专题22.3 二次函数的性质【六大题型】（解析版）

专题223 二次函数的性质【六大题型】 【人版】 【题型1 利用二次函数的性质判断结论】........................................................................................................................1 【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】....................................................................................................................4 【题型3 二次函数的对称性的应用】................................................................................................................................6 【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】................................................................................................................7 【题型5 利用二次函数的性质求最值】............................................................................................................................9 【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】..................................................................................................................12 【题型1 利用二次函数的性质判断结论】 【例1】（2022•新华区校级一模）已知函数y＝2mx2+（1 4 ﹣m）x+2m 1 ﹣，下列结论错误 的是（ ） ．当m＝0 时，y 随x 的增大而增大 B．当m¿ 1 2时，函数图象的顶点坐标是（1 2，−1 4 ） ．当m＝﹣1 时，若x＜5 4 ，则y 随x 的增大而减小 D．无论m 取何值，函数图象都经过同一个点 【分析】根据题意中的函数解析式和各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解 答本题． 【解答】解：当m＝0 时，y＝x 1 ﹣，则y 随x 的增大而增大，故选项正确， 1 当m¿ 1 2时，y＝x2﹣x＝（x−1 2 ）2−1 4 ，则函数图象的顶点坐标是（1 2，−1 4 ），故选项 B 正确， 当m＝﹣1 时，y＝﹣2x2+5x 3 ﹣＝﹣2（x−5 4 ）2+1 8 ，则当x＜5 4 ，则y 随x 的增大而增 大，故选项错误， ∵y＝2mx2+（1 4 ﹣m）x+2m 1 ﹣＝2mx2+x 4 ﹣mx+2m 1 ﹣＝（2mx2 4 ﹣mx+2m）+（x 1 ﹣） ＝2m（x 1 ﹣）2+（x 1 ﹣）＝（x 1 ﹣）[2m（x 1 ﹣）+1]， ∴函数y＝2mx2+（1 4 ﹣m）x+2m 1 ﹣，无论m 取何值，函数图象都经过同一个点（1， 0），故选项D 正确， 故选：． 【变式1-1】（2022 秋•遂川县期末）关于抛物线y＝x2﹣（+1）x+ 2 ﹣，下列说法错误的是 （ ） ．开口向上 B．当＝2 时，经过坐标原点 ．不论为何值，都过定点（1，﹣2） D．＞0 时，对称轴在y 轴的左侧 【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而 可以解答本题． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣（+1）x+ 2 ﹣， ∴此抛物线开口向上，故选项正确， 当＝2 时，y＝x2 3 ﹣x 过点（0，0），故选项B 正确， 当x＝1 时，y＝﹣2，此时解析式中的正好可以消掉，故选项正确， 抛物线的对称轴是直线x¿−−(a+1) 2×1 =a+1 2 ，当＞0 时，对称轴x＞1 2在y 轴右侧，故 选项D 错误， 故选：D． 【变式1-2】（2022 秋•金牛区期末）对于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线 的开口向下；②对称轴为直线x＝1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞﹣1 时，y 随x 的 增大而减小，其中正确结论的个数为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否 正确． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，＝﹣2＜0， 1 ∴抛物线的开口向下，故①正确， 对称轴是直线x＝﹣1，故②错误， 顶点坐标为（﹣1，3），故③正确， x＞﹣1 时，y 随x 的增大而减小，故④正确， 故选：． 