专题37 最值模型之瓜豆模型（原理）直线解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题37 最值模型之瓜豆模型（原理）直线 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该 压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型 的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原 理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 瓜豆原理（模型）（直线轨迹）.......................................................................................................1 ............................................................................................................................................... 11 模型1 瓜豆原理（模型）（直线轨迹） 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的 轨迹相同。 只要满足： 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定 角 3、两动点到定点的距离比值是定 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹 长度的比和它们到定点的距离比相同。 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在 直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型1）如图，P 是直线B 上一动点，是直线B 外一定点，连接P，取P 中点Q，当点P 在直线上运动时， 则Q 点轨迹也是一条直线。 P Q A B C N C B A Q P M 证明：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中， 因为P=2Q，所以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 模型2）如图，在△PQ 中P=Q，∠PQ= 为定值，当点P 在直线B 上运动时，则Q 点轨迹也是一条直线。 证明：在B 上任取一点P1，作三角形△P1Q1，且满足∠P1Q1= ，Q1=P1，连结Q1Q 交B 于点， ∵P=Q，Q1=P1，∠P1Q1=∠PQ= ， ，∴∠PP1=∠QQ1， ∠ ∵ MP=∠MQ，∴∠MQ=∠PQ= ，即Q 点所在直线与B 的夹角为定值，故Q 点轨迹是一条直线． 当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）； ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线） 为其他已知轨迹的线段求最值。 例1．（2024·山东泰安·校考一模）如图，矩形 的边 ，E 为 上一点，且 ，F 为 边上的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则 的最小值为（ ） ． B． ．3 D． 【答】B 【分析】过点G 作G⊥B 于，过点G 作M∥B，由“S”可证△GE △ ≌EF，可得G＝E＝1，可得点G 在平行B 且到B 距离为1 的直线M 上运动，则当F 与D 重合时，G 有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G 作G⊥B 于，过点G 作M∥B， ∵四边形BD 是矩形，B＝ ，B＝3，∴∠B＝90°，D＝ ，D＝3， ∵E＝1，∴BE＝ ，∵∠GE＝∠＝∠GEF＝90°， ∠ ∴ GE＋∠EG＝90°，∠GE＋∠FE＝90°，∴∠EG＝∠FE， 又∵GE＝EF，∴△GE △ ≌EF（S），∴G＝E＝1， ∴点G 在平行B 且到B 距离为1 的直线M 上运动， ∴当F 与D 重合时，G 有最小值，此时F＝E＝3， ∴G 的最小值＝ ，故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G 的运动轨迹是本题的关键． 例2．（2024·河北邢台·模拟预测）如图， 是边长为2 的等边三角形，点E 为中线BD上的动点．连 接CE，将CE绕点顺时针旋转60°得到CF．连接 ，则 ，连接 ，则 周长的最小值 是 ． 【答】 【分析】证明 可得 ，得到点 在射线 上运动，如图所示， 作点 关于 的对称点 ，连接 ，可得当 三点共线时， 取最小值，即 ，由 得到 ，即得 ，进而由勾 股定理得 ，据此即可求解． 【详解】解：∵ 为等边三角形， 为高 上的动点， ， ∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ， ， ， ， ，∴点 在射线 上运动， 如图所示，作点 关于 的对称点 ，连接 ， 设 交 于点 ，则 ，在 中， ，则 ， 当 三点共线时， 取最小值，即 ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ 周长的最小值为 ，故答为： ； ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，两点之 间线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 例3．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四边形 为矩形，对角线 与 相交于点 ，点 在边 上，连接 ，过 做 ，垂足为 ，连接 ，若 ， ，则 的最小值 为 ． 【答】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含 直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，先根 据面积法可计算 的长为 ，根据三角形的三边关系可得： 是一个定点， 的轨迹为 中垂线上 的一部分，所以垂线段最短，可知 的长是 的最小值，最后由等边三角形三线合一的性质可得结论． 【详解】解： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是一个定点， 的轨迹为 中垂线上的一部分，如下图所示，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，所以垂线段最短，则 的最小值为 的值， ， ， ， 中， ， ， ， ， ， 即 的最小值为 ．