专题25 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型（解析版）

专题25 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型 将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的 思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型 和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长 度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连 线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造 桥）再也不是问题！ 模型1 将军遛马模型 【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。 【模型解读】已知、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直 线m 上要求P、Q 两点，使得P+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点、B 在直线m 两侧： （2）点、B 在直线m 同侧： m A B C Q P m A B Q P m A B B' E Q P 图1 图2 （1）如图1，过点作∥m,且长等于PQ 长，连接B,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。 （2）如图2，过点作E∥m,且E 长等于PQ 长，作B 关于m 的对称点B’,连接B’E,交直线m 于Q,Q 向左平移 PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。 【最值原理】两点之间线段最短。 例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有 ， 两个工厂， ， 到公路的垂直距离分别为 和 ， ， 之间的水平距离为 ．现需把 厂的产品先运送到公路 上然后再转送到 厂，则最短路线的长是_____ ． 问题探究（2）如图（2）， 和 是腰长为2 的两个全等的等腰直角三角形， ，点 ， 重合，点 ， 重合，将 沿直线 平移，得到 ，连接 m A B Q P ， ．试探究在平移过程中， 是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请 说明理由． 问题解决（3）如图（3），，B 分别是河岸m 一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是 和 ， ， 的水平距离是 ．游客在景点 游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮 沿河航行 到达码头乙，再乘坐大巴到达景点 ．请问码头甲，乙建在何处才能使从 到 的旅游路线 最短，并求出最短路线的长． 【答】（1） （2）存在，最小值为 （3）最短路线长为 【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径 ，再利用矩形的性质，求出 和 的距离，最 后利用勾股定理即可求出最短路径； （2）根据平移的性质可知四边形 和 均为平行四边形，再利用最短路径作法得出 即为最短 距离，最后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出答； （3）根据题意画图可知四边形 为平行四边形，最后根据勾股定理即可求出答． 【详解】解：（1） 如图 （1）， 点 是公路上的一点， 假设先把产品运送到点 处， 再转送到 厂， 作点 关于 的 对称点 ， 连接 ， ， 连接 交于点 ， 则 ， ， 当点 与点 重合时， 取得最小值， 为 的长． 连接 ， 交于点 ， 过点 作 于点 ， 过点 作 ， 垂足为点 ， 则 ， 四边形 是矩形， ， ， 又 ， ， 即最短路线的长是 ．故答为： ． （2） 存在．理由如下，如图 （2）， 过点 作直线 ， 作点 关于直线 的对称点 ， 连接 ， ， 交直线 于点 ， 过点 作 交直线 于点 ， 连接 ， ， ， 则 ． 由平移知 ， ．又 ， 四边形 是平行四边形， ， 由平移知 ， 又 ， 四边形 是平行四边形， 当点 与点 重合时， 最小， 最小值为 的长． 过点 作 交 的延长线于点 ， 则 为等腰直角三角形． ， ， ， 的最小值为 ．故答为：存在，最小值为 ． （3） 如图 （3），设码头乙为点 ， 码头甲为点 ， 连接 ， ， 过点 作 ， 且 ， 作点 关于 的对称点 ， 连接 交 于点 ． 连接 ， 则 ． 是平行四边形， ， 点 ，重合时，旅游路线最短． 过点 作直线 ， 过点 作 于点 ， 则 ， ， ， ， ．故答为：最短路线长为 ． 【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到的知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、 等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径． 例2．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形BD 中，B＝6，D＝4，点E、F 分别是B、D 上的动点， EF B ∥，则F+E 的最小值是 _____． 【答】10 【分析】延长B 到G，使G＝EF，连接FG，证明四边形EFG 是平行四边形，得出E＝FG，得出当点、 F、G 三点共线时，F+E 的值最小，根据勾股定理求出G 即可． 【详解】解：延长B 到G，使G＝EF，连接FG， ∵ ，EF＝G，∴四边形EFG 是平行四边形， ∴E＝FG，∴F+E＝F+FG，∴当点、F、G 三点共线时，F+E 的值最小为G， 由勾股定理得，G＝ ＝ ＝10，∴F+E 的最小值为10，故答为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当、F、G 三 点共线时，F+E 的值最小，是解题的关键． 例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在 边 上左右滑动；若 ，则 的最小值为____________． 【答】 【分析】如图，作G 关于B 的对称点G'，在D 上截取=1，然后连接G'交B 于E，在EB 上截取EF=1，此时 GE+F 的值最小，可得四边形EF 是平行四边形，从而得到G'=EG'+E=EG+F，再由勾股定理求出G'的长，即可 求解． 【详解】解：如图，作G 关于B 的对称点G'，在D 上截取=1，然后连接G'交B 于E，在EB 上截取EF=1，此 时GE+F 的值最小， ∴G'E=GE，G=G'，∵四边形BD 是矩形，∴B∥D，D=B=2∴∥EF， = ∵EF=1， ∴四边形EF 是平行四边形，∴E=F，∴G'=EG'+E=EG+F， ∵B=4，B=D=2，G 为边D 的中点，∴G=G'=1 ∴DG = ′ D+G'=2+1=3，D=4-1=3， ∴ ，即 的最小值为 ．