专题33 最值模型之胡不归模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题33 最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟 考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析， 方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 .................................................................................................................................................1 模型1 胡不归模型（最值模型）...................................................................................................................1 ...............................................................................................................................................13 模型1 胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”， 虽然从他此刻位置到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙 子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的 一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题 V1 V2 V1 驿道 砂石地 A B C 一动点P 在直线M 外的运动速度为V1，在直线M 上运动的速度为V2，且V1<V2，、B 为定点，点在 直线M 上，确定点的位置使 的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 V2 V1 M N C B A CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M M N C B A α D H 1） ，记 ，即求B+k 的最小值 2）构造射线D 使得s∠D=k， ，=k,将问题转化为求B+最小值 3）过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值，即B+k 最小． 【解题关键】在求形如“P+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P+kPB”型问 题转化为“P+P”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1 的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1（24-25 九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在 中， ， ，P 为 边上的一个 动点（不与、重合），连接 ，则 的最小值是（ ） ． B． ． D．8 【答】B 【分析】以 为斜边在 下方作等腰直角 ，过B 作 于E，通过解直角三角形可得 的 长，再根据 ，可得 ，据此即可解答． 【详解】解：如图，以 为斜边在 下方作等腰直角 ，过B 作 于E，连接 ， ， ， ， ， ， 的最小值为 ．故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，点到直线的距离，作出辅助线是解决本题的关键． 例2．（23-24 九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在矩形 中， ，E，P 分别是边 和对角 线 上的动点，连接 ，记 ，若 ，则 的最小值为（ ） ．3 B．4 ．5 D． 【答】 【分析】本题考查了三角函数的定义，矩形的判定和性质．过点P 作 于点，交 于点G，求得 ，根据垂线段最短，知当点E 与点G 重合时， 有最小值，据此求解即可． 【详解】解：过点P 作 于点，交 于点G， ∵四边形 是矩形，∴ ，∴四边形 是矩形，∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ， 当点E 与点G 重合时， 有最小值，最小值为 的长， ∵ ，∴ 的最小值为3，故选：． 例3．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ， ， ， 是对角线 上的动点，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点P 作 ，连接 ，由菱形 的性质可得 ，则由勾股定理可得 ，解直角三角形得到 ，则 ，进而得到当 三点共线，且 时， 最小，最小值为 的长，据此利用等面积法求出 的长即可得到答． 