【变式1-3】（2022•赤壁市一模）对于二次函数y＝x2 2 ﹣mx 3 ﹣，有下列结论： ①它的图象与x 轴有两个交点； ②如果当x≤ 1 ﹣时，y 随x 的增大而减小，则m＝﹣1； ③如果将它的图象向左平移3 个单位后过原点，则m＝1； ④如果当x＝2 时的函数值与x＝8 时的函数值相等，则m＝5． 其中一定正确的结论是 ①③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【分析】①利用根的判别式Δ＞0 判定即可； ②根据二次函数的增减性利用对称轴列不等式求解即可； ③根据向左平移横坐标减求出平移前的点的坐标，然后代入函数解析式计算即可求出m 的值； ④根据二次函数的对称性求出对称轴，再求出m 的值，然后把x＝2012 代入函数关系式 计算即可得解． 【解答】解：①∵△＝（﹣2m）2 4×1× ﹣ （﹣3）＝4m2+12＞0， ∴它的图象与x 轴有两个公共点，故本小题正确； ②∵当x≤ 1 ﹣时y 随x 的增大而减小， ∴对称轴直线x¿−−2m 2 ≤−¿1， 解得m≤ 1 ﹣，故本小题错误； ③∵将它的图象向左平移3 个单位后过原点， ∴平移前的图象经过点（3，0）， 代入函数关系式得，32 2 ﹣m•3 3 ﹣＝0， 解得m＝1，故本小题正确； ④∵当x＝2 时的函数值与x＝8 时的函数值相等， ∴对称轴为直线x¿ 2+8 2 =¿5， ∴−−2m 2×1 =¿5， 解得m＝5，故本小题正确； 综上所述，结论正确的是①③④共3 个． 1 故答为：①③④． 【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】 【例2】（2022•陕西）已知二次函数y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别 为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3 时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ） ．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 ．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题． 【解答】解：∵抛物线y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣＝（x 1 ﹣）2 4 ﹣， ∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）， 当y＝0 时，（x 1 ﹣）2 4 ﹣＝0， 解得x＝﹣1 或x＝3， ∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）， ∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3 时，y2＜y1＜y3， 故选：D． 【变式2-1】（2022 秋•金安区校级月考）抛物线y＝x2+x+2，点（2，），（﹣1，﹣b）， （3，），则，b，的大小关系是（ ） ．＞＞b B．b＞＞ ．＞b＞ D．无法比较大小 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x¿−1 2，然后比较三个点都 直线x¿−1 2的远近得到、b、的大小关系． 【解答】解：∵y＝x2+x+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x¿− 1 2×1=−1 2 ， ∵（2，）、（﹣1，b），（3，）， ∴点（3，）离直线x¿−1 2最远，（﹣1，﹣b）离直线x¿−1 2最近， ∴＞＞b； 故选：． 【变式2-2】（2022 春•鼓楼区校级月考）已知点（b﹣m，y1），B（b﹣，y2），（b +m+n 2 ，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2bx+的图象上，若0＜m＜，则y1，y2，y3的大小关 系是（ ） ．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 ．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 1 【分析】逐次比较、B、三个点离函数对称轴距离即可求解． 【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝b， 0 ∵＜m＜， ∴点B 离对称轴最远，点离对称轴近， ∴y2＜y3＜y1， 故选：B． 【变式2-3】（2022•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线：y＝x2 2 ﹣x+4 （＞0）．若（m 1 ﹣，y1），B（m，y2），（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y3＞y1 ＞y2．结合图象，则m 的取值范围是 1 2 ＜m＜3 2 ． 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，分类讨论y3＞y1与y1＞y2，由 两点中点与对称轴的位置关系求解． 