故答为： 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+F 最小时 E，F 位置是解题关键． 例4．（2023 上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形 内接于⊙，线段 在对角线 上运动，若⊙的周长为 ， ，则 周长的最小值是 ． 【答】 / 【分析】过点 作 ，令 ；可推出四边形 为平行四边形，有 ；根据 可知当 时， 周长有最小值 【详解】解：过点 作 ，令 ∵⊙的周长为 ，∴⊙的半径为∴ ∵ 且 ∴四边形 为平行四边形 ∴ 由正方形的对称性可得： ∴ ∴ 故：当 时， 周长有最小值 此时： ∴ 周长的最小值是 故答为： 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当 时， 周长有最 小值是解题关键． 例5．（2023 秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为 的正方形 中将 沿射线 平 移，得到 ，连接 、 ．求 的最小值为______． 【答】 【分析】将△B 沿射线平移到△B′′的位置，连接′E、E、DE，证出四边形BGE 和四边形EGD 均为平行四边形， 根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得′E=E，G=DE，可得E+G= E+ED ′ ，当点′、E、D 在同一直线 时，′E+ED 最小，由勾股定理求出′D 的值即为E+G 的最小值． 【详解】如图，将△B 沿射线平移到△B′′的位置，连接′E、E、DE， B GE D ∵∥ ∥ 且B=GE=D，∴四边形BGE 和四边形EGD 均为平行四边形， E BG ∴∥ ，G=DE，∴E⊥′，由作图易得，点与点′关于E 对称，′E=E， 又∵G=DE，∴E+G= E+ED ′ ，当点′、E、D 在同一直线时，′E+ED 最小， 此时，在Rt D E △′ ′ 中，′B =4 ′ ，B D=4+4=8 ′ ， ′D= ， 即E+G 的最小值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将 两条线段的和转化为同一条线段求解． 例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形 中，对角线 ， 的长分别为， ，将 沿射线 的方向平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为______． 【答】 【分析】连接 与 交于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ，证明 ， ， 得 ，当点 、 、 三点共线时， 的值最小，由勾 股定理求得 便可． 【详解】解：如图所示，连接 与 交于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ， 四边形 是菱形， ， ，由平移性质知， ， ， ， ， ， 当点 、 、 三点共线时， 的值最小， 的最小值为： ，故答为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 模型2 将军过桥（造桥）模型 【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。 【模型解读】 【单桥模型】已知，如图1 将军在图中点处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥 建在何处能使路程最短？ 考虑M 长度恒定，只要求M+B 最小值即可．问题在于M、B 彼此分离，所以首先通过平移，使M 与B 连 在一起，将M 向下平移使得M、重合，此时点落在’位置（图2 ）． 问题化为求’+B 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）． 河 B 军营 A 将军 N M A' 河 B 军营 A 将军 N M A' 河 B 军营 A 将军 N M 图1 图2 图3 【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点处，现要过两条河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建 造，问：桥建在何处能使路程最短？ 图4 图5 图6 考虑PQ、M 均为定值，所以路程最短等价于P+QM+B 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其 连接到一起．P 平移至'Q，B 平移至MB'，化P+QM+B 为'Q+QM+MB'．（如图5） 当'、Q、M、B'共线时，'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、位置．（如图6） 【最值原理】两点之间线段最短。 例1．（2023 浙江八年级期中）同学们已经学过一些平行线的性质，其实平行线的性质还有一些： （1）如图1，如果 ，在上任取一点P，作PQ b ⊥于点Q，则线段PQ 的长度叫，b 之间的距离 如果在上再取一点M，作M b ⊥于点，则线段M 可以看成由线段PQ 平移得到，即M=PQ，这就得到平行线 的又一条性质：平行线间的距离处处相等．根据平移还有哪些线段相等 （2）刚在（1）中提到的平行线性质在河上建桥也有广泛的应用：如图2，直线，b 表示一条河的两岸，且 现在要在这条河上建一座桥．使村庄经桥过河到村庄B．现在由小明、小红两位同学设计： 小明：作D⊥，交于点D，交b 于点． 在D 处建桥 路径是--D-B． 小红：作D⊥，交，b 于点D，点；把D 平移至BE，连E，交b 于G，作GF⊥于F 在FG 处建桥．路径是-G- F-B． 