故答为： ． 例4．（2023·安徽·合肥三模）如图，在Rt△B 纸片中，∠B＝90°，＝4，B＝3，点D，E 分别在B，B 边上， 连接DE，将△BDE 沿DE 翻折，使点B 落在点F 的位置，连接F，若四边形BEFD 是菱形，则F 的长的最 小值为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】连接BF 交ED 于点0，设EF 与交于点G．根据菱形的性质可得点F 在∠B 的平分线上运动，从而 得到当F⊥BF 时，F 的长最小．再证明△BE∽△BF，可得 ，再证明△GE∽△B， ，从而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接BF 交ED 于点，设EF 与交于点G． ∵四边形BEFD 是菱形，∴BF 平分∠B，∴点F 在∠B 的平分线上运动， ∴当F⊥BF 时，F 的长最小．在菱形BEFD 中，BF⊥ED，B=F，EF∥B， ∴E∥F，∴△BE∽△BF，∴ ，∴ ， 在 中，=4，B=3，∴B=5，∴BE=E=25， ∵F⊥BF，∴EF=25，∵EF∥B，∴△GE∽△B， ∴ ，∴ ，∴GF=EF-EG=1， ∠ ∵ GF=∠GE=90°，∴ ．故选： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角 形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点F 在∠B 的平分线上运动是解题的关键． 例5．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形 中， ， ，点P 在线段 上运动（含 B，两点），连接 ，以点为中心，将线段 逆时针旋转 到 ，连接 ，则线段 的最小值为 【答】 / / 【分析】如图，以 为边向右作等边 ，作射线 交 于点E，过点D 作 于．利用全等 三角形的性质证明 ，推出 ，推出点Q 在射线 上运动，求出 ，可得结论． 【详解】解：如图，以 为边向右作等边 ，作射线 交 于点E，过点D 作 于． ∵四边形 是矩形，∴ ，∵ 都是等边三角形， ∴ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ，∴点Q 在射线 上运动， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ．据垂线段最短可知，当点Q 与重合时， 的值最小，最小值为 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形 等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q 的在射 线 上运动． 例6．（2024·重庆模拟预测）如图，在平面直角坐标系中， 是直线 上的一个动点，将 绕点 逆时针旋转 ，得到点 ，连接 ，则 最小值为______． 【答】 【分析】设 ，作 轴，作 ，作 ，根据 可证明 ，由此 可求 ，令 ， ，可得 在直线 上运动，当 时， 的值最小，再由 得 ，进而得出 ，即可得出答． 【详解】设 ，过点 作 轴，过点 作 交于 点，过点 作 交于 点， ∵ ，∴ ∵ ，∴ ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ，∴ ， 令 ， ，∴ ， ∴点 在直线 上运动，当 时， 的值最小 在 中，令 ，则 ，令 ，则 ，∴ ， ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ， 在 中，令 ，则 ，∴ ，∴ ∵ ，即 ，解得 ，所以 的最小值为 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，确定点 的运 动轨迹是解题的关键． 例7．（2024·广东·九年级校考期中）如图， 中， ， ， ，点E 是边 上一点，将 绕点B 顺时针旋转 到 ，连接 ，则 长的最小值是（ ） ．2 B．25 ． D． 【答】B 【分析】取 的中点为点D，连接 ，过点D 作 ，垂足为，在 中，利用含30 度角的 直角三角形的性质可求出 的长， 的度数，再根据线段的中点定义可得 ，从 而可得 ，然后利用旋转的性质可得： ， ，从而利用等式的性质可得 ，进而利用 证明 ，最后利用全等三角形的性质可得 ，再根据 垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取 的中点为点D，连接 ，过点D 作 ，垂足为，∴ ， ∵ ， ， ，∴ ， ∵点D 是 的中点，∴ ，∴ ， 由旋转得： ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， 当 时，即当点E 和点重合时， 有最小值，且最小值为25， ∴ 长的最小值是25，故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图 形添加适当的辅助线是解题的关键． 1．（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形 中， ， ， ， 是边 上一 点，且 ， 是边 上的一个动点，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，连接 、 ， 则 的最小值是（ ） ．4 B． ． D． 【答】 【分析】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知 识．取 的中点 ．连接 ， ， ，作 交 的延长线于 ．利用全等三角形的性质证 明 ，点 的运动轨迹是射线 ，由“ ”可证 ，可得 ，推出 ，求出 即可解决问题． 【详解】解：如图，取 的中点 ．连接 ， ， ，作 交 的延长线于 ， ， ， ， 点 是 的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 的运动轨迹是射线 ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， 的最小值为 ，故选：． 2．（2024·湖南长沙·一模）如图，矩形 中， ，F 是 上一点，E 为 上一点，且 ，连接 ，将 绕着点E 顺时针旋转 到 的位置，则 的最小值为 ． 【答】 / 【分析】将线段 绕点E 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，设 交 于．证明 ，根据垂线段最短计算即可． 【详解】解：如图，将线段 绕点E 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，设 交 于． ∵四边形 是矩形， ， ， ， ∴ ， ， ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， 在 和 中，∵ ，∴ ∴ ， ∴点G 的在射线 上运动，∴当 时， 的值最小， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ 的最小值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，垂线段最短， 熟练掌握相应的知识是解题的关键． 