【详解】解：如图所示，过点P 作 ，连接 ， ∵在菱形 中，对角线 相交于点 ， ， ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴在 中， ，∴ ， ∴当 三点共线，且 时， 最小，最小值为 的长， ∴此时有 ，∴ ，∴ ， ∴ 的最小值为 ，故答为： ． 例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形 边长为4，点E 是 边上一点，且 ． P 是对角线 上一动点，则 的最小值为（ ） ．4 B． ． D． 【答】D 【分析】连接，作 ，证明当 取最小值时，，P，G 三点共线，且 ，此时最小 值为G，再利用勾股定理， 所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果． 【详解】解：连接，作 ∵ 是正方形且边长为4，∴ ， ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴当 取最小值时，，P，G 三点共线，且 ，此时最小值为G， ∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ ， 设 ，则 ，∴ ，解得： ， 设 ，则 ，∵ ，∴ ，解得： ∴ ，故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理， 所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键 是证明当 取最小值时，，P，G 三点共线，且 ，此时最小值为G． 例5．（23-24 九年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 是 的直径， 切 于点 交 的延长线 于点 ．设点 是弦 上任意一点（不含端点），若 ， ，则 的最小值为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】作 平分 ，交 于 ，连接 、 、 ，过点 作 于 ，根据切线的 性质和三角形内角和定理可得 ，求得 ，根据角平分线的性质可得 ，根据含 角的直角三角形的性质可得 ，求得 ，根据等边三角形 的判定和性质可得 ，根据菱形的判定和性质可得 平分 ，根据角平分线的性 质和全等三角形的判定和性质可得 ，根据等边对等角和三角形内角和定理求得 ，根据特殊角的锐角三角函数可求得 ，推得 ，根 据垂线段最短可得，当 、 、 三点共线时， 的值最小，即 时， 的值最小， 根据特殊角的锐角三角函数可求得 ，即可求解． 【详解】解：作 的角平分线 ，交 于 ，连接 、 、 ，过点 作 于 ， 如图： ∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，∴ ， ∵ 平分 ，则 ， ∵ ， ，∴ ，即 ， 又∵ ， ，∴ ，∴ ，即圆的半径为 ， ∵ ， ，∴ 、 是等边三角形， ∴ ，∴四边形 是菱形，∴ 平分 ，∴ ， 又∵ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ．若使 的值最小，即 的值最小， 当 、 、 三点共线时， ，此时 的值最小，即 时， 的值最 小， 此时， ， ，故选： D． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含 角的直角三角形的性质， 等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，特殊角的锐角三 角函数，垂线段最短，解题的关键是明确当 、 、 三点共线时， 的值最小，即 的 值最小． 例7．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线 与x 轴，y 轴分别交于，B 两点，点D 是线 段B 上一动点，点是直线 上的一动点，动点 ，连接 ．当 取最小值时， 的最小值是 ． 【答】 【分析】作出点 ，作 于点D，交x 轴于点F，此时 的最小值为 的长，利用解 直角三角形求得 ，利用待定系数法求得直线 的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作 轴于点G，此时 的最小值是 的长，据此求解即可． 【详解】解：∵直线 与x 轴，y 轴分别交于，B 两点，∴ ， ， 作点B 关于x 轴的对称点 ，把点 向右平移3 个单位得到 ， 作 于点D，交x 轴于点F，过点 作 交x 轴于点E，则四边形 是平行四边形， 此时， ，∴ 有最小值，作 轴于点P， 则 ， ，∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ，则 ，设直线 的解析式为 ， 则 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ， 联立， ，解得 ，即 ；过点D 作 轴于点G， 直线 与x 轴的交点为 ，则 ，∴ ， ∴ ，∴ ， 即 的最小值是 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题． 