专题36 最值模型之逆等线模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题36 最值模型之逆等线模型 最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各 类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试 题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）..............................................................................1 模型2 最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）......................................................................................6 模型3 最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）......................................................................................9 模型4 最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）....................................................................11 模型5 最值模型-加权逆等线模型................................................................................................................14 ...............................................................................................................................................19 模型1 最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线） 逆等线：△B 中，D、E 分别是B、上的动点，且D=E，即逆向相等，则称D 和E 为逆等线。 逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。 条件：如图，在△B 中，∠B＝ ，B=m，=，点D、E 分别是B、上的动点，且D=E，求D+BE 的最小值。 证明思路：① D 在△D 中，以E 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点作F//B，且F=。（构造一边一角，得全等）；③构造出△D △ ≌EF ( SS)；证出EF=D； ④D+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF 即为所求，此时，B、E、F 三点共线； ⑤求BF。构造直角三角形求出BG 和FG，再利用勾股定理求出BF 即可。 例1．（23-24 九年级上·广东广州·期中）在等边三角形 中，边 上的点 从顶点 出发，向顶点 运动，同时，边 上的点 从顶点 出发，向顶点 运动， 两点运动速度的大小相等，设 ， ，y 与x 的函数图象如图，图象过点 ，则图象最低点的纵坐标是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】结合函数图像，当 时， ，求得等边三角形的边长，证明 ，得出 ，当 时， 最小，勾股定理即可求解． 【详解】当 时， ，∵三角形 是等边三角形，∴ , ∵ ，∴ ， ∴ ，当 时， 最小，最小值为 ， ∴ 的最小值为 ，即图象最低点的纵坐标是 ，故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，求得等边三角形的边长是解题的关键． 例2．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△B 中，B==5，B=6，点 D、E 分别是 B、 上两动 点，且 D=E，连接D、BE，D+BE 最小值为 ． 【答】 【分析】过点作∥B，且=B，连接D，由题意易得∠D=∠BE，进而可证△D △ ≌BE，则有D+BE=D+D，当 D+BE 为最小时，即D+D 为最小，当点、D、三点共线时即为最小，连接，交B 于点M，过点M 作M⊥B 于点，点分别作F⊥B 于点F，如图所示，即的长度为D+BE 的最小值，然后可得 ，则有 ， ，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可得如图所示： 过点作∥B，且=B，连接D，如图所示，∴∠D=∠B， ∵B=，∴∠B=∠B，∴∠D=∠BE， ∵D=E，∴△D △ ≌BE（SS），∴D=BE，∴D+BE=D+D， ∴当D+BE 为最小时，即D+D 为最小， ∴当点、D、三点共线时即为最小，连接，交B 于点M，过点M 作M⊥B 于点，点分别作F⊥B 于点F，如 图所示，即的长度为D+BE 的最小值， ∵B==5，B=6，∴BF=F=3，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ， ∴ （S），∴ ， ， ∵F∥M，点M 是B 的中点，∴ ， ∴ ，∴在Rt△M 中， ， ∴ ，∴D+BE 的最小值为 ；故答为 ． 【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键在于构造三角形全等把问题转为两点之 间线段最短进行求解即可． 例3．（23-24 九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， ， 分别是边 ， 上的动点，且 ，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】本题考查了正方形和矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，过 作 ， 使 ，连接 ， ，作 交 延长线于点 ，证明四边形 是正方形，由勾 股定理得 ，然后证明 ，当 ， ， 三点共线时， 有最小值 ，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】过 作 ，使 ，连接 ， ，作 交 延长线于点 ， ∴ ，∴四边形 是矩形，∴ ， ∴四边形 是正方形，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ， ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，即 ， 当 ， ， 三点共线时， 有最小值 ，故答为： ． 例4．