3．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在矩形 中， ， ，点 为矩形对角线 上一动点， 连接 ，以 为边向上作正方形 ，对角线 交于点 ，连接 ，则线段 的最小值为 【答】 【分析】作 于点 则 由正方形的性质得 所以 取 的中点 连接 以点 为圆心 为半径作 则点 、点 都在 上, 所以 可知点 在过点 且与直线 所交成的锐角为 的直线上运动，则当 时，线段 的值最小，此时 由矩形的性质得 ， 则 由 得 所以 于是得到问题的 答． 【详解】如图，作 于点 ，则 ∵四边形 是正方形， ∴ 且 取 的中点 连接 以点 为圆心 为半径作 ， ∴点 、 点 都在 上， ∴点 在过点 且与直线 所交成的锐角为 的直线上运动， ∴当 时，线段 的值最小，如图 ， 则 ∵点 、点 都在以 为直径的圆上， ， ， ∵四边形 是矩形， ， ， ∴ 的最小值为 故答为： ． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角 形、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．（2023 上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知 ，B 为 上一点， 于，四 边形 为正方形，P 为射线 上一动点，连接 ，将 绕点顺时针方向旋转 得 ，连接 ， 若 ，则 的最小值为 ． 【答】 / 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合 应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解 答．连接 ，依据 构造全等三角形，即 ，将 的长转化为 的长，再依据垂线段最 短得到当 最短时， 亦最短，根据 ， ，即可求得 的长的最小值． 【详解】解：如图，连接 ， 由题意可得， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ，∴ ， 当 时， 最短，此时 也最短， ∵ ， ，∴ ，∴ ∴ ， ∴当 时， ，∴ 的最小值为 ．故答为： ． 5．（2023 上·陕西渭南·九年级统考期中）如图，在矩形 中， ，点 为边 的中点，连接 ．点 是边 上一动点，点 为边 的中点，连接 ．当 时， 的最小值是 ． 【答】 【分析】取 的中点 ，连接 ，作 于点 ，根据四边形 为矩形， 得 ，根据点 为边 的中点，点 为 的中点，得 ， ，可得 ，根据 得四边形 为平行四边形，则 ，根据 得 与 的交 点为 的中点，根据 为 的中点，得 过点 ，即点 在线段 上随点 运动而运动，当 时有最小值，则 即为所求，根据勾股定理得 ，根据 得 ，根 据 得 ，则 ，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，取 的中点，连接 ，作 于点 ， ∵四边形 为矩形， ，∴ ，∵点 为边 的中点，点为 的中点， ∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴四边形 为平行四边形，∴ ， ∵ ，∴ 与 的交点为 的中点，∵G 为 的中点， ∴ 过点G，即点G 在线段 上随点F 运动而运动，当 时有最小值，则 即为所求， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，故答为： ． 【点睛】本题考查了线段最小值，矩形的性质，垂线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行 四边形的性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 6．（2023 上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点是y 轴上 一动点，设其坐标为 ，线段 绕点逆时针旋转 至线段 ，则点B 的坐标为 ，连接 ，则 的最小值是 ． 【答】 【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是 正确寻找点 的运动轨迹，属于中考常考题型． 设 ，过点 作 轴，垂足为点 ，证明 ，推出 ，可得 点 的坐标为 ，推出点 的运动轨迹是直线 ，根据垂线段最短解决问题即可． 【详解】设 ，过点 作 轴，垂足为点 ， ∵线段 绕着点 按逆时针方向旋转 至线段 ， ∵点 ，点 ，∴点 的坐标为 ，∴点 的运动轨迹是直线 ， ∵直线 交 轴于 ，交 轴于 ， 过点 作 于 ．则 ， 根据垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 的值最小，最小值为 ，故答为： ； ． 7．（2024·山东校考一模）如图，正方形 中， ，点E 为边 上一动点，将点绕点E 顺时针 旋转 得到点F，则 的最小值为__________． 【答】 【分析】 上截取 ，过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ， 是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解． 【详解】如图， 上截取 ，过点 作 交 的延长线于点 ， 正方形 中， ，将点绕点E 顺时针旋转 得到点F， 是等腰直角三角形 , 在射线 上运动， 则 是等腰直角三角形， 与 点重合时， 取得最小值，等于 即 的最小值为 故答为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得 的轨迹是解题的关键． 8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，在矩形 中， ， ，点 为边 上的动点，连 接 ，过点 作 ，且 ，连接 ，则线段 长度的最小值为______． 【答】 【分析】如图：在 取一点T 使得 ，连接 ，在 上取一点K，使得 ，连接 ，利用全等三角形的性质证明 ，由矩形的性可得 、 ，进而推出点F 在射线 上运动，当 时 值最小． 【详解】解：如图：在 取一点T 使得 ，连接 ，在 上取一点K，使得 ，连接 ∵ ∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ∴ , ∵矩形 中， ， ∴ ， ∵ ,∴ ，∴ , 点F 在射线 上运动，当 时， 的值最小，最小值为 ． 故答为 ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全