专题32 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题32 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型 将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的 思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型 和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长 度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连 线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造 桥）再也不是问题！ .........................................................................................................................................2 模型1 将军遛马模型.............................................................................................................................. 2 模型2 将军造桥（过桥）模型...............................................................................................................6 .......................................................................................................................................12 模型1 将军遛马模型 将军遛马模型：已知、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧，且PQ 间长度恒定， 在直线m 上要求P、Q 两点，使得P+PQ+QB 的值最小。 点、B 在直线m 异侧（图1-1）；点、B 在直线m 同侧 （图1-2）； m A B Q P 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过点作∥m,且=PQ，连接B，交直线m 于Q，Q 向左平移PQ 长，即 为P 点，此时P、Q 即为所求的点。 ∵PQ 为定值，∴求P+PQ+QB 的最小值，即求P+QB 的最小值+PQ。 ∵∥m，=PQ，得到四边形PQ 为平行四边形，故P=Q。∴P+QB=Q+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得P+QB 的最小值为B，故P+PQ+QB 的最小值=PQ+B m A B C Q P m A B B' E Q P 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过点作E∥m,且E=PQ，作B 关于m 的对称点B’，连接B’E，交直线m 于Q，Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。 ∵PQ 为定值，∴求P+PQ+QB 的最小值，即求P+QB 的最小值+PQ。 ∵E∥m，E=PQ，得到四边形PQE 为平行四边形，故P=QE。∴P+QB=QE+QB， m A B Q P 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故P+PQ+QB 的最小值=PQ+EB’。 例1．（2023·陕西·模拟预测）如图，菱形BD 的边长为3，∠BD＝60°，点E、F 在对角线上（点E 在点F 的左侧），且EF＝1，则DE+BF 最小值为________ 【答】 【分析】作DM ，使得DM=EF=1，连接BM 交于F，由四边形DEFM 是平行四边形，推出DE=FM，推 出DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB 最短，由四边形BD 是菱形，在 Rt△BDM 中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，作DM ，使得DM＝EF＝1，连接BM 交于F， ∵DM＝EF，DM EF，∴四边形DEFM 是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM， 根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB 最短，∵四边形BD 是菱形，B＝3，∠BD＝60° ∴D＝B，∴△BD 是等边三角形，∴BD＝B＝3， ∵BD⊥，DM∥，∴BD⊥DM，在Rt△BDM 中，BM＝ ＝ ∴DE+BF 的最小值为 ．故答为 ． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的 关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题． 例21．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2 的正方形 中，点E、F 是对角线 上的两个动点， 且始终保持 ，连接 、 ，则 的最小值为（ ） ． B．3 ． D． 【答】B 【分析】过点 作 使 ，易得四边形 为平行四边形，得到 ，进而得到 ，得到 三点共线时， 有最小值即为 的长，利用勾股定理进行 求解即可． 【详解】解：过点 作 使 ，则：四边形 为平行四边形， ∴ ，∴ ，∴当 三点共线时， 有最小值即为 的长， ∵四边形 为正方形，∴ ， ， ， ∴ ， ，∴ ，即： 的最小值为3．故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是构造平行四边形， 进行线段的转化． 例3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在边长为1 的菱形 中， ，将 沿射线 的 方向平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为（ ） ．1 B． ． D．2 【答】 【分析】根据菱形的性质得到 ， ，根据平移的性质得到 ， ，推出 四边形 是平行四边形，得到 ，于是得到 的最小值 的最小值，根据 平移的性质得到点 在过点 且平行于 的定直线上，作点 关于定直线的对称点 ，连接 交定直 线于 ，则 的长度即为 的最小值，求得 ，得到 ，于是得到结论 【详解】解：在边长为1 的菱形 中， ， ， ， 将 沿射线 的方向平移得到 ， ， ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 的最小值 的最小值， 点 在过点 且平行于 的定直线上， 作点 关于定直线的对称点 ，连接 交定直线于 ，则 的长度即为 的最小值， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ，作 ， 过点D 作 垂足为G 在 中， ．