专题22.5 二次函数的应用【九大题型】（原卷版）

专题225 二次函数的应用【九大题型】 【人版】 【题型1 图形面积或周长问题】.............................................................................................................................1 【题型2 图形运动问题】.........................................................................................................................................4 【题型3 拱桥问题】................................................................................................................................................. 7 【题型4 销售问题】............................................................................................................................................... 10 【题型5 投球问题】............................................................................................................................................... 12 【题型6 喷水问题】............................................................................................................................................... 16 【题型7 增长率问题】...........................................................................................................................................20 【题型8 车过隧道问题】.......................................................................................................................................22 【题型9 行程问题】............................................................................................................................................... 25 【知识点1 解二次函数的实际应用问题的一般步骤】 审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什 么，找出等量关系（即函数关系）； 设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确； 列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就 是二次函数； 解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题； 检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答； 答：写出答 【题型1 图形面积或周长问题】 【例1】（2022 秋•越城区期末）为优化迪荡湖公的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够 长）为一边，用总长为80m 的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形 区域，且要求这三块矩形区域的面积相等．设B 的长度为xm，矩形区域BD 的面积为 ym2． （1）求y 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； （2）x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ 1 【变式1-1】（2022•永春县校级自主招生）在美化校的活动中，某兴趣小组想借助如图所 示的直角墙角（两边足够长），用32m 长的篱笆围成一个矩形花BD（篱笆只围B，B 两边），设B＝xm． （1）若花的面积为252m2，求x 的值； （2）若在P 处有一棵树与墙D，D 的距离分别是17m 和6m，要将这棵树围在花内 （含边界，不考虑树的粗细），求花面积S 的最大值． 【变式1-2】（2022 秋•清江浦区校级月考）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方 程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2 6 ﹣x+10＝（x2﹣ 6x+9 9 ﹣）+10＝（x 3 ﹣）2 9+10 ﹣ ＝（x 3 ﹣）2+1≥1；因此x2 6 ﹣x+10 有最小值是1，只有 当x＝3 时，才能得到这个式子的最小值1．同样﹣3x2 6 ﹣x+5＝﹣3（x2+2x+1 1 ﹣）+5＝ 1 ﹣3（x+1）2+8，因此﹣3x2 6 ﹣x+5 有最大值是8，只有当x＝﹣1 时，才能得到这个式子 的最小值8． （1）当x＝ 时，代数式﹣2（x 3 ﹣）2+5 有最大值为 ． （2）当x＝ 时，代数式2x2+4x+3 有最小值为 ． （3）矩形自行车场地BD 一边靠墙（墙长10m），在B 和B 边各开一个1 米宽的小门 （不用木板），现有能围成14m 长的木板，当D 长为多少时，自行车场地的面积最大？ 最大面积是多少？ 【变式1-3】（2022•市南区一模）小明准备给长16 米，宽12 米的长方形空地栽种花卉和 草坪，图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四 边形BD 和EFG 均为正方形，且各有两边与长方形边重合：矩形MF（区域Ⅱ）是这两 个正方形的重叠部分，如图所示． （1）若花卉均价为300 元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为200 元/米2， 且花卉和草坪栽种总价不超过43600 元，求S 的最大值． （2）若矩形MF 满足MF：F＝1：2． ①求MF，F 的长． ②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为为180 元/米2，90 元/米2，180 元/米2，且边B 的 长不小于边ME 长的5 4 倍．求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价元的最大值． 1 【题型2 图形运动问题】 【例2】（2022 秋•利川市校级期中）如图，在矩形BD 中，B＝12m，B＝9m．