例8．（2024·山东济南·一模）实践与探究 【问题情境】（1）①如图1， ， ， ， 分别为边 上的点， ，且 ，则 ______；②如图2，将①中的 绕点 顺时针旋转 ，则 所在直线较小夹角的度数为______． 【探究实践】（2）如图3，矩形 ， ， ， 为边 上的动点， 为边 上的动点， ，连接 ，作 于 点，连接 ．当 的长度最小时，求 的长． 【拓展应用】（3）如图4， ， ， ， ， 为 中点，连接 ， 分别为线段 上的动点，且 ，请直接写出 的最小值． 【答】（1）① ；② ；（2）2；（3） 【分析】（1）①由 得出 ，再由相似三角形的性质即可得解；②延长 交 于 ，令 交 于 ，由旋转的性质结合三角形内角和定理计算即可得出答； （2）延长 ，相交于点 ，连接 ．由矩形的性质可得 ， ，证明 ，由相似三角形的性质得出点 为 中点，由直角三角形的性质得出 ，当 ，三点共线时 取得最小值，证明出 为等边三角形，即可得解； （3）分别过点 和 作垂线，两线相交于点 ，连接 、 、 ，则 ，证明 ，得出 ，再证明出 四点共圆，得出 ， ，解直角三角形得出 ，即可得出 ，最后由 勾股定理计算即可得出答． 【详解】解：（1）① ， ， ，故答为： ； ②如图，延长 交 于 ，令 交 于 ， 由①可得 ，由旋转的性质可得： ， ， ， ， 所在直线较小夹角的度数为 ，故答为： ； （2）延长 ，相交于点 ，连接 ． 四边形 是矩形， ， ，∴ ， ，∴ ，∴ ，∴点 为 中点， ， ∵ 于点 ，∴在 中， ， ∵在 中， ，且 为定值，∴当 ，三点共线时 取得最小值， ∵ ，∴ ，此时 为等边三角形， ． （3）如图，分别过点 和 作垂线，两线相交于点 ，连接 、 、 ，则 ， ， ， ， ， 为 中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四点共圆， ， ， 在 中， ， ， ， 在 中， ， 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的性质、勾股定理、等边三角形的判定 与性质、直角三角形的性质、矩形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加 适当的辅助线是解此题的关键． 例9．（24-25 九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数 的图象交x 轴于、B 两 点，交y 轴于点，连接 ．(1)直接写出点B、的坐标，B________；________． (2)点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，连接 、 ．若 的面积 ，求点P 的坐标． (3)设E 为线段 上任意一点（不含端点），连接 ，一动点M 从点出发，沿线段 以每秒1 个单位速 度运动到E 点，再沿线段 以每秒2 个单位的速度运动到后停止，求点M 运动时间的最小值． 【答】(1) ， (2) 或 或 (3)点M 的运动时间的最小值为7 秒 【分析】（1）根据抛物线计算即可；（2）利用同底等高的三角形面积相等构造与 平行直线，找到与 抛物线的交点P；（3）如图，在x 轴上取一点G，连接 ，使得 ，作 于．作 于 交 于 ．由点M 的运动时间 ， ，推出点M 的运动时间 ，根据垂线段最短可知，当，E，关系，点与 重合，点E 与 重合时，点M 的运动时间最 少．由此即可解决问题； 【详解】（1）解：当 时， ， 当 时， ，解得： ， ，故答为： ， ； （2）解：设x 轴上点D，使得 的面积 ， ，解得： ， ， ，则可求直线 解析式为： ，故点D 坐标为 或 ， 当D 坐标为 时，过点D 平行于 的直线l 与抛物线交点为满足条件的P， 则可求得直线l 的解析式为： ， 求直线l 与抛物线交点得： ，解得： ， ， 则P 点坐标为 或 ，同理当点D 坐标为 时，直线l 的解析式为 ， 求直线l 与抛物线交点得： ，解得： （舍弃）， ， 则点P 坐标为 ，综上满足条件P 点坐标为： 或 或 ； （3）解：如图，在x 轴上取一点G，连接G，使得 ，作 于．作 于 交B 于 ． ， ， ， ， 直线 的解析式为 ， 点M 的运动时间 ， ， 点M 的运动时间 ， 根据垂线段最短可知，当，E，关系，点与 重合，点E 与 重合时，点M 的运动时间最少． 由题意 ， ， ， 点M 的运动时间的最小值为7 秒，此时 ． 【点睛】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质是解答本 题的关键． 1．（2024·山东淄博·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是 ，点的坐标是 ，点 是x 轴上的动点，点B 在x 轴上移动时，始终保持 是等边三角形（点P 不在第二象限），连 接 ，求得 的最小值为（ ） ． B．