故选： ． 【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性 质，求得 的最小值 的最小值是解题的关键． 例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形 中， ， 是对角线 上两点点 靠近点 ， 且 ，当 的最小值为 时， 的长为 ． 【答】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段和的最值问题，勾股定理；平移 至 ，则 ，连接 ，得出四边形 是平行四边形，则 ， ，根 据题意可得 ，在 中，勾股定理求得 ，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，平移 至 ，则 ，连接 , ∴四边形 是平行四边形，∴ ， ，∵ ，∴ ∵在正方形 中， ， 是对角线 上两点 ∴ ∴ 在 中， ∴ 故答为： ． 模型2 将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建 造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：M+M+B 的值最小）。 河 B 军营 A 将军 N M A' 河 B 军营 A 将军 N M 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过点作’∥M，且’=M，连接’B， ’ ∵∥M，且’=M ∴四边形PQ 为平行四边形，故M=’， ∵M 为定值，∴求M+M+B 的最小值，即求M+B 的最小值+M。 再利用“两点之间线段最短”，可得M+B 的最小值为’B，故M+M+B 的最小值=’B+M。 例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 中， ， ， ， ， ；垂足分别为点F 和E．点G 和分别是 和 上的动点， ，那么 的最 小值为______． 【答】 【分析】过点E 作 交 于点，连接 ．易求出 ， ， ．易证四 边形 为平行四边形，得出 ，即说明当 最小时， 最小．由当点，， 三点共线时， 最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出 ，即得出 ， 即可得出答． 【详解】解：如图，过点E 作 交 于点，连接 ． ∵ 中， ， ，∴ ，∴ ， ∴ ， ．∵ ， ，∴ ． ∵ ，∴四边形 为平行四边形，∴ ．同理可得出 ． ∵ ， ，∴四边形 为平行四边形， ∴ ，∴四边形 为平行四边形， ∴ ，∴ ，∴当 最小时， 最小． ∵当点，，三点共线时， 最小，∴此时 最小，如图， ∵ ，∴ ．∵ ∴四边形 为平行四边形，∴ ， ， ∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ 的最小值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30 度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之 间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点，，三点共线时， 最小，即此时 最小是解题关键． 例2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在 中， ．如果在三 角形内部有一条动线段 ，且 ，则 的最小值为________． 【答】 【分析】在 上取一点 ，使得 ，连接 ，如图所示，首先证明 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，证明 ，求出 可得结论． 【详解】解：在 上取一点 ，使得 ，连接 ，如图所示： ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， 将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，如图所 示： ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，旋转变换，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋 转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 例3．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形 的边长为4，点 是对角线 上两动点，且 ，将点 沿 的方向平移2 个单位得到点 ，连接 、 ． (1)①四边形 的形状为_____________； ②连接 、 ，当点 ， ， 共线时， 的值为_____________． (2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生 存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“ ”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿 地，在支流1 的左上方有一村庄 ，支流2 的右下方有一开发区 ，为促进当地的经济发展，经政府决定 在支流1 和支流2 上分别修建一座桥梁 、 （支流1 的两岸互相平行，支流2 的两岸也互相平行，桥 梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄 到开发区 理论上的最短路程吗？（即 和的最小值）．经测量， 、 两地的直线距离为2000 米，支流1、支流2 的宽度 分别为 米、250 米，且与线段 所夹的锐角分别为 、 ． 【答】(1)①平行四边形；②6．(2) 米 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30 度角的直角三角形的 性质，平移的性质： （1）①根据平行的性质得到 ，据此可证明四边形 是平行四边形；②由正方 形的性质得到 ， ，由勾股定理得 ，由平行线的 性质得到 ，则 ，由勾股定理得到 ，再由正方形的性质和平行四 边形的性质得到 ， ，则 ； （2）如图所示，将点沿着垂直于支流1 的河岸的方向平移 米得到 ，连接 ，将点B 沿着垂直 于支流2 的河岸的方向平移 米得到 ，连接 ，则四边形 和四边形 都是平行四边形， 可得 ，则当 四点共线时， 最小，即此时 最小；如图所示， 分别延长 交于，则 ，进而 得到 ，则 米， 米，进一步得到 米， 米， 则 米， 即可得到 的最小值为 米． 