（24-25 八年级上·四川成都·期中）如图，在 中， ， ， ，点E 与点D 分别在射线 与射线 上，且 ，则 的最小值为 ， 的最小值为 ． 【答】 【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当 在 上时， 取得最小值，如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ，进而勾股定理即可求解；对 于 ，构造等边三角形，进而即可求解． 【详解】如图所示，过 作 交 的于 ， ∵ ， ， ∴ ∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∴ 如图所示，作 且 ，连接 ， ，∵ ∴ ∴ ∴ ， 当 在 上时， 取得最小值，如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ 在 中， ，∴ ∴ ，即 的最小值为 ； 如图所示，作 关于 的对称点 ，连接 ,则 ∵ 则 ∴ ， ∵对称，∴ ∴ 都是等边三角形，连接 ， ∵ ，∴ ，则 ， 又∵ ∴ ∴ ， ∴ ∴ 是等边三角形，∴ ∴当 在 上时， ， 如图所示 此时 取得最小值，最小值 故答为： ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，线段 最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 模型2 最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线） 条件：已知三角形B 中，B=，B=b，D 为高，E=BF，求F+BE 的最小值。 证明思路：①E 在△BE 中，以BF 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点B 作BG//E，且BG=B=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BE △ ≌GFB ( SS)；证出EB=FG； ④F+BE=F+FG，根据两点之间，线段最短，连接G，则G 即为所求，此时，、F、G 三点共线； ⑤求G。在直角三角形求利用勾股定理求出G 即可。 例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，D 为等边△B 的高，E、F 分别为线段D、上的动点，且E＝F，当BF ＋E 取得最小值时，∠FB＝ ．1125° B．105° ．90° D．825° 【答】B 【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△E △ ≌F，得E＝F，将E 转化为F，与BF 在同一个三角 形中，根据两点之间线段最短，确定点F 的位置，即F 为与B 的交点时，BF+E 的值最小，求出此时∠FB ＝105°． 【详解】解：如图，作⊥B，且＝B，连接B 交D 于M，连接F， △ ∵B 是等边三角形，D⊥B，∴＝B，∠D＝30°，∴＝， ∠ ∵ B＝90°，∠B＝60°，∴∠＝90° 60° ﹣ ＝30°，∴∠D＝∠＝30°， ∵E＝F，∴△E △ ≌F，∴E＝F，BF+E＝BF+F， ∴当F 为与B 的交点时，如图2，BF+E 的值最小， 此时∠FB＝45°，∠FB＝60°，∴∠FB＝105°，故选B． 【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当 BF+E 取得最小值时确定点F 的位置，有难度． 例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形 中， ， ， 于D，M， 分别是线段 ， 上的动点， ，当 最小时， ． 【答】 【分析】在 下方作 ，使 ，连接 ，则 最小值为 ，此时、、 三点在 同一直线上，推出 ，所以 ，即可得到 ． 【详解】解：在 下方作 ，使 ，连接 ． 则 ， ．∴ ， 即 最小值为 ，此时、、 三点在同一直线上． ∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，故答为： ． 【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑 线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰 中， ， 平分 ，点为 上一点，点 M 为 上一点，且 ，若当 的最小值为4 时， 的长度是 ． 【答】4 【分析】由等腰 中， ，可得 ，由 平分 ， 可得 ，如图，作 ，使 ，连接 ，则 ，证明 ，则 ， ， ， 可知当 三点共线时， 最小，即 ，证明 是等边三角形，则 ， 进而可求 ． 【详解】解：∵等腰 中， ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ，如图，作 ，使 ，连接 ， ∴ ，∵ ， ， ， ∴ ，∴ ， ，∴ ， ∴当 三点共线时， 最小，即 ， ∵ ， ，∴ 是等边三角形，∴ ，∴ ，故答为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质 等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是 解题的关键． 模型3 最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线） 条件：已知在 中，∠B=90°，B=，点E、D 是线段B 上的动点，且满足D=BE， 求D+E 的最小值。 证明思路：①BE 在△BE 中，以D 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点作F//B，且F=B=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BE △ ≌DF ( SS)；证出E=FD； ④D+E=D+FD，根据两点之间，线段最短，连接F，则F 即为所求，此时，F、D、三点共线； ⑤求F。在直角三角形求利用勾股定理求出F 即可，或利用全等证明F=B 也可。 例1．（23-24 八年级上·北京朝阳·期末）如图， 中， ， ，D，E 为 边上 的两个动点，且 ，连接 ， ，若 ，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】过点 ， 分别作 的垂线和 的垂线交于点 ，连接 ， ，先证 ，得 ，再证 ，得 ，进而得出 ，当 ， ， 三点不共线 时， ；当 ， ， 三点共线时， ，然后根据直角三角形中， 的角所对 的直角边等于斜边的一半求出 的值，从而得出结果． 【详解】过点 ， 分别作 的垂线和 的垂线交于点 ，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 ， ， 三点不共线时， ；当 ， ， 三点共线时， ． 的最小值是 的长， ， ， ， ， ， ， 的最小值是 ．故答为： ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，正确作出辅助 线找出恰当的全等三角形是解本题的关键． 