4 ． D．2 【答】 【分析】如图1 所示，以为边，向右作等边△D，连接PD，过点D 作DE⊥于E，先求出点D 的坐标，然后 证明△B △ ≌PD 得到∠PD=∠B=90°，则点P 在经过点D 且与D 垂直的直线上运动，当点P 运动到y 轴时，如 图2 所示，证明此时点P 的坐标为（0，-2）从而求出直线PD 的解析式；如图3 所示，作点关于直线PD 的对称点G，连接PG，过点P 作PF⊥y 轴于F，设直线PD 与x 轴的交点为，先求出点的坐标，然后证明 ∠=30°，从而得到 ，则当G、P、F 三点共线时， 有最小值，即 有 最小值，再根据轴对称的性质求出点G 在x 轴上，则G 即为所求． 【详解】解：如图1 所示，以为边，向右作等边△D，连接PD，过点D 作DE⊥于E， ∵点的坐标为（0，2），∴=D=2，∴E=E=1，∴ ，∴点D 的坐标为 ； △ ∵BP 是等边三角形，△D 是等边三角形，∴B=P，∠BP=60°，=D，∠D=60°， ∠ ∴ BP+∠P=∠D+∠P，即∠B=∠PD，∴△B △ ≌PD（SS），∴∠PD=∠B=90°， ∴点P 在经过点D 且与D 垂直的直线上运动， 当点P 运动到y 轴时，如图2 所示，此时点P 与点重合， △ ∵BP 是等边三角形，B⊥P，∴=P=2，∴此时点P 的坐标为（0，-2）， 设直线PD 的解析式为 ，∴ ，∴ ，∴直线PD 的解析式为 ； 如图3 所示，作点关于直线PD 的对称点G，连接PG，过点P 作PF⊥y 轴于F，连接G，设直线PD 与x 轴 的交点为，∴点的坐标为 ，∴ ，∴∠=30°，∴ ， 由轴对称的性质可知P=GP，∴ ， ∴当G、P、F 三点共线时， 有最小值，即 有最小值， ∵、G 两点关于直线PD 对称，且∠D=90°，∴D=GD，即点D 为G 的中点， ∵点的坐标为（0，2），点D 的坐标为 ，∴G=2D=2=4， ∵=4，∠G=60°，∴△G 是等边三角形，∵=，∴G⊥，即点G 在x 轴上， ∴由勾股定理得 ，∴当点P 运动到点时， 有最小值，即 有最小值， 最小值即为G 的长，∴ 的最小值为 ，故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴 对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P 的运动轨迹是解题的关键． 2．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线 与x 轴交于 两点，与y 轴交于 点 ．若P 为y 轴上一个动点，连接 ，则 的最小值为（ ） ． B．2 ．2 D．4 【答】 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在 于把求 最小值转化为求 的最小值；连接 ，过点P 作 于点G，连接 ，过点作 于点；由B、的坐标得 ，则有 ，从而 ；于是求 最小值转化为求 的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接 ，过点P 作 于点G，连接 ，过点作 于点，如图， ， ， ， ， ∴ ， 的最小值为 的长， ∵ ， ，在 中， ， ， 的最小值为 ．故选：． 3（2024·山东校考一模）如图，AB AC  ，  0 15 A ， ，（1，0），D 为射线上一点，一动点P 从出发，运 动路径为A D C   ，在D 上的速度为4 个单位/秒，在D 上的速度为1 个单位/秒，则整个运动时间最少时， D 的坐标为 ． 【答】 15 0, 15         【分析】如图，作D⊥B 于，M⊥B 于M，交于D′．运动时间 4 1 4 AD CD AD t CD     ，由 AHD AOB ∽ △ △ ， 推出 1 4 DH AD  ，可得 1 4 AD CD CD DH    ，推出当C D H ，， 共线且和CM 重合时，运动时间最短． 【详解】如图，作DH AB  于，C M A B  于M ，交于D¢． ∵运动时间 4 1 4 AD CD AD t CD     ，∵AB AC  ，AO BC  ，∴ 1 BO OC  ， ∵ (0, 15) A ，（1，0），AB AC  ，AO BC  ，∴ 2 2 15 1 4 AB AC OA OB     ， ∵ DAH BAO   ， 90 DHA AOB    ，∴ AHD AOB ∽ △ △ ， ∴AD DH AB OB  ，∴ 1 4 DH AD  ，∴ 1 4 AD CD CD DH    ， ∴当，D，共线且和M 重合时，运动时间最短， 2 1 2 1 BC AO AB CM     ，∴ 15 2 CM  ，∴ 2 2 2 2 15 7 4 2 2 AM AC CM              ， ∵ 4 AD MD  ，设MD m  ，则 4 AD m  ，则有： 2 2 49 16 4 m m   ∴ 7 15 30 m  或 7 15 30  （舍去），∴ 14 15 15 AD   ∴ 15 0, 15 D        4．（2023·湖南湘西·统