P、Q 两点 同时从点B、D 出发，分别沿B、D 方向匀速运动（当P 运动到时，P、Q 同时停止运 动），已知P 点的速度比Q 点大1m/s，设P 点的运动时间为x 秒，△PQ 的面积为ym2， （1）经过3 秒△PQ 的面积是矩形BD 面积的1 3时，求P、Q 两点的运动速度分别是多少？ （2）以（1）中求出的结论为条件，写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值 范围． 【变式2-1】（2022•巨野县期末）如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝12，B＝24，动点P 从点 开始沿边B 向终点B 以每秒2 个单位长度的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边B 以每秒 4 个单位长度的速度向终点移动，如果点P、Q 分别从点、B 同时出发，那么△PBQ 的面 积S 随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围． 1 【变式2-2】（2022 秋•丹阳市校级月考）如图，在△B 中，B＝7m，＝24m，B＝25m，P 点 在B 上，从B 点到点运动（不包括点），点P 运动的速度为2m/s；Q 点在上从点运动到 点（不包括点），速度为5m/s．若点P、Q 分别从B、同时运动，请解答下面的问题， 并写出探索的主要过程： （1）经过多少时间后，P、Q 两点的距离为5❑ √2m2？ （2）经过多少时间后，S△PQ的面积为15m2？ （3）请用配方法说明，何时△PQ 的面积最大，最大面积是多少？ 【变式2-3】（2022 秋•杭州期末）如图（），点F、G、、E 分别从正方形BD 的顶点 B、、D、同时出发，以1m/s 的速度沿着正方形的边向、D、、B 运动．若设运动时间为 x（s），问： （1）四边形EFG 是什么图形？证明你的结论； （2）若正方形BD 的边长为2m，四边形EFG 的面积为y（m2），求y 关于x 的函数解 析式和自变量x 的取值范围； （3）若改变点的连接方式（如图（b）），其余不变．则当动点出发几秒时，图中空白 部分的面积为3m2． 1 【题型3 拱桥问题】 【例3】（2022•海曙区校级开学）图1 是一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分 别为B＝50 米和D＝40 米（如图2 所示），x 轴表示桥面，B＝10 米．若两抛物线交y 轴于同一点，且它们的形状相同，则OB OC 的值为 ． 【变式3-1】（2022 秋•西城区校级期中）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物 线型的廊桥示意图．已知水面B 宽40 米，抛物线最高点到水面B 的距离为10 米，为保 护廊桥的安全，在该抛物线上距水面B 高为8 米的点E，F 处要安装两盏警示灯，求这 两盏灯的水平距离EF．（结果保留根号） 1 【变式3-2】（2022 秋•诏安县校级月考）如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形 状，按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用y¿ 9 400x2+9 10 x+10 表示，而且左、 右两条抛物线关于y 轴对称． （1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ （2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？ （3）写出如图抛物线的表达式？ 1 【变式3-3】（2022 秋•袁州区校级期中）宜春袁山公内有一座景观桥，桥洞形状如抛物线 B，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y¿−1 50x2+且 过顶点（0，8）（长度单位：m） （1）直接写出的值； （2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为15m 的地毯，求需要多 少平方米的地毯？（不计损耗） （3）为了使景观桥夜晚更加漂亮，需在桥洞下方洞壁相同高度处如图示的E、F 位置安 装两盏LED 灯，且点E 的横坐标与纵坐标之和为﹣4，求安装的LED 灯距离水面B 的高 度． 1 【知识点2 销售问题中的常用公式】 （1）利润=售价-进价=进价×利润率 （2）利润率 = 利润 进价×100% （3）总利润=总售价-总进价=销售量×（单件售价-单件成本） 【题型4 销售问题】 【例4】（2022 秋•平谷区期末）某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市 场调研发现1 8 ﹣月份这种药材售价（元）与月份之间存在如表所示的一次函数关系， 同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表， 试判断 5 月份出售这种药材获利最大． 月份 … 3 6 … 每千克售价 … 8 6 … 1 【变式4-1】（2022 秋•舞阳县期末）某商场一种商品的进价为每件30 元，售价为每件50 元．每天可以销售48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件405 元，求两次下降的百分 率； （2）经调查，若该商品每降价1 元，每天可多销售8 件，那么每天要想获得最大利润， 每件售价应多少元？最大利润是多少？ 【变式4-2】（2022 秋•椒江区期末）某一种蜜桔在农贸水果市场的需求量y1（万斤）、市 场供应量y2（万斤）与市场价格x（元/斤）分别满足下列关系：y1＝﹣02x+28，y2＝04x 08 ﹣ ，当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量． （1）求平衡价格和平衡需求量； （2）若该蜜桔的市场销售量y（万件）是市场需求量y1和市场供应量y2两者中的较小者， 该蜜桔的市场销售额P（万元）等于市场销售量y 与市场价格x 的乘积．当市场价格x 取何值时，市场销售额P 取得最大值？ （3）蜜桔的每斤进价为m 元，若当3≤x≤10 时，随着x 的增大，蜜桔的销售利润（万 元）会经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出m 的取值范围． 【变式4-3】（2022•庐阳区校级一模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销 售中，售价x 为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其 售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润（元）的部分对应值如表： 1 售价x（元/件） 40 45 月销售量y（件） 300 250 月销售利润（元） 3000 3750 注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价） （1）求y 关于x 的函数表达式； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1 件商品就捐赠m 元利润（m≤6）给“精准扶贫”对象，要求： 在售价不超过52 元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x 的增大而增大，求m 的 取值范围． 