专题34 最值模型之阿氏圆模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题34 最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化 归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆 问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 阿氏圆模型........................................................................................................................................... 1 ...............................................................................................................................................12 模型1 阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点、B，动点P 满足 P/PB=k（k 为常数，且k≠1）），那 么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆， 简称为阿氏圆。 A B P O 如图 1 所示，⊙的半径为 r，点 、B 都在⊙ 外，P 为⊙上一动点，已知r=k·B（即 ）， 连接P、 PB，则当“P+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段B 上截取使=k·r（即 ），∵ ，∴ ， ∠ ∵ P=∠BP，∴△P∽△BP，∴ ，即k·PB=P。 故本题求“P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值。 其中与与为定点，P 为动点，故当、P、三点共线时，“P+P”值最小，如图3 所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在 于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一 内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024·安徽合肥·二模）在 中， ，点D 是平面上一点，且 ， 连接 ，则下列说法正确的是（ ） ． 长度的最大值是9 B． 的最小值是 ． D． 面积的最大值是40 【答】B 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、勾股定理、点和圆的位置关系等知识，牢记相关性质是解题 关键，根据点和圆的位置关系直接判断、、D，根据相似三角形判定与性质及勾股定理、两点之间线段最 短判断B 即可． 【详解】解：、 ，点D 是平面上一点，且 ， 点、、D 在同一直线上且D 在 延长线上时， 长度的最大值是 ，故本选项不符合题意； B、在 上取点E，使 ，连接 ， 当B、D、E 共线时 最小， 此时， ，故本选项符合题意； 、 点D 是平面上一点，且 ， 点在以点为圆心，4 为半径的圆上， 随着点D 的变化而变化，故本选项不符合题意； D、 点在以点为圆心，4 为半径的圆上， 如下图，当 所在直线垂直于 时， 面积的最大， 在 中， ， ， ， ， ， ， 面积的最大值是44，故本选项不符合题意；故选：B． 例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方BD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动 点，则 的最大值为_______． A B C D P 【答】 【解析】当P 点运动到B 边上时，此时P=3，根据题意要求构造 ，在B 上取M 使得此时PM= ，则 在点P 运动的任意时刻，均有PM= ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD，对于△PDM， PD-PM＜DM，故当D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值 ． A B C D P M M P D C B A A B C D P M M P D C B A 例3（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4 的正方形，内切圆记为⊙，P 是⊙上一动点，则 P＋ PB 的最小值为________． 【答】 【分析】 P＋PB＝ （P＋ PB），利用相似三角形构造 PB 即可解答． 【详解】解：设⊙半径为r， P＝r＝ B＝2，B＝ r＝2 ，取B 的中点，连接P，∴＝B＝ ， ∵ ， ，∴ ，∠是公共角，∴△BP∽△P， ∴ ，∴P＝ PB，∴P＋ PB＝P＋P， ∴当、P、在一条直线上时，P＋ PB 最小，作E⊥B 于E， ∠ ∵ B＝45°，∴E＝BE＝ B＝1，∴E＝B−BE＝3， ∴＝ ，∴P＋ PB 最小值＝＝ ， ∵ P＋PB＝ （P＋ PB），∴ P＋PB 的最小值是 ＝ ．故答是 ． 【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形． 例4．（2024·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M、点，⊙半径为 3，点（0，1），点B（2，0），点P 在弧M 上移动，连接P，PB，则3P+PB 的最小值为 ___． 【答】 【分析】如图，在y 轴上取一点（0,9），连接P, 根据 ，∠P 是公共角，可得△P∽△P，得 P=3P，当B,,P 三点共线时，3P+PB 的值最小为B，利用勾股定理求出B 的长即可得答． 【详解】如图，在y 轴上取一点（0,9），连接P, ⊙ ∵ 半径为3，点（0，1），点B（2，0），∴P=3，=1，B=2，=9, ∵ ，∠P 是公共角，∴△P∽△P，∴P=3P， ∴3P+PB=P+PB,∴当B,,P 三点共线时，3P+PB 最小值为B, ∴B= = = ，∴3P+PB 的最小值为 ．故答为： 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解、P、B 三点在同一条直线上时 3P+PB 有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在 中， ， ， ， 在以 为圆 心3 为半径的圆上，则 的最小值为 ． 【解答】解：在 上取点 ，使 ， ， ， ， ， ， ， 在 延长线上取 ， ，则 ， 又 ， ， ， ， ， 当 为 和圆的交点时 最小，即 最小，且值为 ， ， 的最小值为 ，故答为： ． 例6．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中， ， ， ， 、 分别是边 、 上的两个动点，且 ， 是 的中点，连接 ， ，则 的最小值为 ． 