【解答】解：∵y＝x2 2 ﹣x+4（＞0）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上， ∵y3＞y1， ∴x1+x3 2 ＞1，即m−1+m+2 2 ＞1， 解得m＞1 2， ∵y1＞y2， ∴m−1+m 2 ＜1， 解得m＜3 2， ∴1 2 ＜m＜3 2， 故答为：1 2 ＜m＜3 2． 1 【题型3 二次函数的对称性的应用】 【例3】（2022 秋•望江县期末）在二次函数y＝﹣x2+bx+中，函数y 与自变量x 的部分对应 值如下表： x … 1 ﹣ 1 3 4 … y … 6 ﹣ m 6 ﹣ … 则m、的大小关系为（ ） ．m＜ B．m＞ ．m＝ D．无法确定 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口 方向，再根据二次函数的图象具有对称性，可以得到m、的大小关系，从而可以解答本 题． 【解答】解：由表格可得， 二次函数y＝﹣x2+bx+的对称轴是直线x¿ −1+4 2 =3 2， ∵二次函数y＝﹣x2+bx+ ∴该函数图象开口向下， ∵3 2−¿1¿ 1 2，3−3 2 =3 2， ∴m＞， 故选：B． 【变式3-1】（2022 秋•甘州区校级期末）二次函数y＝x2+bx+（≠0）中x，y 的部分对应值 如下表： x … 2 ﹣ 1 ﹣ 0 1 2 … y … 0 4 ﹣ 6 ﹣ 6 ﹣ 4 ﹣ … 则该二次函数图象的对称轴为（ ） ．y 轴 B．直线x¿ 1 2 ．直线x＝1 D．直线x¿ 3 2 【分析】根据图表找出函数值相等时对应的自变量即可求出对称轴． 【解答】解：由图表可知：x＝0 时，y＝﹣6， x＝1 时，y＝﹣6， ∴二次函数的对称轴为：x¿ 0+1 2 =1 2 故选：B． 【变式3-2】（2022•随州校级模拟）已知二次函数y＝2x2 9 ﹣x 34 ﹣ ，当自变量x 取两个不 同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x 取x1+x2时的函数值应当与（ ） 1 ．x＝1 时的函数值相等 B．x＝0 时的函数值相等 ．x¿ 1 4 的函数值相等 D．x¿ 9 4 的函数值相等 【分析】由于二次函数y＝2x2 9 ﹣x 34 ﹣ ，当自变量x 取两个不同的值x1，x2时，函数值 相等，由此可以确定x1+x2的值，然后根据已知条件即可求解． 【解答】解：∵y＝2x2 9 ﹣x 34 ﹣ ， ∴对称轴为x¿−b 2a= 9 4 ， 而自变量x 取两个不同的值x1，x2时，函数值相等， ∴x1+x2¿ 9 2， 而x¿ 9 2和x＝0 关于x¿ 9 4 对称， 当自变量x 取x1+x2时的函数值应当与x＝0 时的函数值相等． 故选：B． 【变式3-3】（2022•临安区模拟）已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x 1 ﹣） （1≤m≤2），若函数过（，b）和（+6，b）两点，则的取值范围（ ） ．﹣2≤≤−3 2 B．﹣2≤≤ 1 ﹣ ．﹣3≤≤−3 2 D．0≤≤2 【分析】先将原二次函数整理得一般式，再得当x¿ m+1 2 时取最小值，根据函数过（， b）和（+6，b）两点，得x＝+3 时取最小值，根据1≤m≤2，进而可得的取值范围． 【解答】解：方法一：∵y＝（x﹣m）（x 1 ﹣）（1≤m≤2）， ∴y＝x2﹣（m+1）x+m， ∴当x¿ m+1 2 时取最小值， ∵函数过（，b）和（+6，b）两点， ∴x¿ a+a+6 2 =¿+3 时取最小值， +3 ∴ ¿ m+1 2 ， ∴m＝2+5， 方法二：令y＝0，则x＝m，x＝1， 又函数过（，b）和（+6，b）， 所以对称轴x＝（++6）÷2＝+3， 得出m＝2+5 1 1≤ ∵ m≤2， 1≤2+5≤2 ∴ ， 解得﹣2≤≤−3 2． 故选：． 【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】 【例4】（2022•西湖区一模）设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m 时，y 随着 x 的增大而增大，则m 的值可以是（ ） ．1 B．0 ．﹣1 D．﹣2 【分析】当k＜0 时，抛物线对称轴为直线x¿−4 k+3 2k ，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 增大，根据题意，得m≤−4 k+3 2k ，而当k＜0 时，−4 k+3 2k =−¿2−3 2k ＞−¿2，可确定 m 的范围， 【解答】解：∵k＜0， ∴函数y＝kx2+（4k+3）x+1 的图象在对称轴直线x¿−4 k+3 2k 的左侧，y 随x 的增大而增 大． ∵当x＜m 时，y 随着x 的增大而增大 ∴m≤−4 k+3 2k ， 而当k＜0 时，−4 k+3 2k =−¿2−3 2k ＞−¿2， 所以m≤ 2 ﹣， 故选：D． 【变式4-1】（2022•盐城）若点P（m，）在二次函数y＝x2+2x+2 的图象上，且点P 到y 轴 的距离小于2，则的取值范围是 1≤ ＜ 10 ． 【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m 的范围即可确定的范围． 