1 ﹣）2−5 2 ； （5）y¿ 8 3 x 2； （6）y＝x2（x 1 ﹣）﹣1． 【分析】根据二次函数定义进行解答即可． 【解答】解：（1）y＝2x+1 不是二次函数，是一次函数； （2）y＝2x2+1，是二次函数，二次项系数是2、一次项系数是0，常数项是1； （3）y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，是二次函数，二次项系数是﹣1、一次项系数是2，常数 项是0； （4）y¿ 1 2（x 1 ﹣）2−5 2 =1 2x2﹣x+1 2 −5 2=1 2x2﹣x 2 ﹣，是二次函数，二次项系数是1 2、 一次项系数是﹣1，常数项是﹣2； （5）y¿ 8 3 x 2不是二次函数； （6）y＝x2（x 1 ﹣）﹣1＝x3﹣x2 1 ﹣不是二次函数． 【题型4 判断二次函数的关系式】 【例4】（2021 秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（ ） ．正方形的周长y 与边长x B．速度一定时，路程s 与时间t ．正方形的面积y 与边长x D．三角形的高一定时，面积y 与底边长x 【分析】根据题意，列出函数解析式就可以判定． 【解答】解：、y＝4x，是一次函数，错误； B、s＝vt，v 一定，是一次函数，错误； 、y＝x2，是二次函数，正确； 1 D、y¿ 1 2x，一定，是一次函数，错误． 故选：． 【变式4-1】（2022 秋•红山区校级月考）下列关系中，是二次函数关系的是（ ） ．当距离S 一定时，汽车行驶的时间t 与速度v 之间的关系 B．在弹性限度时，弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 之间的关系 ．圆的面积S 与圆的半径r 之间的关系 D．正方形的周长与边长之间的关系 【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判 定则可． 【解答】解：、由题意可得：t¿ S v 是反比例函数，故此选项错误； B、y＝mx+b，当m≠0 时（m 是常数），是一次函数，故此选项错误； 、S＝πR2，是二次函数，正确； D、＝4，是正比例函数，故此选项错误． 故选：． 【变式4-2】（2022 秋•沂源县期中）在下列4 个不同的情境中，两个变量所满足的函数关 系属于二次函数关系的有（ ） ①设正方形的边长为x 面积为y，则y 与x 有函数关系； ②x 个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y 与x 之间有函数关系； ③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y 与x 有函数关系； ④若一辆汽车以120km/的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x （）有函数关系． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断． 【解答】解：①依题意得：y＝x2，属于二次函数关系，故符合题意； ②依题意得：y¿ 1 2x（x 1 ﹣）¿ 1 2x2−1 2 x，属于二次函数关系，故符合题意； ③依题意得：y＝6x2，属于二次函数关系，故符合题意； ④依题意得：y＝120x，属于一次函数关系，故不符合题意； 综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3 个． 故选：． 【变式4-3】（2022 秋•海淀区校级月考）边长为5 的正方形BD，点F 是B 上一动点，过 对角线交点E 作EG⊥EF，交D 于点G，设BF 的长为x，△EFG 的面积为y，则y 与x 满 1 足的函数关系是（ ） ．正比例函数 B．一次函数 ．二次函数 D．以上都不是 【分析】先证明△BEF≌△EG，可得G＝EF，EG＝EF，∠EG＝∠BEF，再根据勾股定理求 解即可． 【解答】解：∵四边形BD 是正方形， ∴∠EBF＝∠EG＝45°，⊥BD，EB＝E， ∵EF⊥EG， ∴∠BE＝∠FEG＝90°， ∴∠BEF＝∠EG， ∴△BEF≌△EG（S）， ∴G＝EF，EG＝EF，∠EG＝∠BEF， ∵∠BEG＝90°， ∴∠GEF＝90°， ∴FG2＝2EF2， 在Rt△FG 中，FG2＝F2+G2， 即FG2＝x2+（5﹣x）2＝2x2 10 ﹣ x+25， ∵y¿ 1 2EG•EF¿ 1 2EF2， ∴y¿ 1 4 FG2¿ 1 4 （2x2 10 ﹣ x+25）¿ 1 2x2−5 2 x+25 4 ， ∴y 与x 满足的函数关系是二次函数． 故选：． 【知识点2 根据实际问题列二次函数表达式的步骤】 （1）理解题意 ：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言 转化为数学语言； （2）分析关系 ：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； （3）列函数表达式 ：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式 写成用自变量表示的函数的形式 1 【题型5 列二次函数的关系式（增长率问题）】 【例5】（2022 秋•天津期末）据省统计局公布的数据，合肥市2021 年第一季度GDP 总值 约为24 千亿元人民币，若我市第三季度GDP 总值为y 千亿元人民币，平均每个季度 GDP 增长的百分率为x，则y 关于x 的函数表达式是（ ） ．