专题35 最值模型之费马点模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题35 最值模型之费马点模型 费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考 试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位 不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之 外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三 个顶点距离之和最小的点。 .................................................................................................................................................1 模型1 费马点模型........................................................................................................................................... 1 模型2 加权费马点模型................................................................................................................................. 12 ...............................................................................................................................................20 模型1 费马点模型 结论：如图1，点M 为△B 内任意一点，连接M、BM、M，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时， M+MB+M 的值最小。 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△B 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最 大角的顶点。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°） 证明：如图2，以B 为一边向外作等边三角形△BE，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连接E． △ ∵BE 为等边三角形，∴B＝BE，∠BE＝60°．而∠MB＝60°，∴∠BM＝∠EB． 在△MB 与△EB 中，∵ ，∴△MB △ ≌EB（SS）． 连接M．由△MB △ ≌EB 知，M＝E．∵∠MB＝60°，BM＝B，∴△BM 为等边三角形． ∴BM＝M．∴M+BM+M＝E+M+M．∴当E、、M、四点共线时，M+BM+M 的值最小． 此时，∠BM＝180°﹣∠MB＝120°；∠MB＝∠EB＝180°﹣∠BM＝120°； ∠M＝360°﹣∠BM﹣∠MB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△B 的B、为一边向外作等边△BE 和等边△F，连接E、BF，设交点为M，则 点M 即为△B 的费马点。 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（23-24 九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在 中， ，点 为 内部一点，则点 到 三个顶点之和的最小值是 ． 【答】 【分析】将 绕着点顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，过点作 ，交 的延长 线于，由旋转的性质可得 ， ， ， ， ，易得 是等边三角形，可得 ，进而得到 ，当点、E、P、共线 时， 有最小值 ，再求出 和 的长度，由勾股定理可求解． 【详解】解：将 绕着点顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，过点作 ，交 的 延长线于， ∴ ， ， ， ， ， ∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ， ∴ ，∴当点、E、P、共线时， 有最小值 ． ∵ ， ， ∴ ，∴ ，∴ ． 在 中， ，即点P 到 三个顶点之和的最小值是 ． 故答为： ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角 形的性质，构造旋转图形是本题的关键． 例2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在矩形 中， 是 的中点， 是 边上 一动点，将 沿着 翻折，使得点 落在点 处，矩形内有一动点 连接 则 的最小值为 ． 