【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1， ∴二次函数y＝x2+2x+2 的图象开口象上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1， ∵P（m，）到y 轴的距离小于2， 2 ∴﹣＜m＜2， 而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1）， 当m＝2，＝（2+1）2+1＝10， 当m＝﹣1 时，＝1， 1 ∴的取值范围是1≤＜10， 故答为：1≤＜10． 【变式4-2】（2022 秋•鹿城区校级期中）已知抛物线y＝﹣（x 2 ﹣）2+9，当m≤x≤5 时， 0≤y≤9，则m 的值可以是（ ） ．﹣2 B．1 ．3 D．4 【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得m 的取值范围，从而可以求得m 可能的 值． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x 2 ﹣）2+9， ∴该函数图象开口向下，当x＝2 时，y 取得最大值9， ∵m≤x≤5， ∴m≤2； 又∵当m≤x≤5 时，0≤y≤9， 令y＝0，则﹣（x 2 ﹣）2+9＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝5， ∴m≥ 1 ﹣． ∴m 的取值范围为：﹣1≤m≤2， 故选：B． 【变式4-3】（2022•绵竹市模拟）若抛物线y＝（x﹣m）（x﹣m 3 ﹣）经过四个象限，则m 的取值范围是（ ） ．m＜﹣3 B．﹣1＜m＜2 ．﹣3＜m＜0 D．﹣2＜m＜1 【分析】抛物线y＝（x﹣m）（x﹣m 3 ﹣）中，令y＝0，可得x1＝m，x2＝m+3，即该抛 物线与x 轴交点为（m，0 ）和（m+3，0），又抛物线过四个象限，故这两点必须位于 原点的左右两侧，故能得出正确答． 【解答】解：令y＝0，得 （x﹣m）（x﹣m 3 ﹣）＝0， 解得x1＝m，x2＝m+3， ∴抛物线与x 轴的两个交点为（m，0 ）和（m+3，0）， ∵抛物线经过四个象限， ∴（m，0 ）和（m+3，0）分别位于原点两侧， 即 m＜0＜m+3， 3 ∴﹣＜m＜0， 故选：． 1 【题型5 利用二次函数的性质求最值】 【例5】（2022 秋•丹阳市期末）若实数m、满足m+＝2，则代数式2m2+m+m﹣的最小 值是_______． 【分析】设y＝2m2+m+m﹣，由m+＝2 得＝2 m ﹣，再由二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：设y＝2m2+m+m﹣， m+ ∵ ＝2， ∴＝2﹣m， ∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2+4m 2 ﹣＝（m+2）2 6 ﹣， 此为一个二次函数，开口向上，有最小值， 当m＝﹣2 时，y 有最小值为﹣6， 故答为：﹣6． 【变式5-1】（2022 秋•宁明县期中）已知抛物线y＝﹣x2 3 ﹣x+t 经过（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P（m，）在该抛物线上，求m+的最大值． 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）根据图象上点的坐标特征，得到＝﹣m2 3 ﹣m+3，进而得到m+＝﹣m2 2 ﹣m+3＝﹣ （m+1）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果． 【解答】解：（1）将（0，3）代入解析式，得t＝3， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2 3 ﹣x+3； （2）∵点P（m，）在抛物线y＝﹣x2 3 ﹣x+3 上， ∴＝﹣m2 3 ﹣m+3， ∴m+＝﹣m2 2 ﹣m+3＝﹣（m+1）2+4， ∴当m＝﹣1 时，m+有最大值是4． 【变式5-2】（2022•雁塔区校级四模）抛物线y＝x2+bx+3（≠0）过（4，4），B（2，m） 两点，点B 到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m 的取值范围是（ ） ．m≤2 或m≥3 B．m≤3 或m≥4 ．2＜m＜3 D．3＜m＜4 【分析】把（4，4）代入抛物线y＝x2+bx+3 得4+b¿ 1 4 ，根据对称轴x¿−b 2a，B（2， m），且点B 到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，所以0＜∨2−(−b 2a )∨≤1， 解得a≥1 8或≤−1 8，把B（2，m）代入y＝x2+bx+3 得：4+2b+3＝m，得到¿ 7 8−m 4 ，所 以7 8−m 4 ≥1 8或7 8−m 4 ≤−1 8，即可解答． 1 【解答】解：把（4，4）代入抛物线y＝x2+bx+3 得： 16+4b+3＝4， 16+4 ∴ b＝1， 4+ ∴ b¿ 1 4 ， ∵对称轴x¿−b 2a，B（2，m），且点B 到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1， ∴0＜∨2−(−b 2a )∨≤1 ∴0＜∨4 a+b 2a ∨≤1， | ∴1 8a|≤1， ∴a≥1 8或≤−1 8， 把B（2，m）代入y＝x2+bx+3 得： 4+2b