【答】 【解答】解：如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为 例7．（2024·福建·校考一模）如图，在边长为6 的正方形 中，M 为 上一点，且 ，为边 上一动点．连接 ，将 沿 翻折得到 ，点P 与点B 对应，连接 ，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】由折叠的性质可得，点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，在线段 上取一点 ，使得 ，利用相似三角形的性质得到 ，从而得到 ， 当且仅当 三点共线时，取得最小值 ，即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∴点 在以 为圆心，以 为半径的圆上， 在线段 上取一点 ，使得 ，则 ∵ ， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 如下图所示，当且仅当 三点共线时，取得最小值 ，∴ 的最小值为： 例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PB 中，已知P=2，B=4，Q 为B 上一点且 Q=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形BD 的边长为4，⊙的半径为2，点P 是⊙上 的一个动点，求2P+PB 的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形BD 的边长为4，∠=60°，⊙的半径 为2，点P 是⊙上的一个动点，求2P−PB 的最大值． 【答】（1）见解析；（2）10；（3） 【分析】（1）证明△PQ∽△BP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ； （2）在B 上取一点Q，使得Q=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点、P、Q 三点共线时，P+PQ 的值最小， 再利用勾股定理即可求得2P+PB 的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P 在Q 交⊙的点 P′时，P−PQ 的值最大，再利用勾股定理即可求得2P−PB 的最大值． 【详解】解：（1）证明：∵P=2，B=4，Q=1，∴P2=Q⋅B=4．∴ ． 又∵∠=∠，∴△PQ∽△BP．∴ ．∴PB=2PQ； （2）如图，在B 上取一点Q，使得Q=1，连接P，PQ，Q． ∴P=2，B=4，Q=1．由（1）得PB=2PQ，∴2P+PB=2P+2PQ=2(P+PQ)． ∵P+PQ≥Q，∴当点、P、Q 三点共线时，P+PQ 的值最小． ∵Q= =5，∴2P+PB=2(P+PQ)≥10．∴2P+PB 的最小值为10． （3）如图，在B 上取一点Q，使得Q=1，连接P，PQ，Q，延长Q 交⊙于点P′，过点作垂直B 的延长线 于点．易得P=2，B=4，Q=1． 由（1）得PB=2PQ，∴2P−PB=2P−2PQ=2(P−PQ) ， ∵P−PQ≤Q，∴当点P 在Q 交⊙的点P′时，P−PQ 的值最大． ∵Q= = ，∴2P−PB=2(P−PQ)≤2 ．∴2P−PB 的最大值为2 ． 【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线 段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为 两点之间线段最短解决． 例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点 ． (1)求直线 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三 角形?若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点 为圆心，画半径为2 的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值． 【答】(1)直线 的解析式为 ；抛物线解析式为 (2)存在，点M 的坐标为 或 或 (3) 【分析】（1）根据对称轴 ， ，得到点及B 的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当 时，求出直线 的解析式为 ，解 方程组 ，即可得到点M 的坐标；②当 时，求出直线 的解析式为 ， 解方程组 ，即可得到点M 的坐标；（3）在 上取点 ，使 ，连接 ，证得 ，又 ，得到 ，推出 ，进而得到当点、P、F 三点共线时， 的值最小，即为线段 的长，利用勾股定理求出 即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴 ， ，∴ ， 将 代入直线 ，得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ； 将 代入 ，得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）存在点 ，∵直线 的解析式为 ，抛物线对称轴 与 轴交于点 ． ∴当 时， ，∴ ， ①当 时，设直线 的解析式为 ，将点坐标代入， 得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ， 解方程组 ，得 或 ，∴点M 的坐标为 ； ②当 时，设直线 的解析式为 ，将 代入， 得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ， 解方程组 ，解得 或 ，∴点M 的坐标为 或 综上，点M 的坐标为 或 或 ； （3）如图，在 上取点 ，使 ，连接 ， ∵ ，∴ ，∵ ，、∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ，即 ， ∴ ，∴当点、P、F 三点共线时， 的值最小，即为线段 的长， ∵ ，∴ ，∴ 的最小值为 ． 【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质， 勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键． 1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形 中，已知 ， ，E 为 边上一动点，将 沿 翻折到 的位置，点与点F 重合，连接 ，则 的最小值为（ ） ． B． ．4 D． 【答】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关 键．在 上取点G，使 ，连接FG，DG，证明 ，可得出 ，则 ，当 、 、 三点共线时， 最小，在 中，利用勾股定 理求出 即可． 【详解】解：如图，在 上取点G，使 ，连接 ， ． 