例2．（23-24 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形 中，对角线 上有两动点E 和F，连 接 和 ，若 ， ， ，则 的最小值是 ． 【答】17 【分析】如图，连接 ， ，由全等三角形判定（ ）可以证得 ，得到 ，进 而得到 ，再根据题意及勾股定理求出 的值，即可得出答． 【详解】解：如图，连接 ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， 为矩形的对角线， ， 是直角三角形， ， ， ， 移项得 ， 配方得 ， ，解得 ，或 ， ， ，故答为：17． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一 元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键． 模型4 最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线） 特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。 条件：已知在矩形BD 中，D=，B=b，点E、F 是边B、BD 上的动点，且满足BE=DF， 求F+E 的最小值。 证明思路：①BE 在△BE 中，以DF 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等； ②即过点作∠FDG=∠BE=90°，且DG=B=b。（构造一边一角，得全等）； ③构造出△BE △ ≌GDF ( SS)；证出E=FG； ④F+E=F+FG，根据两点之间，线段最短，连接G，则G 即为所求，此时，、F、G 三点共线； ⑤求G。先利用相似求出D 和G（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两条线 段的长度），再利用勾股定理求出G 即可。 例1．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形 中， ， ， ， 分别是边 和对角线 上的动点，且 ，则 的最小值为______． 【答】 【分析】在 的下方作 ，截取 ，使得 ，连接 ， ．证明 ， 推出 ， ，根据 求解即可． 【详解】解：如图， 的下方作 ，截取 ，使得 ，连接 ， ． 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为 ，故答为 ． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 例2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形 中， ， ，点 、 分别是边 和对角 线 上的例2．动点，且 ，则 的最小值是 ． 【答】 【分析】设点D 关于 的对称点为G，在 上截取 ，连接 ，可证 ，从而 ，那么 ，、都是固定点，过点作 于点M，结合相似三角形和 勾股定理即可求得， 【详解】如图，设点D 关于 的对称点为G，在 上截取 ，连接 ，过点作 于点 M， ∵四边形 是矩形，∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， 在 中， ，∵ ，∴ ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， 在 中， ，∴ 的最小值是 ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质．这里根据 把 的最小值转 化为 是关键． 例3．（2024·福建南平·一模）如图，在菱形 中， ， ，点E，F 分别在 ， 上，且 ，连接 ， ，则 的最小值为 ． 【答】4 【分析】如图，连接 ，作 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ， ，可得 ， ， ，证明四边形 为平行四边形，可得 ，则 ， 当 三点共线时，此时取等于号， 最小，证明当 三点共线时， 重合，从而可得 答． 【详解】解：如图，连接 ，作 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ， ， ∴ ， ， ，∵菱形 ， ∴ ， ， ， ∵ ， ，∴ ， ， ∴四边形 为平行四边形，∴ ，∴ ， 当 三点共线时，此时取等于号， 最小， ∵菱形 ， ，∴ ， ，∴ 为等边三角形，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ， ∴ ， ，∵ ，∴ ， ∴ 三点共线，∴当 三点共线时， 重合， ∵ ，∴ ，即 最小值为4．故答为4 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质， 作出合适的辅助线是解本题的关键． 模型5 最值模型-加权逆等线模型 条件：已知在 中，∠B= ，B=，=b，点E、D 是线段B、B 上的动点，且满足BE=k D， 求E+k D 的最小值。 证明思路：①D 在△D 中，以BE 为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似； ②即过点B 作∠EBF=∠D=90°，且BF=k =kb。（构造一边一角，得相似）； ③构造出△EBF △ ≌D ( SS)；证出EF=k D； ④E+k D=E+EF，根据两点之间，线段最短，连接F，则F 即为所求，此时，、F、E 三点共线； ⑤求F。先确定∠GBF=∠B= ，再利用三角函数求出BG 和FG，最后利用勾股定理求出F 即可。 例1．（24-25 九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在等边 中， ，E，F 分别是边 、 上的动点，且满足 ，则 的最小值为 ； 【答】 【分析】取 、 的中点 、 ，连接 、 ，则可得 ， ，因此转而求 的最小值；过 作 ，且 ， 连接 、 ，可证明 ，则有 ，进而转化为求 的最小值，当点 在线 段 上时，取得最小值，在 中由勾股定理即可求得最小值，从而求得 的最小值． 【详解】解：如图，取 、 的中点 、 ，连接 、 ， ∵ 是等边三角形， ， ， 根据三角形中位线可得 ，∴ ， 的最小值转化为求 的最小值， 在等边三角形 中， ，∴ ， ， ， ， ， ， ；过 作 ，且 ，连接 、 ， 则 ， ， ， ， 当点 在线段 上时， 取得最小值， 且最小值为线段 的长， ， 在 中，由勾股定理得： ， 的最小值 ．故答为： ． 【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质， 三角形中位线定理，把求 的最小值转化为求 的最小值，进而转化为求 的最小值， 是本题的难点与关键所在． 例2．（24-25 九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ， 、 分别为 、 上的动点，且 ，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，延