【答】 【分析】将 绕点D 逆时针旋转 得到 ，连接 ，从而将 转化到 ，当点E、 、P、 、 在同一条直线上时， = 取得最小 值． 【详解】 如图，将 绕点D 逆时针旋转 得到 ，连接 ，则有： 、 是等边三角形， = 由折叠的性质可知， 的运动轨迹是以E 为圆心，EB 长为半径的圆（如图所示），故当E、 、P、 、 在同一直线上时取最小值； 是 的中点， 、 是等边三角形， D=4， ， ， 的最小值为： = = ； 故答为 ． 【点睛】本题考查了图形中求最短距离的问题，解题的关键是把所求线段转化到同一直线中求解． 例3．（23-24 九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知 所在平面内求一点P，使它到三 角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在 1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图 2，把 绕点逆时针旋转 得到 （点P，的对应点分别为点 ， ），连接 ，则 ， ． ∵______，∴ 为等边三角形，∴ ，∴ ， ∴当B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，即点P 是 的“费马点”． 任务：（1 ）横线处填写的条件是______ ；（2 ）当点P 是 的“ 费马点” 时， ______； （3）如图3，△B 中， ， ，E，F 为B 上的点，且 ，判断 之间 的数量关系并说明理由； 【实际应用】图4 所示是一个三角形公，其中顶点，B，为公的出入口， ， ，＝ 4km，工人师傅准备在公内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则 的最小值 是______． 【答】问题背景：（1）见解析；（2） ；（3） ，理由见解析；实际应用； 【分析】问题背景：（1）先证明 为等边三角形，得到 ，则 ， 由此可得当B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，即点P 是 的“费马点”． （2）由旋转的性质可得 ， ，进而利用三角形内角和定理得到 ，再由等边三角形的性质得到 ，则 ， ，即可 利用周角的定义得到 ； （3）将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，利用旋转的性质和等边对等角，得到 ， 为直角三角形，进而得到 ，证明 ，得到 ，即 可得出结论； 实际应用：如图所示，将 绕点逆时针旋转 得到 ，连接 ，由问题背景（1）可得当B， P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，最小值为 ，过点 作 交 延长 线于D，证明 是等腰直角三角形，得到 ，则 ， 利用勾股定理得到 ，则 得最小值为 ． 【详解】解：问题背景：（1）如图2，把 绕点逆时针旋转 得到 （点P，的对应点分别为 点 ， ），连接 ，则 ， ． ∵ ，∴ 为等边三角形，∴ ，∴ ， ∴当B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，即点P 是 的“费马点”． （2）如图2 所示，设 交于，由（1）可得当B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，由旋转的性质可得 ， ，又∵ ，∴ ∵ 为等边三角形，∴ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ，故答为： ； （3） ，理由如下：∵ ， ，∴ ， 如图所示，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 ， 则： ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， 又∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ； 实际应用：如图所示，将 绕点逆时针旋转 得到 ，连接 ， 由问题背景（1）可得当B，P， ， 四点在同一直线上时， 的值最小，最小值为 ， 过点 作 交 延长线于D，由旋转的性质可得 ， ， ∵ ，∴ ，∴ 是等腰直角三角形， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ 得最小值为 ，故答为： ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定， 等腰直角三角形的性质与判定等等，通过旋转构造全等三角形是解题的关键． 例4．（2023 春·重庆·九年级专题练习）背景资料：在已知 所在平面上求一点P，使它到三角形的三 个顶点的距离之和最小这个问题是法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的 点被人们称为“费马点”．