问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由 （3）假设新桥就按小红的设计在FG 处实施建造了，上游还有一座旧桥，凌晨3 点某船从旧桥下到新桥下， 到达后立即返回，来回穿梭于两桥之间，船在静水每小时16 千米，水流每小时4 千米，在当晚23 点时有 人看见船在离旧桥80 千米处行驶求这两桥之间的距离 【答】（1）PM=Q；（2）小红设计的路径较短，理由见解析；（3）200 千米或120 千米或100 千米 【分析】(1)易得PQ M ∥ ，所以可得PM=Q； (2)根据小明的路径=+D+DB，小红的路径=E+EB，由平移可知D=EB，DB=E，在△E 中由两边之和大于第三边， 可得出结论; (3)需要分情况讨论：①船第一次到达新桥后返回距离旧桥80 千米； ②船第一次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80 千米； ③船第二次到达新桥后返回距离旧桥80 千米； ④船第二次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80 千米，这一次计算距离为60 千米，不符合题意 【详解】（1）∵PQ b ⊥，M b ⊥，∴PQ M ∥ ， 则PM 与Q 都为线段PQ 平移的距离, PM=Q ∴ （2）小红设计的路径较短，理由如下： 小明的路径=+D+DB，小红的路径=E+EB，由平移可知D=EB，DB=E，在△E 中+E＞E，所以小红设计的路径短 （3）设两桥之间的距离为x 千米(x>80)，旧桥到新桥为顺水，速度为16+4=20 千米/小时，新桥到旧桥为逆 水，速度为16-4=12 千米/小时,行驶总时长为23-3=20 小时 ①船第一次到达新桥后返回距离旧桥80 千米，由题意得 解得 ②船第一次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80 千米，由题意得 解得 ③船第二次到达新桥后返回距离旧桥80 千米，由题意得， 解得 ④船第二次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80 千米，由题意得， 解得 因为船在两桥之间行驶，故此种情况不存在 综上，两桥间的距离为200 千米或120 千米或100 千米 【点睛】本题考查最短路径设计问题，设计图可作为“造桥模型”记住，第（3）题考查船顺水于逆水航 行问题，需要掌握顺水和逆水的速度计算，分类讨论是解题的关键 例2．（2023 广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在 处角转弯，河宽相同，从 处到达 处， 须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使 到 的路程最短，请确定两座桥的位置． 【答】见解析 【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点 向下平移至点 ，点 向右平移至点 ，构造平行四边形 进行求解即可． 【详解】解：如图所示，将点 向下平移至点 ，使 的长等于河宽，将点 向右平移至点 ，使 的长等于河宽；连接 ，与河岸相交于点 ， ；过点 作 于点D，过点 作 于 点 ，则 ， 即为两桥的位置． ， 【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行 四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． 例3．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有，B 两个村庄，河宽为4 千米，、B 两村庄的直线距离B＝10 千米，、B 两村庄到河岸的距离分别为1 千米、3 千米，计划在河上修建一座桥M 垂直于两岸，M 点为靠 近村庄的河岸上一点，则M+B 的最小值为( ) ．2 B．1+3 ．3+ D． 【答】 【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接B′，与靠近的河岸相交于M，作M 垂直于另一条河岸， 则M BB ∥ ′且M＝BB′，于是MBB′为平行四边形，故MB′＝B；根据“两点之间线段最短”，B′最短，即M+B 最短，此时M+B＝B′． 【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接B′，与靠近的河岸相交于M，作M 垂直于另 一条河岸，则M BB ∥ ′且M＝BB′，于是MBB′为平行四边形，故MB′＝B． 根据“两点之间线段最短”，B′最短，即M+B 最短． B ∵＝10 千米，B＝1+3+4＝8 千米，∴在RT△B 中， ， 在RT△B′中，B′＝1+3＝4 千米，∴B′＝ 千米；故选． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单， 需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前， 往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化． 例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 中， ， ， ， ， ；垂足分别为点F 和E．点G 和分别是 和 上的动点， ，那么 的最 小值为______． 【答】 【分析】过点E 作 交 于点，连接 ．易求出 ， ， ．易证四 边形 为平行四边形，得出 ，即说明当 最小时， 最小．由当点，， 三点共线时， 最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出 ，即得出 ， 即可得出答． 【详解】解：如图，过点E 作 交 于点，连接 ． ∵ 中， ， ，∴ ，∴ ， ∴ ， ．∵ ， ，∴ ． ∵ ，∴四边形 为平行四边形，∴ ．同理可得出 ． ∵ ， ，∴四边形 为平行四边形， ∴ ，∴四边形 为平行四边形， ∴ ，∴ ，∴当 最小时， 最小． ∵当点，，三点共线时， 最小，∴此时 最小，如图， ∵ ，∴ ．∵ ∴四边形 为平行四边形，∴ ， ， ∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ 的最小值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30 度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之 间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点，，三点共线时， 最小，即此时 最小是解题关键． 例5．（2023 山东中考二模）如图，抛物线y=x2+bx+（≠0），经过点（-1，0），B（3，0），（0，3）三 点．(1)求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；(2)连接、B，为抛物线上的点且在第四象限，当S△B=S△B时， 求点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点作直线l∥x 轴，动点P（m，3）在直线l 上，动点Q（m，0）在 x 轴上，连接PM、PQ、Q，当m 为何值时，PM+PQ+Q 最小，并求出PM+PQ+Q 的最小值． 【答】(1)y=-x2+2x+3，顶点M 坐标为（1，4）；(2)点坐标为（4，-5）； (3)当m= 时，PM+PQ+Q 有最小值，最小值为3 +3． 【分析】（1）将点、B、坐标代入解析式，解关于、b、的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得 点M 坐标；（2）设（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点、坐标用含t 的代数式表示出直线解析式，求得与x 轴的交点D 坐标，即可表示BD 的长，根据S△B=S△B，即S△DB+S△BD= B•建立关于t 的方程，解之可得；