【详解】（1）解：①由平行的性质可得 ， ∴四边形 是平行四边形，故答为：平行四边形； ②∵四边形 是正方形，∴ ， ， ∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， 由正方形的对称性可得 ，由平行四边形的性质可得 ， ∴ ，故答为：6； （2）解：如图所示，将点沿着垂直于支流1 的河岸的方向平移 米得到 ，连接 ，将点B 沿着 垂直于支流2 的河岸的方向平移 米得到 ，连接 ， ∴四边形 和四边形 都是平行四边形，∴ ， ∴ ， ∴当 四点共线时， 最小，即此时 最小； 如图所示， 分别延长 交于， ∵支流1 和支流2 与线段 所夹的锐角分别为 、 ， ∴ ，∴ ，∴ 米， ∴ 米，∴ 米， 米， ∴ 米， ∴ 的最小值为 米． 1．（2023 安徽中考学二模）如图，菱形BD 的边长为2 ，∠B＝60°，点E、F 在对角线BD 上运动，且EF ＝2，连接E、F，则△EF 周长的最小值是（ ） ．4 B．4+ ．2+2 D．6 【答】D 【分析】作∥BD，使得＝EF＝2，连接交BD 于F，则E+F 的值最小，进而得出△EF 周长的最小值即可． 【详解】解：如图作∥BD，使得＝EF＝2，连接交BD 于F，则E+F 的值最小，即△EF 的周长最小． ∵＝EF，∥EF，∴四边形EF 是平行四边形，∴E＝F，∵F＝F，∴E+F＝F+F＝， ∵菱形BD 的边长为2 ，∠B＝60°，∴＝B＝2 ， ∵四边形BD 是菱形，∴⊥BD，∵∥DB，∴⊥，∴∠＝90°， 在Rt△中，＝ ∴E+F 的最小值4， EF ∴△ 的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键． 2．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有，B 两个村庄，河宽为4 千米，、B 两村庄的直线距离B＝10 千 米，、B 两村庄到河岸的距离分别为1 千米、3 千米，计划在河上修建一座桥M 垂直于两岸，M 点为靠近 村庄的河岸上一点，则M+B 的最小值为( ) ．2 B．1+3 ．3+ D． 【答】 【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接B′，与靠近的河岸相交于M，作M 垂直于另一条河岸， 则M BB ∥ ′且M＝BB′，于是MBB′为平行四边形，故MB′＝B；根据“两点之间线段最短”，B′最短，即M+B 最短，此时M+B＝B′． 【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接B′，与靠近的河岸相交于M，作M 垂直于另 一条河岸，则M BB ∥ ′且M＝BB′，于是MBB′为平行四边形，故MB′＝B． 根据“两点之间线段最短”，B′最短，即M+B 最短． B ∵＝10 千米，B＝1+3+4＝8 千米，∴在RT△B 中， ， 在RT△B′中，B′＝1+3＝4 千米，∴B′＝ 千米；故选． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单， 需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前， 往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化． 3．（2024·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中， ， ，是 的中点，点D 在第二象限， 且四边形 为矩形，P 是 上一个动点，过点P 作 于，Q 是点B 关于点的对称点，则 的最小值为 ． 【答】6 【分析】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强，是中考 常见题型．连接 ，根据 、 的坐标先确定 和 的长，证明四边形 是矩形，得 ，再证明四边形 是平行四边形，则 ，在 中， 是定值， 所以只要 的值最小就可以，当 、 、 在同一直线上时， 的值最小，利用平行四边形 的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接 ， ， ， ， ， 是 的中点， ， ， 四边形 是矩形， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， 要使 的值最小，只需 、 、 三点共线即可， 点 是点 关于点 的对称点， ，又 点 ，根据勾股定理可得 ， 此时， ，即 的最小值，6；故答为：6 4．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在边 上左右滑动；若 ，则 的最小值为____________． 【答】 【分析】如图，作G 关于B 的对称点G'，在D 上截取=1，然后连接G'交B 于E，在EB 上截取EF=1，此时 GE+F 的值最小，可得四边形EF 是平行四边形，从而得到G'=EG'+E=EG+F，再由勾股定理求出G'的长，即可 求解． 【详解】解：如图，作G 关于B 的对称点G'，在D 上截取=1，然后连接G'交B 于E，在EB 上截取EF=1，此 时GE+F 的值最小， ∴G'E=GE，G=G'，∵四边形BD 是矩形，∴B∥D，D=B=2∴∥EF， = ∵EF=1， ∴四边形EF 是平行四边形，∴E=F，∴G'=EG'+E=EG+F， ∵B=4，B=D=2，G 为边D 的中点，∴G=G'=1 ∴DG = ′ D+G'=2+1=3，D=4-1=3， ∴ ，即 的最小值为 ．故答为： 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+F 最小时 E，F 位置是解题关键． 5．（2023 上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形 内接于⊙，线段 在对角线 上 运动，若⊙的周长为 ， ，则 周长的最小值是 ． 【答】 / 【分析】过点 作 ，令 ；可推出四边形 为平行四边形，有 ；根据 可知当 时， 周长有最小值 【详解】解：过点 作 ，令 ∵⊙的周长为 ，∴⊙的半径为∴ ∵ 且 ∴四边形 为平行四边形 ∴ 由正方形的对称性可得： ∴ ∴ 故：当 时， 周长有最小值 此时： ∴ 周长的最小值是 故答为： 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当 时， 周长有最 小值是解题关键． 6．（2023 秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为 的正方形 中将 沿射线 平移， 得到 ，连接 、 ．求 的最小值为______． 【答】 【分析】将△B 沿射线平移到△B′′的位置，连接′E、E、DE，证出四边形BGE 和四边形EGD 均为平行四边形， 根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得′E=E，G=DE，可得E+G= E+ED ′ ，当点′、E、D 在同