如图1，当 三个内角均小于120°时，费马点P 在 内部，当 时，则 取得最小值． (1)如图2，等边 内有一点P，若点P 到顶点、B、的距离分别为3，4，5，求 的度数，为了解 决本题，我们可以将 绕顶点旋转到 处，此时 这样就可以利用旋转变换，将三 条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 _______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三 角形并连接等边三角形的顶点与 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下 问题．(2)如图3， 三个内角均小于120°，在 外侧作等边三角形 ，连接 ，求证： 过 的费马点．(3)如图4，在 中， ， ， ，点P 为 的费马 点，连接 、 、 ，求 的值．(4)如图5，在正方形 中，点E 为内部任意一点， 连接 、 、 ，且边长 ；求 的最小值． 【答】(1)150°；(2)见详解；(3) ；(4) ． 【分析】（1）根据旋转性质得出 ≌ ，得出∠BP=∠P′，∠PB=∠P′，P=P′=3，BP=P′=4，根据 △B 为等边三角形，得出∠B=60°，可证△PP′为等边三角形，PP′=P=3，∠P′P=60°，根据勾股定理逆定理 ，得出△PP′是直角三角形，∠PP′=90°，可求∠P′=∠PP+∠PP=60°+90°=150° 即可； （2）将△PB 逆时针旋转60°，得到△B′P′，连结PP′，根据△PB≌△B′P′，P=P′，PB=PB′，B=B′，根据 ∠PP′=∠BB′=60°，△PP′和△BB′均为等边三角形，得出PP′=P，根据 ，根据 两点之间线段最短得出点，点P，点P′，点B′四点共线时， 最小=B′，点P 在B′上即可； （3）将△PB 逆时针旋转60°，得到△P′B′，连结BB′，PP′，得出△PB △ ≌P′B′，可证△PP′和△BB′均为等边 三角形，得出PP′=P，BB′=B，∠BB′=60°，根据 ，可得点，点P，点P′，点 B′四点共线时， 最小=B′，利用30°直角三角形性质得出B=2=2，根据勾股定理B= ，可求BB′=B=2，根据∠BB′=∠B+∠BB′=30°+60°=90°，在Rt△BB′中，B′= 即可； （4）将△BE 逆时针旋转60°得到△E′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥B，交B 延长线于F，得出 △BE≌△E′B′，BE=B′E′，E=E′，B=B′，可证△EE′与△BB′均为等边三角形，得出EE′=E，BB′=B， ∠B′B=60°， ，得出点，点E，点E′，点B′四点共线时， 最小=B′，根据四边形BD 为正方形，得出B=B=2，∠B=90°，可求 ∠FBB′=180°-∠B-∠BB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF= ，勾股定理 BF= ，可求F=B+BF=2+ ，再根据勾股定理B′= 即可． 【详解】（1）解：连结PP′，∵ ≌ ，∴∠BP=∠P′，∠PB=∠P′，P=P′=3，BP=P′=4， △ ∵B 为等边三角形，∴∠B=60° ∠ ∴ PP′=∠P+∠P′=∠P+∠BP=60°， △ ∴PP′为等边三角形，,∴PP′=P=3，∠P′P=60°，在△P′P 中，P=5， ， △ ∴PP′是直角三角形，∠PP′=90°，∴∠P′=∠PP+∠PP=60°+90°=150°， ∠ ∴ PB=∠P′=150°，故答为150°； （2）证明：将△PB 逆时针旋转60°，得到△B′P′，连结PP′，∵△PB≌△B′P′，∴P=P′，PB=PB′，B=B′， ∠ ∵ PP′=∠BB′=60°，∴△PP′和△BB′均为等边三角形，∴PP′=P， ∵ ，∴点，点P，点P′，点B′四点共线时， 最小=B′， ∴点P 在B′上，∴ 过 的费马点． （3）解：将△PB 逆时针旋转60°，得到△P′B′，连结BB′，PP′， △ ∴PB △ ≌P′B′，∴P′=P，B′=B， ∠ ∵ PP′=∠BB′=60°，∴△PP′和△BB′均为等边三角形，∴PP′=P，BB′=B，∠BB′=60°， ∵ ∴点，点P，点P′，点B′四点共线时， 最小=B′， ∵ ， ， ，∴B=2=2，根据勾股定理B= ∴BB′=B=2， ∠ ∵ BB′=∠B+∠BB′=30°+60°=90°，∴在Rt△BB′中，B′= ∴ 最小=B′= ； （4）解：将△BE 逆时针旋转60°得到△E′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥B，交B 延长线于F， △ ∴BE △ ≌E′B′，∴BE=B′E′，E=E′，B=B′， ∠ ∵ EE′=∠BB′=60°，∴△EE′与△BB′均为等边三角形，∴EE′=E，BB′=B，∠B′B=60°， ∵ ， ∴点，点E，点E′，点B′四点共线时， 最小=B′， ∵四边形BD 为正方形，∴B=B=2，∠B=90°，∴∠FBB′=180°-∠B-∠BB′=180°-90°-60°=30°， ∵B′F⊥F，∴BF= ，BF= ， ∴F=B+BF=2+ ，∴B′= ，∴ 最小=B′= ． 