沿 边翻折到 ， ，又 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ，当 、 、 三点共线时， 最小， 在 中， ， ， ， ，即 的最小值为 ． 2．（2024 年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形 中 ， ，点 是矩形 内部一个 动点，且 ，连接 ，则 三分之二 的最小值为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据题意可得：点 在以 为圆心， 为半径的圆弧上运动，在 上取一点 ，使 ，连 接 ，由矩形的性质可得 ， ，推出 ，证明 ，得到 ，推出 ，即当 、 、 共线时， 取最小值，最小值为 ， 最后根据勾股定理求出 ，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：点 在以 为圆心， 为半径的圆弧上运动，在 上取一点 ，使 ， 连接 ， 矩形 中， ， ， ， ， ， ， ，又 ， ， ， ， ， 当 、 、 共线时， 取最小值，最小值为 ， ，故选:B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理，线段和最短问题，解 题的关键是正确作出辅助线． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形 中，已知 ， ，E 为 边上一动点，将 沿 翻折到 的位置，点与点F 重合，连接 ，则 的最小值为（ ） ． B． ．4 D． 【答】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关 键．在 上取点G，使 ，连接FG，DG，证明 ，可得出 ，则 ，当 、 、 三点共线时， 最小，在 中，利用勾股定 理求出 即可． 【详解】解：如图，在 上取点G，使 ，连接 ， ． 沿 边翻折到 ， ，又 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 当 、 、 三点共线时， 最小，在 中， ， ， ， ，即 的最小值为 ．故选：D． 4．（2024·山东泰安·二模）如图，在 中， ， ， ，以 为圆心，为 半径作 ， 为 上一动点，连接 、 ，则 的最小值为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题 的关键．在 上截取 ，使得 ，连接 ， ， ．利用相似三角形的性质证明 ， 可得 ，利用勾股定理求出 即可解决问题． 【详解】解：如图，在 上截取 ，使得 ，连接 ， ， ． ∵ ， ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，在 中， ， ， ， ∴ ，∴ ，∴ 的最小值为．故选：． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形 中， ，点P 为边 的中点，点E 在 边 上，连接 ，点F 为 上的动点，则 的最小值为 ． 【答】6 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．作 于点 ，证明 ，求得 ，当 三点共线时， 有最小值，最小值为 的 长，据此求解即可． 【详解】解：∵矩形 中， ，点P 为边 的中点， ∴ ， ， 作 于点 ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ，∴ ， 当 三点共线时， 有最小值，最小值为 的长， 此时 ，∴ 的最小值为6，故答为：6． 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形 边长为8， 为 中点， 为 上的动点， 为 上的点，且 ，连接 ，则 的最小值是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，取 的中点 ，连接 ， 证明 ，得出 ，从而得出 ，连接 交 于 ，当 、 、 在同一直线上时， 最小，即 最小，最小为 ，再由勾股定理求出 的长即可． 【详解】解：取 的中点 ，连接 ， ， ∵四边形 为正方形，边长为8， 为 中点，∴ ， ， ， ∵ 为 上的动点，∴ ，∴ ， ∵ 为 中点，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， 连接 交 于 ，当 、 、 在同一直线上时， 最小，即 最小，最小为 ， ∵ ，∴ 最小值为 ，故选：D． 7．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2 的正方形 中，E、F 分别为 上的动点， ，连接 交于点P，则 的最小值为 ． 【答】2 【分析】证明 ，则 ， ，如图，记 的中点为 ，则 在以 为圆心， 为直径的圆上，如图，连接 ，由勾股定理得， ， 如图，在 上取点 使 ，则 ，连接 ， ，证明 ，则 ， 即 ，由 ，可得当 三点共线时， 的值最小，为 ，如 图，作 于 ，则 ， ， ，则 ，即 ，可得 ，即 ，由勾股定理得， ，根据 ，计算求解即 可． 【详解】解：∵正方形 ，∴ ， ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， 如图，记 的中点为 ，则 在以 为圆心， 为直径的圆上， 如图，连接 ，由勾股定理得， ， 如图，在 上取点 使 ，则 ，连接 ， ， ∵ ， ，∴ ，∴ ，即 ，∴ ，∴当 三点共线时， 的值最小，为 ， 如图，作 于 ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，即 ，解得 ，∴ ， 由勾股定理得， ，由勾股定理得， ，故答为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理， 圆周角所对的弦为直径， 相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理， 圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键． 8（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上（不与顶点重 合），且满足 ，连接 ， 交于点 ． ， 分别是边 ， 的中点，连结接 ， ． 若正方形的边长为，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】由四边形 是正方形，得 ， ，证明 ，根 据性质得出 ，点 无论在何处，均有 ，即点 在以 中点为圆心， 为直 径的圆上，用点 表示 的中点，连接 ，用点 表示 的中点，用点 表示 的中点，连接 ，以 为圆心， 为半径画 圆，然后证明 ，则 ， 故 的最小值也就是 的最小值，当点 三点共线时， 最小，最小值为线 段 的长度，最后由勾股定理即可求解． 【详解】∵四边形 是正方形，∴ ， ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∵