【题型5 投球问题】 【例5】（2022•威县校级模拟）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降 落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条 抛物线．如图16，甲站在原点处，从离地面高度为1m 的点处抛出弹力球，弹力球在B 处着地后弹起，落至点处，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y＝（x 2 ﹣）2+2． （1）的值为 ；点B 的横坐标为 ； （2）若弹力球在B 处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半． ①求弹力球第一次着地后抛物线解析式； ②求弹力球第二次着地点到点的距离； ③如果摆放一个底面半径为05m，高05m 的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点9m，若 要甲能投球成功，需将筐沿x 轴向左移动bm，直接写出b 的取值范围． 1 【变式5-1】（2022•六盘水模拟）如图，篮球场上F 的长为25 米，篮球运动员小明站在左 方的点处向右抛球，球从离地面2 米的处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距 点4 米的B 处达到最高点，最高点距离地面4 米；篮球在点D 处落地后弹起，弹起后在 点E 处落地，且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同，但高度减少为原来最大高度的 一半．以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线D 的函数表达式； （2）求篮球第二次落地点E 与点之间的距离； （3）若运动员小易在点E 处拿球前进到点G 处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3 米 的地方出手，球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入 离地面3 米的篮筐中，求EG 的长？ 1 【变式5-2】（2022•巧家县模拟）如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球 P（看作一点）从数轴上表示﹣8 的点处弹出后，呈抛物线y＝﹣x2 8 ﹣x 状下落，落到数 轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第 一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依 次逐渐向右自由弹出． （1）根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度． （2）当弹球P 在数轴上两个相邻落点之间的距离为4 时，求此时下落的抛物线的解析 式． 1 【变式5-3】（2022•潍坊模拟）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高 度至少为2 米．某次模拟测试中，某女生在处将球垫偏，之后又在，B 两处先后垫球， 球沿抛物线1→2→3运动（假设抛物线1，2，3在同一平面内），最终正好在处垫住，处 离地面的距离为1 米．如图所示，以为坐标原点1 米为单位长度建立直角坐标系，x 轴 平行于地面水平直线m，已知点（3 2，3 8），点B 的横坐标为−3 2 ，抛物线1和3的表达 式分别为y＝x2 2 ﹣x 和y＝2x2+bx（≠0）． （1）求抛物线1的函数表达式． （2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由． （3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫 球处B 离地面的高度至少为多少米？ 【题型6 喷水问题】 【例6】（2022•西城区校级模拟）某公在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根 水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作 1 是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d 米，与湖面的垂直高度 为米，下面的表中记录了d 与的五组数据： d（米） 0 1 2 3 4 （米） 05 125 15 125 05 根据上述信息，解决以下问题： （1）在如下格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与d 函数 关系的图象； （2）若水柱最高点距离湖面的高度为m 米，则m＝ ； （3）现公想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得 游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间 通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于05 米．已知游船顶棚宽度为3 米， 顶棚到湖面的高度为15 米，那么公应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少 调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 1 【变式6-1】（2022•安徽模拟）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化 而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变 化时，抛物线的顶点在直线y＝kx 上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组 抛物线的统一形式为y＝x2+bx． （1）若已知k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时、b 的值； （2）若k＝1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ （3）若k＝3，¿−2 7 ，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？ 【变式6-2】（2022•河北模拟）音乐喷泉的某一个喷水口，喷出的一束水流形状是抛物线， 在这束水流所在平面建立平面直角坐标系，以水面与此面的相交线为x 轴，以喷水管所 在的铅垂线为y 轴，喷出的水流抛物线的解析式为：y＝﹣x2+bx+2．但控制进水速度， 可改变喷出的水流达到的最大高度，及落在水面的落点距喷水管的水平距离． 1 （1）喷出的水流抛物线与抛物线y＝x2的形状相同，则＝ ； （2）落在水面的落点距喷水管的水平距离为2 个单位长时，求水流抛物线的解析式； （3）求出（2）中的抛物线的顶点坐标和对称轴； （4）对于水流抛物线y＝﹣x2+bx+2．当b＝b1 时，落在水面的落点坐标为M（m， 0），当b＝b2时，落在水面的落点坐标为（，0），点M 与点都在x 轴的正半