【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间 线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾 股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题 关键． 例5．（2024·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形BD 的四个顶点上， 公里， 公里， 现在要设立两个车站E，F，则 的最小值为______公里． 【答】15+10 【分析】将△EB 绕顺时针旋转60°得△G，连接B、EG，将△DF 绕点D 逆时针旋转60°得到△DF'M，连接 M、FM、FF'，如图2，此时E、EF、FM 共线，E+EB+EF+F+FD 是最小值，利用旋转的性质和等边三角 形的性质，相加即可得出结论． 【详解】解：如图1，将△EB 绕顺时针旋转60°得△G，连接B、EG，将△DF 绕点D 逆时针旋转60°得到 △DF'M，连接M、FF'， 由旋转得：B=，E=G，∠EG=∠B=60°，BE=G， △ ∴EG 和△B 是等边三角形，∴E=EG， 同理得：△DFF'和△DM 是等边三角形，DF=FF'，F=F'M， ∴当、G、E、F、F'、M 在同一条直线上时，E+EB+EF+F+FD 有最小值，如图2， ∵=B，DM=M，∴M 是B 和D 的垂直平分线，∴M⊥B，M⊥D， ∵B=10，∴△B 的高为5 ， ∴E+EB+EF+F+FD=EG+G+EF+FF'+F'M=M=15+5 +5 =15+10 ， 则E+EB+EF+F+FD 的最小值是（15+10 ）公里．故答为：（15+10 ）． 【点睛】本题考查了矩形的性质和最短路径问题，旋转的性质和等边三角形的性质，确定最小值时点E 和 F 的位置是本题的关键，利用全等、勾股定理求其边长，从而得出结论． 模型2 加权费马点模型 结论：点P 为锐角△B 内任意一点，连接P、BP、P，求xP+yBP+zP 最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP 不变，xP+yBP+zP= y( x y AP+BP+ z y CP) ，如图，B、P、P2、2四点共线时，取得最小值。 例1．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形 和矩形 中， ， ， , ．矩形 绕着点旋转，连接 ， ， ， ． (1)求证： ；(2)当 的长度最大时，①求 的长度；②在 内是否存在一点P，使得 的值最小?若存在，求 的最小值；若不存在，请说明理由． 【答】(1)见解析(2)① ；②存在，最小值是 【分析】（1）根据矩形的性质，先证 ，利用相似三角形的性质准备条件，再证 即可；（2）①先确定当 在矩形 外，且 三点共线时， 的长度最大，并画 出图形，在 中求出 的长，最利用 的性质求解即可；②将 绕着点顺时针旋转 ,且使 ，连接 ，同理将 绕着点顺时针旋转 ,得到 , 且使 ，连接 ， 过P 作 于S，过点L 作 垂直 的延长线于点Q，确定 ，当、P、K、L 四点共线时， 的长最小，再根据 直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ，∴ ， ∵矩形 和矩形 ，∴ ， ， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， ， 即 ， ，∴ （2）∵ ，∴当 在矩形 外，且 三点共线时， 的长度最大，如图所示： 此时 ， ， ①∵ ， ，∴ ， ， 在 中， ， ， ∴ ，由（1）得： ， ∴ ， 即 ，∴ ； ②如图，将 绕着点顺时针旋转 ,且使 ，连接 ，同理将 绕着点顺时针旋转 ,得到 , 且使 ，连接 ， 由旋转可得： ，∴ ，∴ ，∴ , 过P 作 于S，则 ， ， ∴ ，则 ， ∴ ，∴ ， ∵ ，即 ，当、P、K、L 四点共线时， 的长最小， 由题意， ， ， ， ， 过点L 作 垂直 的延长线于点Q， ， ∴ ， ，则 ， 在 中，根据勾股定理得 ，∴ 的最小值为 【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解 直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与 联系，适当添加辅助线是解答的关键 例2．（2024·重庆·二模）已知 中 ，点 和点 是平面内两点，连接 ， 和 ， ． (1)如图1，若 ， ， ，求 的长度；(2)如图2，连接 和 ，点 为 中点，点 为 中点，连接 和 ，若 ，求证： ；(3)若 ， ，当 取得最小值，且 取得最大值时，直接写出 的面积． 【答】(1) (2)见解析(3) 【分析】（1）过点 作 交 于点 ，证明 即可求解； （2）取 的中点 ，连接 ，根据中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半， 得出 ，再证明 ，得出 ，进而即可得证； （3）将 绕点 顺时针转 得到 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ， 根据 ，当 四点共线时， 最小，进而确定 的位置， 根据点 在 为圆心， 为半径的圆上运动，由点到圆上的距离关系，得出当