y＝24（1+2x） B．y＝24（1﹣x）2 ．y＝24（1+x）2 D．y＝24+24（1+x）+24（1+x） 【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x，第二季度季度GDP 总值约为24 （1+x）元，第三季度GDP 总值为24（1+x）2元，则函数解析式即可求得． 【解答】解：根据题意得， y 关于x 的函数表达式是：y＝24（1+x）2． 故选：． 【变式5-1】（2022 秋•大兴区期中）某种商品的价格是2 元，准备进行两次降价．如果每 次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x 的 变化而变化，则y 关于x 的函数解析式是（ ） ．y＝2（x+1）2 B．y＝2（1﹣x）2 ．y＝（x+1）2 D．y＝（x 1 ﹣）2 【分析】利用增长率公式得到y＝2（1﹣x）2． 【解答】解：根据题意得y＝2（1﹣x）2， 故选：B． 【变式5-2】（2022 秋•西山区校级期中）某农机厂四月份生产零件60 万个，设该厂第二 季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y 万个，那么y 与x 满足的函数关 系式是（ ） ．y＝60（1+x）2 B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2 ．y＝60（1+x）+60（1+x）2 D．y＝60+60（1+x） 【分析】设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万个， 六月份生产零件60（1+x）2万个，根据第二季度共生产零件y 万个，即可找出y 与x 之 间的函数关系式． 【解答】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为x，则五月份生产零件60（1+x）万 个，六月份生产零件60（1+x）2万个， 依题意得：y＝60+60（1+x）+60（1+x）2． 故选：B． 1 【变式5-3】（2022 秋•金寨县期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个 月投放辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，若第二个月的增长率是x，第三个月的增 长率是第二个月的两倍，那么y 与x 的函数关系是（ ） ．y＝（1+x）（1+2x） B．y＝（1+x）2 ．y＝2（1+x）2 D．y＝2x2+ 【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），然后根据已知 条件可得出函数关系式． 【解答】解：由第二个月的增长率是x，则第三个月的增长率是2x， 依题意得：第三个月投放单车（1+x）（1+2x）辆， 则y＝（1+x）（1+2x）． 故选：． 【题型6 列二次函数的关系式（销售问题）】 【例6】（2022 秋•肥城市期末）某商品的进价为每件60 元，现在的售价为每件80 元，每 星期可卖出200 件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1 元，每星期要少卖出10 件． 则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式 是（ ） ．y＝200 10 ﹣ x B．y＝（200 10 ﹣ x）（80 60 ﹣ ﹣x） ．y＝（200+10x）（80 60 ﹣ ﹣x） D．y＝（200 10 ﹣ x）（80 60+ ﹣ x） 【分析】由每件涨价x 元，可得出销售每件的利润为（80 60+ ﹣ x）元，每星期的销售量 为（200 10 ﹣ x），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量， 即可得出结论． 【解答】解：∵每涨价1 元，每星期要少卖出10 件，每件涨价x 元， ∴销售每件的利润为（80 60+ ﹣ x）元，每星期的销售量为（200 10 ﹣ x）， ∴每星期售出商品的利润y＝（200 10 ﹣ x）（80 60+ ﹣ x）． 故选：D． 【变式6-1】（2022 秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40 元的水产品．据 市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500 千克；销售单价每涨2 元，月销售 量就减少10 千克．设每千克涨x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ） ．y＝（50+x 40 ﹣ ）（500 10 ﹣ x） B．y＝（x+40）（